Buzz
Dưới đây là một vấn đề nghe có vẻ đơn giản: Hãy tưởng tượng một bảo vệ tròn bọc quanh một acre cỏ. Nếu bạn buộc một con dê bên trong bảo vệ, bạn cần một sợi dây dài bao nhiêu để cho động vật tiếp cận chính xác một nửa acre?
Nghe có vẻ như là hình học trung học, nhưng các nhà toán học và người hâm mộ toán học đã suy nghĩ về vấn đề này dưới nhiều hình thức khác nhau hơn 270 năm. Và trong khi họ đã thành công trong việc giải quyết một số phiên bản, bài toán con dê trong hình tròn đã từ chối bất cứ thứ gì ngoại trừ các câu trả lời mờ nhạt, không đầy đủ.
Ngay cả sau thời gian dài như vậy, “không ai biết câu trả lời chính xác cho vấn đề cơ bản gốc,” nói Mark Meyerson, một nhà toán học giáo sư nghỉ hưu tại Học viện Hải quân Hoa Kỳ. “Giải pháp chỉ được đưa ra xấp xỉ.”
Nhưng đầu năm nay, một nhà toán học người Đức tên là Ingo Ullisch cuối cùng cũng đã tiến triển, tìm ra điều được xem xét là giải pháp chính xác đầu tiên cho vấn đề—tuy nhiên, ngay cả đó cũng đến trong một hình thức không thuận tiện, không thân thiện với người đọc.
“Đây là biểu thức cụ thể đầu tiên mà tôi biết [cho chiều dài của sợi dây],” nói Michael Harrison, một nhà toán học tại Đại học Carnegie Mellon. “Điều này chắc chắn là một bước tiến.”
Tất nhiên, nó sẽ không làm đảo ngược sách giáo trình hoặc làm cách mạng hóa nghiên cứu toán học, Ullisch thừa nhận, bởi vì vấn đề này là một vấn đề độc lập. “Nó không liên quan đến các vấn đề khác hoặc được nhúng trong một lý thuyết toán học.” Nhưng có thể ngay cả những câu đố vui như thế này cũng có thể tạo ra ý tưởng toán học mới và giúp các nhà nghiên cứu đưa ra phương pháp mới cho các vấn đề khác.
Vào (và Ra khỏi) Nông trại
Vấn đề đầu tiên của loại này được xuất bản trong số năm 1748 của định kỳ có trụ sở tại London The Ladies Diary: Or, The Woman’s Almanack—một tạp chí hứa hẹn sẽ trình bày “các cải tiến mới trong nghệ thuật và khoa học, cùng nhiều chi tiết giải trí.”
Tình huống ban đầu liên quan đến “một con ngựa buộc để ăn trong một công viên của quý ông.” Trong trường hợp này, con ngựa được buộc bên ngoài một hàng rào tròn. Nếu chiều dài của dây bằng chu vi của hàng rào, diện tích tối đa mà con ngựa có thể ăn là bao nhiêu? Phiên bản này sau đó được phân loại là một “vấn đề bề ngoài,” vì nó liên quan đến việc ăn cỏ bên ngoài, chứ không phải bên trong, hình tròn.
Một câu trả lời xuất hiện trong phiên bản 1749 của Diary. Nó được cung cấp bởi “Ông Heath,” người dựa vào “thử nghiệm và một bảng logarithm,” cùng với nhiều nguồn lực khác, để đạt đến kết luận của mình.
Câu trả lời của Heath—76,257.86 yard vuông cho một sợi dây dài 160 yard—là một xấp xỉ thay vì một giải pháp chính xác. Để minh họa sự khác biệt, hãy xem xét phương trình x2 − 2 = 0. Bạn có thể tìm ra một câu trả lời số xấp xỉ, x = 1.4142, nhưng điều đó không chính xác và không thỏa mãn như giải pháp chính xác, x = √2.
Vấn đề xuất hiện lại vào năm 1894 trong số đầu tiên của American Mathematical Monthly, được đưa ra lại dưới dạng vấn đề ăn cỏ ban đầu (lần này không có tham chiếu đến động vật nông trại). Loại này được phân loại là một vấn đề bên trong và thường khó khăn hơn so với đối tác bên ngoài của nó, Ullisch giải thích. Trong vấn đề bên ngoài, bạn bắt đầu với bán kính của hình tròn và chiều dài của dây và tính toán diện tích. Bạn có thể giải quyết nó thông qua tích phân.
“Ngược lại quy trình này—bắt đầu với một diện tích đã cho và hỏi liệu đầu vào nào dẫn đến diện tích này—phức tạp hơn nhiều,” Ullisch nói.
Trong những thập kỷ tiếp theo, Monthly đã xuất bản các biến thể về vấn đề bên trong, chủ yếu liên quan đến ngựa (và ít nhất một trường hợp là lừa) thay vì dê, với hàng rào có hình tròn, vuông và hình elip. Nhưng vào những năm 1960, với những lý do bí ẩn, dê bắt đầu thay thế ngựa trong văn học vấn đề ăn cỏ—mặc dù theo nhà toán học Marshall Fraser, dê có thể “quá độc lập để chịu việc bị buộc.”
Dê trong Chiều cao Hơn
Năm 1984, Fraser đã sáng tạo, đưa vấn đề ra khỏi miền đồng bằng, thuần túy và đưa vào một địa hình rộng lớn hơn. Anh ấy tính được chiều dài cần thiết cho một sợi dây để cho phép một con dê ăn cỏ chính xác trong nửa thể tích của một quả cầu n chiều khi n tiến về vô cùng. Meyerson phát hiện ra một sai sót trong lập luận và sửa sai của Fraser vào cuối năm đó, nhưng đến cùng một kết luận: Khi n tiến về vô cùng, tỷ lệ giữa sợi dây buộc và bán kính của quả cầu tiến về √2.
Như Meyerson lưu ý, cách này có vẻ phức tạp hơn để đặt vấn đề—trong không gian đa chiều thay vì một cánh đồng cỏ—thực sự làm cho việc tìm ra một giải pháp dễ dàng hơn. “Trong chiều vô hạn, chúng ta có một câu trả lời sạch sẽ, trong khi trong hai chiều không có một giải pháp rõ ràng như vậy.”
Năm 1998, Michael Hoffman, cũng là một nhà toán học tại Học viện Hải quân, mở rộng vấn đề theo hướng khác sau khi bắt gặp một ví dụ về vấn đề bên ngoài thông qua một nhóm thảo luận trực tuyến. Phiên bản này cố gắng định lượng diện tích có sẵn cho một con bò buộc bên ngoài một hũ tròn. Vấn đề này làm cho Hoffman tò mò, và anh quyết định tổng quát hóa nó đến bên ngoài không chỉ là một hình tròn, mà còn bao gồm các đường cong mềm mại, lồi lõm, bao gồm cả hình elip và thậm chí là những đường cong chưa đóng.
“Một khi bạn nhìn thấy một vấn đề được nêu ra trong một trường hợp đơn giản, với tư cách là một nhà toán học, bạn thường cố gắng nhìn thấy làm thế nào bạn có thể tổng quát hóa nó,” Hoffman nói.
Hoffman xem xét trường hợp trong đó dây dẫn (chiều dài L) nhỏ hơn hoặc bằng một nửa chu vi của đường cong. Đầu tiên, anh ấy vẽ một đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm mà dây của con bò được gắn. Con bò có thể ăn cỏ trên một nửa hình tròn có diện tích πL2/2 được giới hạn bởi đường tiếp tuyến. Sau đó, Hoffman đã đưa ra một giải pháp tích phân chính xác cho các không gian giữa đường tiếp tuyến và đường cong để xác định tổng diện tích ăn cỏ.
Gần đây hơn, nhà toán học của Đại học Lancaster, Graham Jameson, đã làm rõ trường hợp ba chiều của vấn đề nội thất chi tiết với con trai Nicholas, chọn nó vì nó nhận được ít sự chú ý hơn. Vì dê không thể di chuyển dễ dàng trong ba chiều, Jamesons gọi nó là “vấn đề chim” trong bài báo của họ năm 2017: Nếu bạn buộc một con chim vào một điểm bên trong lồng cầu, dây buộc nên dài bao nhiêu để hạn chế con chim trong nửa thể tích của lồng?
“Vấn đề ba chiều thực sự đơn giản hơn để giải quyết so với vấn đề hai chiều,” Jameson người lớn nói, và bộ đôi này đã đến được một giải pháp chính xác. Tuy nhiên, vì hình thức toán học của câu trả lời—mà Jameson mô tả là “chính xác (mặc dù khó chịu!)”—sẽ là một thách thức với người không biết, họ cũng sử dụng một kỹ thuật xấp xỉ để cung cấp một câu trả lời số học cho độ dài của dây dẫn mà “những người làm việc với chim có thể ưa thích.”
Dù vậy, một giải pháp chính xác cho vấn đề nội thất hai chiều từ năm 1894 vẫn là điều khó khăn—cho đến khi bài báo của Ullisch xuất hiện vào đầu năm nay. Ullisch lần đầu nghe về vấn đề về dê từ một người thân vào năm 2001, khi còn là một đứa trẻ. Anh ấy bắt đầu nghiên cứu về nó vào năm 2017, sau khi nhận bằng tiến sĩ từ Đại học Münster. Anh ấy muốn thử nghiệm một cách tiếp cận mới.
Ở thời điểm đó, đã có nhiều người biết rằng vấn đề về dê có thể được giảm xuống một phương trình siêu vi, theo định nghĩa bao gồm các thuật ngữ lượng giác như sin và cosin. Điều này có thể tạo ra một chướng ngại đường, vì nhiều phương trình siêu vi không thể giải được; x = cos(x), ví dụ, không có giải pháp chính xác.
Nhưng Ullisch thiết lập vấn đề một cách sao cho anh ấy có thể có được một phương trình siêu vi có thể làm việc: sin(β) – β cos(β) − π/2 = 0. Và trong khi phương trình này cũng có vẻ không thể quản lý, anh ấy nhận ra rằng anh ấy có thể tiếp cận nó bằng cách sử dụng phân tích phức—một nhánh của toán học áp dụng công cụ phân tích, bao gồm cả các công cụ của giải tích, cho các biểu thức chứa số phức. Phân tích phức đã tồn tại hàng thế kỷ, nhưng theo Ullisch biết, anh ấy là người đầu tiên áp dụng phương pháp này cho những con dê đói.
Với chiến lược này, anh ấy đã có thể biến đổi phương trình siêu vi của mình thành một biểu thức tương đương cho độ dài của dây dẫn mà sẽ để con dê ăn cỏ trong nửa khuôn viên. Nói cách khác, anh ấy cuối cùng đã trả lời câu hỏi với một công thức toán học chính xác.
Thật không may, có một điều bắt buộc. Giải pháp của Ullisch không phải là điều gì đơn giản như căn bậc hai của 2. Nói cách khác, nó phức tạp hơn một chút—tỷ lệ của hai biểu thức tích phân đường gọi là, với nhiều thuật ngữ lượng giác ném vào trong—và nó không thể nói cho bạn biết, theo một cách thực tế, làm thế nào để làm dây dẫn cho con dê. Vẫn cần đến sự gần đúng để có được một con số hữu ích cho bất kỳ người nào trong chăn nuôi động vật.
Nhưng Ullisch vẫn thấy giá trị trong việc có một giải pháp chính xác, ngay cả khi nó không gọn gàng và đơn giản. “Nếu chúng ta chỉ sử dụng giá trị số (hoặc ước lượng), chúng ta sẽ không bao giờ biết đến bản chất nội tại của giải pháp,” anh ấy nói. “Có một công thức có thể mang lại cái nhìn sâu sắc hơn về cách giải pháp được tạo thành.”
Không từ bỏ vấn đề về dê
Hiện tại, Ullisch đã tạm thời gác lại vấn đề về con dê đang ăn cỏ, vì anh ấy không chắc làm thế nào để tiếp tục nó, nhưng các nhà toán học khác đang theo đuổi ý tưởng của họ. Harrison, ví dụ, có một bài báo sắp tới trên tạp chí Mathematics Magazine trong đó anh ấy tận dụng các thuộc tính của quả cầu để tấn công một sự tổng quát ba chiều của vấn đề về dê ăn cỏ.
“Trong toán học, việc nghĩ ra những cách mới để có câu trả lời, thậm chí là đối với một vấn đề đã được giải quyết trước đó, thường có giá trị,” Meyerson lưu ý, “bởi vì có thể nó có thể được tổng quát hóa để sử dụng theo các cách khác nhau.”
Và đó là lý do tại sao đã có nhiều mực toán học được dành cho động vật nông trại tưởng tượng. “Bản năng của tôi nói rằng sẽ không có đột phá toán học nào từ vấn đề về dê ăn cỏ,” Harrison nói, “nhưng bạn không bao giờ biết. Toán mới có thể xuất phát từ bất cứ đâu.”
Hoffman lạc quan hơn. Phương trình siêu vi của Ullisch liên quan đến những phương trình siêu vi mà Hoffman nghiên cứu trong một bài báo năm 2017. Sự quan tâm của Hoffman đối với những phương trình đó được kích thích, lần lượt, bởi một bài báo năm 1953 đã kích thích công việc tiếp theo bằng cách trình bày các phương pháp đã thiết lập dưới ánh sáng mới. Anh ấy nhìn thấy có thể có những đối chiếu trong cách Ullisch áp dụng các phương pháp đã biết trong phân tích phức hợp cho các phương trình siêu vi, lần này trong một bối cảnh mới liên quan đến dê.
“Không phải mọi tiến triển trong toán học đều đến từ những người đạt được đột phá cơ bản,” Hoffman nói. “Đôi khi nó bao gồm việc nhìn nhận các phương pháp cổ điển và tìm kiếm một góc nhìn mới—một cách mới để đặt các mảnh lại với nhau có thể dẫn đến kết quả mới cuối cùng.”
Chuyện gốc được tái bản với sự cho phép từ Tạp chí Quanta, một tờ báo độc lập về biên tập thuộc Quỹ Simons, với nhiệm vụ làm tăng cường sự hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách theo dõi các phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học cũng như trong các ngành khoa học tự nhiên và đời sống.
Những điều tuyệt vời khác từ Mytour
📩 Muốn biết tin mới nhất về công nghệ, khoa học và nhiều hơn nữa? Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi!
Bóng tối của việc tài trợ của Big Tech cho nghiên cứu trí tuệ nhân tạo
Cách Cyberpunk 2077 bán một lời hứa—và làm chệch hệ thống
8 cuốn sách khoa học để đọc (hoặc tặng) trong mùa đông này
Một sứ mệnh để làm cho các bữa tiệc ảo trở nên thực sự vui vẻ
Một người đi bộ không tên và vụ án mà internet không thể giải mã
🎮 Mytour Games: Nhận các mẹo, đánh giá và nhiều hơn nữa
📱 Lưỡng lự giữa những chiếc điện thoại mới nhất? Đừng lo lắng—kiểm tra hướng dẫn mua iPhone của chúng tôi và những chiếc điện thoại Android ưa thích
