Số dư tài khoản

Trong toán học, số dư là phần 'còn lại' sau khi thực hiện một phép tính. Đối với phép chia số nguyên, số dư là phần 'còn lại' sau khi chia một số nguyên cho một số nguyên khác để có một thương số nguyên. Trong đại số, số dư là 'đa thức' còn lại sau khi chia một đa thức cho một đa thức khác. Phép toán modulo thực hiện phép toán này để tạo ra phần dư với số chia và số bị chia.

Về mặt lý thuyết, phần dư là phần còn lại khi trừ một số từ số khác, nhưng thuật ngữ chính xác hơn cho điều này là chênh lệch. Cách sử dụng này thường xuất hiện trong sách giáo khoa tiểu học, nhưng thường được thay thế bằng 'phần dư' trong các trường hợp như 'Trả lại cho tôi hai đô la và giữ phần dư.' Thuật ngữ 'phần dư' vẫn được sử dụng khi một hàm được xấp xỉ bằng chuỗi mở rộng và phần lỗi ('phần dư') được gọi là phần còn lại.

Phép chia số nguyên

Nếu a và d là các số nguyên với d khác không, có thể chứng minh rằng tồn tại các số nguyên duy nhất q và r sao cho a = qd + r với 0 ≤ r < | d |. Số q được gọi là thương số, và r được gọi là số dư.

Xem phép chia Euclid để hiểu chứng minh cho kết quả này và thuật toán chia mô tả cách tính số dư.

Như đã định nghĩa, số dư được gọi là số dư dương nhỏ nhất hoặc đơn giản là số dư. Số nguyên

a hoặc là bội số của d hoặc nằm giữa các bội số liên tiếp của d, cụ thể là, q⋅d và (q + 1)d (với q dương).

Đôi khi, việc thực hiện phép chia sao cho a càng gần càng tốt với một bội số của d là thuận tiện, tức là chúng ta có thể viết

a = k⋅d + s, với | s | ≤ |d/2| cho một số nguyên k.

Trong trường hợp này, s được gọi là số dư có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất. Giống như với thương số và số dư thông thường, k và s được xác định duy nhất trừ khi d = 2n và s = ± n. Trong trường hợp ngoại lệ này, chúng ta có,

a = k⋅d + n = (k + 1) d - n.

Trong trường hợp này, số dư duy nhất có thể đạt được theo một quy ước là luôn chọn giá trị dương của s.

Tài liệu tham khảo