Số hoàn thiện

Số hoàn hảo (còn được gọi là số hoàn chỉnh, số hoàn thiện hoặc số hoàn thành) là một số nguyên dương mà tổng của các ước số nguyên dương thực sự của nó (tức là các số nguyên dương chia hết cho nó ngoại trừ chính nó) bằng chính số đó.

Khái niệm số hoàn hảo

Số hoàn hảo là những số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện:

$n=s\left(n\right)$

Trong đó, s(n) là hàm tính tổng của các ước thực sự của n. Ví dụ:

$6=s\left(6\right)=1+2+3$

$28=s\left(28\right)=1+2+4+7+14$

$496=s\left(496\right)=1+2+4+8+16+31+62+124+248$

$8128=s\left(8128\right)=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064$

Hoặc có thể viết là:

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(n\right)=2n$

Trong đó, $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(n\right)$ là hàm tính tổng tất cả các ước của n, bao gồm cả số n chính nó.

Các số hoàn hảo là số chẵn

Euclid đã tìm ra 4 số hoàn hảo nhỏ nhất dưới dạng: 2(2 − 1):

$p=2\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->2^{2-<!--\; -\; -->1}(2^2-<!--\; -\; -->1)=2\times <!--\; \times \; -->3=6$

$p=3\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->2^{3-<!--\; -\; -->1}(2^3-<!--\; -\; -->1)=4\times <!--\; \times \; -->7=28$

$p=5\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->2^{5-<!--\; -\; -->1}(2^5-<!--\; -\; -->1)=16\times <!--\; \times \; -->31=496$

$p=7\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->2^{7-<!--\; -\; -->1}(2^7-<!--\; -\; -->1)=64\times <!--\; \times \; -->127=8128$

Lưu ý rằng: Trong các ví dụ trên, 2 − 1 đều là số nguyên tố, chứng minh rằng công thức: 2(2 − 1) tạo ra một số hoàn hảo chẵn nếu và chỉ nếu 2 − 1 là số nguyên tố Mersenne.

Các nhà toán học cổ đại đã coi 4 số hoàn hảo nhỏ nhất là những ví dụ tiêu biểu, tuy nhiên, nhiều giả thuyết của họ chưa được chứng minh. Ví dụ, họ tin rằng nếu 2, 3, 5, 7 là bốn số nguyên tố đầu tiên thì số hoàn hảo thứ năm sẽ xuất hiện khi p = 11, số nguyên tố thứ năm. Nhưng 2 − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là hợp số, nên p = 11 không sinh ra số hoàn hảo. Đây là một trong những sai lầm của họ.

Theo giả thuyết của các nhà toán học xưa, số hoàn hảo thứ năm phải có năm chữ số trong hệ thập phân vì bốn số hoàn hảo đầu tiên có lần lượt 1, 2, 3, 4 chữ số.

Các số hoàn hảo có chữ số tận cùng lần lượt là 6, 8, 6, 8 và tiếp tục lặp lại theo chu kỳ.

Số hoàn hảo thứ năm là $350.336=2^{12}(2^{13}-<!--\; -\; -->1)$ với 8 chữ số, vì vậy giả thuyết thứ nhất là sai. Còn theo giả thuyết thứ hai, số này có chữ số tận cùng là 6. Tuy nhiên, số hoàn hảo thứ sáu là $\mathrm{8.589.869.056}=2^{16}(2^{17}-<!--\; -\; -->1$

Để $2^p-<!--\; -\; -->1$ trở thành số nguyên tố thì p cần phải là số nguyên tố, nhưng điều đó vẫn chưa đủ. Số nguyên tố có dạng 2 − 1 được gọi là Số nguyên tố Mersenne, nhờ công của nhà tu Marin Mersenne vào thế kỷ 17, người đã nghiên cứu lý thuyết số và số hoàn hảo.

Hơn 1000 năm sau Euclid, Ibn al-Haytham (Alhazen) đã nhận ra rằng mọi số hoàn hảo chẵn đều có dạng 2(2 − 1) khi 2 − 1 là số nguyên tố. Tuy nhiên, ông không thể chứng minh điều này. Phải đến thế kỷ 18, Leonhard Euler mới chứng minh được rằng công thức 2(2 − 1) thực sự tạo ra các số hoàn hảo chẵn, dẫn đến sự kết nối giữa số hoàn hảo và số nguyên tố Mersenne. Kết quả này được gọi là thuyết Euclid-Euler. Tính đến tháng 9 năm 2008, đã có 46 số Mersenne được phát hiện, và số hoàn hảo lớn nhất là 2 × (2 − 1) với 25.956.377 chữ số.

39 số hoàn hảo chẵn đầu tiên đều có dạng 2(2 − 1) khi

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (dãy số A000043 trong bảng OEIS)

7 số hoàn hảo chẵn khác đã được phát hiện với p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Vẫn chưa rõ liệu có số nào bị bỏ sót giữa các giá trị này hay không.

Chưa có bằng chứng chắc chắn về việc có vô hạn số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo hay không. Việc phát hiện các số nguyên tố Mersenne mới hiện nay được thực hiện nhờ vào các siêu máy tính.

Các số hoàn hảo đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 2 − 1, tức là số tam giác thứ 2 − 1:

p = 2: $6=1+2+3$

p = 3: $28=1+2+3+4+5+6+7$

p = 5: $496=1+2+3+...+29+30+31$

p = 7: $8128=1+2+3+...+125+126+127$

Các số hoàn hảo đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp chập 2 của 2:

p = 2: $6=C_4^2$

p = 3: $28=C_8^2$

p = 5: $496=C_{32}^2$

p = 7: $8128=C_{128}^2$

Các số hoàn hảo luôn có tổng của tất cả các nghịch đảo của các ước số của chúng (bao gồm chính nó) bằng 2:

6: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=2$

28: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=2$

496: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{31}+\frac{1}{62}+\frac{1}{124}+\frac{1}{248}+\frac{1}{496}=2$

8128: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{127}+\frac{1}{254}+\frac{1}{508}+\frac{1}{1016}+\frac{1}{2032}+\frac{1}{4064}+\frac{1}{8128}=2$

Số 6 là số tự nhiên duy nhất mà tổng các ước của nó (không tính chính nó) lại bằng tích của các ước đó.

$6=1+2+3=1\times <!--\; \times \; -->2\times <!--\; \times \; -->3$

Ngoại trừ số 6, tất cả các số hoàn hảo khác đều có thể được biểu diễn là tổng của hai số lập phương lẻ liên tiếp từ 1 đến (2 − 1).

p = 3: $28=1^3+3^3$

p = 5: $496=1^3+3^3+5^3+7^3$

p = 7: $8128=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+{11}^3+{13}^3+{15}^3$

Ngoại trừ số 6, mọi số hoàn hảo khác khi chia cho 9 đều cho kết quả là một số tam giác thứ (2 − 2)/3 và số dư là 1.

p = 3: $28=9\times <!--\; \times \; -->(1+2)+1$

p = 5: $496=9\times <!--\; \times \; -->(1+2+3+...+8+9+10)+1$

p = 7: $8128=9\times <!--\; \times \; -->(1+2+3+...+40+41+42)+1$

Số hoàn hảo lẻ

Hiện nay, việc xác định sự tồn tại của số hoàn hảo lẻ vẫn chưa có câu trả lời chắc chắn, mặc dù đã có nhiều nghiên cứu. Năm 1946, Jacques Lefèvre tuyên bố rằng theo quy luật của Euclid, không tồn tại số hoàn hảo lẻ. Euler đã bày tỏ sự nghi ngờ về khả năng tồn tại của số hoàn hảo lẻ. Gần đây, Carl Pomerance đã tranh luận rằng không có số hoàn hảo lẻ nào và tất cả các số hoàn hảo đều là số điều hòa của Ore, với giả thuyết rằng không có số điều hòa lẻ nào khác ngoài số 1.

Bất kỳ số hoàn hảo lẻ N đều phải đáp ứng những điều kiện sau:

• N phải lớn hơn 10.
• N không chia hết cho 105.
• N phải có dạng N ≡ 1 (mod 12) hoặc N ≡ 117 (mod 468) hoặc N ≡ 81 (mod 324).
• N phải có dạng:

$N=q^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{p}_1^{2e_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->p_k^{2e_k},$

với:

• q, p₁, ..., p_k là các số nguyên tố lẻ khác nhau (theo Euler).
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (theo Euler).
• Ước nguyên tố lẻ nhỏ nhất của N phải nhỏ hơn $\frac{k-<!--\; -\; -->1}{2}.$
• q phải lớn hơn 10, hoặc một số p_j phải lớn hơn 10 với một số giá trị của j.
• $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+2e_1+2e_2+2e_3+\cdots <!--\; \cdots \; -->+2e_k\ge <!--\; \ge \; -->\frac{66k-<!--\; -\; -->191}{25}$.
• .

• Ước nguyên tố lớn nhất của N phải lớn hơn 10 và nhỏ hơn $(3N{)}^{1/3}.$
• Ước nguyên tố lớn thứ hai của N phải lớn hơn 10, và nhỏ hơn $(2N{)}^{1/5}$.
• Ước nguyên tố thứ ba phải lớn hơn 100, và nhỏ hơn $(2N{)}^{\frac{1}{6}}$.
• N phải có ít nhất 101 ước nguyên tố và ít nhất 10 ước nguyên tố phân biệt. Nếu 3 không phải là ước của N, thì N phải có ít nhất 12 ước nguyên tố phân biệt.