Số khối lập phương

Trong toán học, lập phương của một số n là kết quả của việc nhân số đó với chính nó ba lần:

n = n × n × n.

Có thể hiểu đơn giản là tích của số đó với bình phương của chính nó:

n = n × n.

Đây là công thức để tính thể tích của một khối lập phương có cạnh dài n.

Hàm lập phương là một hàm lẻ:

(−n) = −(n).

Biểu đồ của hàm lập phương f: x → x³ (hoặc phương trình y = x³) được gọi là hình parabê khối. Do hàm lập phương là hàm lẻ, đường cong này có một điểm đối xứng tại gốc tọa độ nhưng không có trục đối xứng.

Lập phương của số nguyên

Lập phương của các số nguyên từ 0 đến 60 là: (dãy số A000578 trong bảng OEIS):

Trong hình học, một số nguyên dương m được gọi là số lập phương hoàn hảo nếu có thể xếp các khối lập phương nhỏ thành một khối lập phương lớn hơn. Ví dụ, 27 khối nhỏ có thể được sắp xếp thành một khối lập phương lớn hơn, tương ứng với 3 × 3 × 3 = 27.

Sự khác biệt giữa lập phương của các số nguyên liên tiếp có thể được diễn tả như sau:

n − (n − 1) = 3(n − 1)n + 1.

hoặc

(n + 1) − n = 3(n + 1)n + 1.

Không có số âm nào là số lập phương hoàn hảo, vì lập phương của một số âm luôn là số âm. Ví dụ, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Chữ số tận cùng của lập phương số có các chữ số tận cùng từ 0 đến 9:

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729

Tổng của các lập phương của n số nguyên đầu tiên

Tổng của lập phương n số nguyên đầu tiên bằng bình phương của tổng n số nguyên đầu tiên:

1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)² = (n(n + 1) / 2)² = (C_{n+1}^{2})²

Trong đó, $C_{n+1}^2$ là tổ hợp chập 2 của n+1.

Công thức của Charles Wheatstone (1854):

n³ = (n² - n + 1) + (n² - n + 1 + 2) + (n² - n + 1 + 4) + … + (n² + n - 1)

Để chứng minh công thức trên, ta có thể sử dụng phương pháp sau:

Tổng của các lập phương từ 1 đến n được tính như sau: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)². Đây là tổng của các lập phương, được tính bằng bình phương của tổng các số nguyên từ 1 đến n.

Tổng các lập phương của các số lẻ đầu tiên

Tổng của n lập phương lẻ đầu tiên tương ứng với số tam giác thứ 2n − 1:

$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(2k-<!--\; -\; -->1{)}^3=2n^4-<!--\; -\; -->n^2=C_{2n^2}^2$

Trong đó, $C_{2n^2}^2$ là số tổ hợp chập 2 của 2n.

Trong lý thuyết số học

Bài toán Waring liên quan đến các số lập phương

Mỗi số nguyên có thể được biểu diễn như tổng của chín số lập phương nguyên dương (hoặc ít hơn). Chẳng hạn, số 23 không thể biểu diễn bằng tổng của ít hơn chín số lập phương:

23 = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Tổng của ba số lập phương

Hiện tại, có giả thuyết rằng các số nguyên không đồng dư với ±4 theo modulo 9 có thể viết được dưới dạng tổng của ba số lập phương theo vô số cách. Ví dụ, $6=2^3+(-<!--\; -\; -->1{)}^3+(-<!--\; -\; -->1{)}^3$. Các số nguyên đồng dư với ±4 modulo 9 không cần quan tâm vì chúng không thể viết dưới dạng tổng của ba số lập phương.

Số nguyên dương nhỏ nhất chưa được chứng minh là tổng của ba số lập phương là 114. Đến tháng 9 năm 2019, số nguyên dương nhỏ hơn 114 mà chưa thể biểu diễn là tổng của ba số lập phương là 42, và nó thỏa mãn phương trình sau:

$42=(-<!--\; -\; -->80538738812075974{)}^3+{80435758145817515}^3+{12602123297335631}^3.$

Định lý cuối cùng của Fermat cho trường hợp lập phương

Phương trình x + y = z không có nghiệm nguyên dương nào khác không (tức xyz ≠ 0). Thực tế, nó không có nghiệm dạng số nguyên Eisenstein.

Điều tương tự cũng áp dụng cho phương trình x + y = 3z.

Các số thực và số phức

Xét hàm x ↦ x³: R → R. Chỉ có ba số là lập phương của chính mình: -1, 0 và 1. Nếu -1 < x < 0 hoặc 1 < x, thì x > x³. Nếu x < -1 hoặc 0 < x < 1, thì x³ < x. Tính chất này cũng đúng với bất kỳ số mũ lẻ nào khác của số thực.

Đối với các số phức, lập phương của một số thuần ảo là: i = −i.

Lịch sử

Các toán học gia ở vùng Lưỡng Hà đã tạo ra các bảng tính khối lập phương từ thế kỷ XX đến XVI TCN. Diophantus, nhà toán học Hy Lạp cổ đại, đã biết đến phương trình bậc ba. Hero của Alexandria phát minh ra phương pháp tính lập phương vào thế kỷ I Công Nguyên. Phương pháp giải phương trình bậc ba và phép khai căn bậc ba xuất hiện trong 'Cửu chương toán thuật', một công trình toán học Trung Quốc biên soạn vào khoảng thế kỷ II TCN, và được Lưu Huy chú giải vào thế kỷ III CN. Aryabhata, nhà toán học Ấn Độ, đã viết về lập phương trong nghiên cứu của ông. Vào năm 2010, Alberto Zanoni phát hiện ra một thuật toán mới cho phép tính lập phương của số nguyên dài trong một phạm vi nhất định, nhanh gấp đôi so với các phương pháp trước đó.