Số lượng

Số là một khái niệm toán học dùng để đếm, đo lường và gán danh tính. Ví dụ, các số tự nhiên như 1, 2, 3, 4, v.v. là những ví dụ đầu tiên. Một ký hiệu đại diện cho số gọi là chữ số. Bên cạnh việc đếm và đo lường, chữ số còn được dùng để đánh dấu (như số điện thoại), sắp xếp (như số sê-ri) và mã hóa (như số ISBN). Trong ngữ cảnh phổ biến, số có thể chỉ một ký hiệu, một từ hoặc một khái niệm toán học trừu tượng.

Trong toán học, khái niệm số đã được mở rộng qua các thế kỷ để bao gồm 0, số âm, số hữu tỉ như 1/2 và −2/3, số thực như √2 và π, cùng với số phức, là sự mở rộng của số thực bằng cách thêm căn bậc hai của −1 (và các tổ hợp của nó với số thực qua cộng và nhân). Tính toán với các số được thực hiện bằng các phép toán số học, bao gồm cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Nghiên cứu và ứng dụng của chúng được gọi là số học. Khái niệm tương tự cũng có thể liên quan đến lý thuyết số, môn học nghiên cứu các thuộc tính của số.

Ngoài các ứng dụng thực tiễn, số còn mang ý nghĩa văn hóa trên toàn thế giới. Ví dụ, ở phương Tây, số 13 thường được coi là kém may mắn và 'một triệu' có thể biểu thị 'rất nhiều'. Mặc dù hiện nay được coi là giả khoa học, việc nghiên cứu số và tin tưởng vào ý nghĩa huyền bí của các con số đã ảnh hưởng sâu rộng đến các tư tưởng cổ đại và trung cổ. Số học đã có tác động lớn đến sự phát triển của toán học Hy Lạp, khuyến khích việc giải quyết nhiều vấn đề trong lý thuyết số, một lĩnh vực vẫn còn được quan tâm đến ngày nay.

Vào thế kỷ 19, các nhà toán học bắt đầu khám phá các khái niệm trừu tượng mới, mở rộng ý tưởng về số học với những đặc tính chung. Một trong những khái niệm đầu tiên là số siêu phức, bao gồm các mở rộng hoặc điều chỉnh của hệ thống số phức. Hiện nay, các hệ thống số này được coi là những ví dụ quan trọng trong các cấu trúc tổng quát hơn như vòng và trường, và việc sử dụng thuật ngữ 'số' chủ yếu dựa trên quy ước hơn là ý nghĩa cơ bản.

Lịch sử

Những dấu vết đầu tiên của việc sử dụng số

Các hiện vật như xương có vết cắt đã được phát hiện, mà nhiều người tin rằng đây là những dấu vết của việc sử dụng số. Những dấu hiệu này có thể đã được dùng để đếm thời gian, như số ngày, chu kỳ mặt trăng, hoặc để ghi chép số lượng, như số lượng động vật.

Hệ thống đếm này không sử dụng khái niệm giá trị vị trí (như trong hệ thập phân hiện đại), điều này hạn chế khả năng biểu diễn số lớn của nó. Dù vậy, nó được coi là hệ thống số trừu tượng đầu tiên.

Hệ thống số đầu tiên được biết đến với giá trị vị trí là hệ thống cơ số 60 của vùng Lưỡng Hà, xuất hiện vào khoảng năm 3400 trước Công Nguyên. Trong khi đó, hệ đếm cơ số 10 cổ xưa nhất được ghi nhận tại Ai Cập vào khoảng năm 3100 trước Công Nguyên.

Chữ số

Số và chữ số là hai khái niệm khác nhau: số là đối tượng toán học, còn chữ số là ký hiệu dùng để đại diện cho số đó. Người Ai Cập đã phát minh ra hệ thống chữ số mã hóa đầu tiên, tiếp theo là người Hy Lạp với việc ánh xạ số đếm của họ vào bảng chữ cái Ionia và Doric. Chữ số La Mã, một hệ thống sử dụng các chữ cái trong bảng chữ cái La Mã, đã phổ biến ở châu Âu cho đến khi hệ thống chữ số Ả Rập vượt trội vào khoảng cuối thế kỷ 14. Ngày nay, hệ thống chữ số Ả Rập - Hindu là hệ thống chính để biểu thị các số trên toàn cầu. Một yếu tố quan trọng của hệ thống này là ký hiệu cho số không, được các nhà toán học Ấn Độ cổ đại phát triển khoảng năm 500 sau Công nguyên.

Số không

Tài liệu cổ xưa nhất ghi nhận việc sử dụng số 0 là tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta vào năm 628, viết bởi nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta. Ông đã coi số 0 là một số và thảo luận về các phép toán liên quan đến nó, bao gồm phép chia. Đến thế kỷ 7, khái niệm này đã được truyền vào Campuchia dưới dạng chữ số Khmer và sau đó lan rộng ra Trung Quốc và thế giới Hồi giáo.

Cuốn sách Brahmasphuṭasiddhānta là tác phẩm đầu tiên coi số 0 như một số thực sự, và vì thế Brahmagupta thường được công nhận là người đầu tiên phát triển khái niệm về số 0. Ông đã thiết lập các quy tắc sử dụng số 0 với các số âm và dương, chẳng hạn như '0 cộng với số dương vẫn là số dương và số âm cộng với 0 vẫn là số âm'. Brahmasphuṭasiddhānta là tài liệu đầu tiên công nhận số 0 là số theo nghĩa chính xác của nó, không chỉ là ký hiệu giữ chỗ như người Babylon hoặc biểu thị sự thiếu vắng số lượng như Ptolemy và người La Mã.

Việc sử dụng số 0 như một số khác biệt rõ rệt với việc dùng số này như ký hiệu giữ chỗ trong các hệ thống giá trị theo vị trí. Nhiều văn bản cổ đã sử dụng số 0, bao gồm các văn bản Babylon và Ai Cập. Người Ai Cập dùng từ nfr để biểu thị số không trong kế toán kép. Các văn bản Ấn Độ đã sử dụng từ tiếng Phạn Shunye hoặc shunya để chỉ khái niệm về khoảng trống, thường được hiểu là số không trong toán học. Pāṇini (thế kỷ 5 TCN) cũng đã dùng toán tử null (zero) trong Ashtadhyayi, một ví dụ sớm về ngữ pháp đại số cho tiếng Phạn.

Mặc dù có những ứng dụng của số 0 trước Brahmagupta, nhưng các tài liệu này không chi tiết bằng những gì có trong Brahmasphuṭasiddhānta.

Tài liệu lịch sử cho thấy người Hy Lạp cổ đại đã nghi ngờ về tư cách của số 0 như một số: họ đặt câu hỏi 'làm sao 'không có gì' có thể trở thành một cái gì đó?' Điều này dẫn đến một câu hỏi triết học thú vị, và vào thời Trung cổ, đã có các cuộc tranh luận tôn giáo về bản chất và sự tồn tại của số 0 và chân không. Những nghịch lý của Zeno of Elea một phần dựa vào sự không rõ ràng của số 0. (Người Hy Lạp cổ đại thậm chí còn nghi ngờ liệu 1 có phải là một số.)

Người Olmec ở miền trung nam México bắt đầu sử dụng ký hiệu cho số 0, khắc trên vỏ sò, tại Thế giới mới, có thể từ thế kỷ 4 TCN nhưng chắc chắn hơn là vào khoảng năm 40 TCN. Ký hiệu này sau đó đã trở thành một phần quan trọng của hệ thống chữ số và lịch Maya. Số học Maya áp dụng cơ số 4 và 5, được ghi theo cơ số 20. Sanchez vào năm 1961 đã báo cáo về một bàn tính sử dụng cơ số 4 và 5 với dạng ngón tay.

Vào năm 130 sau Công nguyên, Ptolemy, chịu ảnh hưởng từ Hipparchus và người Babylon, đã sử dụng một ký hiệu cho số 0 (một vòng tròn nhỏ có thanh ngang) trong hệ thống số cơ số 60, thay thế chữ số bằng các chữ cái Hy Lạp. Vì ký hiệu này được sử dụng độc lập, không chỉ là một vị trí giữ chỗ, nên số 0 Hy Lạp này là tài liệu đầu tiên sử dụng số 0 thực sự ở Thế giới cũ. Trong các bản thảo Byzantine sau này của Syntaxis Mathematica (hoặc Almagest), số 0 Hy Lạp đã biến thành chữ Hy Lạp Omicron (có giá trị 70).

Một dạng sử dụng số 0 khác được ghi nhận trong các bảng cùng với số La Mã vào năm 525 (lần đầu tiên do Dionysius Exiguus sử dụng), nhưng dưới dạng từ, nulla có nghĩa là không có gì, không phải là một ký hiệu. Khi phép chia có số dư là 0, tác giả dùng từ nihil, cũng có nghĩa là không có gì. Những số không trong thời kỳ trung cổ đã được sử dụng bởi tất cả các người tính toán của thời kỳ sau đó (như máy tính ngày Phục Sinh). Một ứng dụng riêng biệt của số 0 là việc dùng chữ cái đầu, N, được Bede hoặc một đồng nghiệp sử dụng trong một bảng số La Mã vào khoảng năm 725, và đây là một ký hiệu số 0 thực sự.

Số âm

Khái niệm số âm đã được công nhận từ rất sớm, khoảng 100-50 TCN tại Trung Quốc. Cửu chương toán thuật mô tả các phương pháp để tính diện tích các hình, trong đó que màu đỏ được dùng để biểu thị số dương, còn que màu đen để số âm. Tài liệu phương Tây đầu tiên đề cập đến số âm là vào thế kỷ 3 sau Công nguyên ở Hy Lạp. Diophantus đã nói đến phương trình tương đương với 4x + 20 = 0 (với nghiệm là số âm) trong Arithmetica, cho rằng phương trình này cho kết quả không hợp lý.

Vào thế kỷ 600, người Ấn Độ đã bắt đầu sử dụng số âm để biểu thị các khoản nợ. Mặc dù Diophantus đã có những đề cập sớm về số âm, nhưng chính Brahmagupta trong tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta năm 628 đã phát triển khái niệm này, giới thiệu công thức phương trình bậc hai tổng quát vẫn còn được sử dụng đến nay. Tuy nhiên, vào thế kỷ 12, Bhaskara đã đưa ra các hệ số âm cho phương trình bậc hai nhưng cho rằng giá trị âm 'trong trường hợp này không được thực hiện, vì nó không đầy đủ; mọi người không chấp nhận các hệ số là số âm.'

Đến thế kỷ 17, hầu hết các nhà toán học châu Âu vẫn phản đối khái niệm số âm, mặc dù Fibonacci đã cho phép các nghiệm âm trong các bài toán tài chính, coi chúng là các khoản nợ (theo chương 13 của Liber Abaci, 1202) và sau đó là thua lỗ (theo Flos). Đồng thời, người Trung Quốc đã sử dụng một đường chéo qua chữ số cuối cùng bên phải của số dương tương ứng để biểu thị số âm. Nicolas Chuquet là người đầu tiên sử dụng số âm trong tác phẩm châu Âu vào thế kỷ 15, nhưng ông gọi chúng là 'số vô lý.'

Vào thế kỷ 18, thường xuyên bỏ qua các kết quả số âm từ các phương trình đã trở thành thói quen, với giả định rằng chúng là vô nghĩa, tương tự như cách René Descartes đã xử lý các nghiệm âm trong hệ tọa độ Descartes.

Phân loại chính của các loại số

Số có thể được phân loại thành các tập hợp khác nhau, gọi là tập hợp số hoặc hệ thống số, như số tự nhiên và số thực. Dưới đây là các hệ thống số chính:

Mỗi hệ thống số đều là một tập hợp con của hệ thống số lớn hơn. Ví dụ, mọi số hữu tỷ đều là số thực, và tất cả số thực đều là số phức. Điều này có thể được diễn tả bằng ký hiệu toán học như sau: $N\subset <!--\; \subset \; -->Z\subset <!--\; \subset \; -->Q\subset <!--\; \subset \; -->R\subset <!--\; \subset \; -->C$.

Các số có thể được phân loại vào nhiều tập hợp khác nhau, tương ứng với các hệ thống số khác nhau.

1. Số tự nhiên
2. Số dương
3. Số âm
4. Số nguyên tố
5. Số hữu tỉ
6. Số vô tỉ
7. Số thực
8. Số phức
9. Hợp số
10. Số chính phương

Số dương

Số dương là những số có giá trị lớn hơn 0. Bạn có thể thêm dấu '+' trước các số dương. Chúng thuộc vào tập hợp số thực R.

Số âm

Số âm là các số có giá trị nhỏ hơn 0. Trong toán học, số âm thường được thể hiện bằng dấu trừ – trước số dương tương ứng. Tương tự như số dương, số âm cũng có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Số tự nhiên

Số tự nhiên là loại số quen thuộc nhất với hầu hết mọi người. Trước đây, nó chỉ bao gồm các số nguyên dương (không tính số 0), nhưng hiện nay phần lớn tài liệu toán học bao gồm cả số không, tạo thành tập hợp các số nguyên không âm. Các số nguyên dương thường được dùng để đếm.

Hệ thập phân, hệ thống số phổ biến, sử dụng các chữ số từ 0 đến 9 để viết số tự nhiên. Trong hệ này, mỗi vị trí biểu thị một lũy thừa của 10, và các số lớn hơn 9 được biểu diễn bằng nhiều chữ số. Các hệ cơ số khác như nhị phân, bát phân, thập lục phân cũng được sử dụng. Tập hợp các số tự nhiên thường được ký hiệu là $N$.

Số nguyên

Số nguyên bao gồm cả số tự nhiên và số đối của chúng. Số đối của một số tự nhiên dương n là số mà khi cộng với n cho kết quả bằng không, thường được ký hiệu bằng cách thêm dấu 'trừ' trước số n. Về mặt thực tiễn, nếu một số dương đại diện cho số tiền gửi ngân hàng thì số âm biểu thị số tiền rút ra. Tập hợp các số nguyên thường được ký hiệu là $Z$ (viết tắt của từ Zahl trong tiếng Đức).

Số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố là số chỉ có hai ước số là 1 và chính nó. Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...

Hợp số là số có nhiều hơn hai ước số. Ví dụ: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...

Số 0 và số 1 không được coi là số nguyên tố cũng như không phải là hợp số.

Số hữu tỉ

Một số hữu tỉ là số có thể được viết dưới dạng một phân số, tức là thương của một số nguyên chia cho một số tự nhiên khác 0. Ví dụ, m/n thể hiện việc chia một đơn vị thành n phần bằng nhau và chọn m phần. Hai phân số khác nhau có thể đại diện cho cùng một giá trị, chẳng hạn như ½ và 2/4. Nếu giá trị tuyệt đối của m lớn hơn n, thì phân số có giá trị tuyệt đối lớn hơn một. Phân số có thể là dương, âm hoặc bằng 0. Một số hữu tỉ có thể được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ:

1. Số thập phân hữu hạn: $0,25=\frac{1}{4}$(số thập phân có số lượng chữ số thập phân hữu hạn)
2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn: $0,\mathrm{33333333333333333333333...}=\frac{1}{3}$(số thập phân vô hạn với chu kỳ lặp lại liên tục)

Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là $Q$.

Số vô tỉ

Số vô tỉ là số không thể được biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên, hay nói cách khác là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ví dụ:

1. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn: $0,\mathrm{1010010001000010000010000001...}$(số thập phân vô hạn với chu kỳ thay đổi không lặp lại)
2. Số$\sqrt{2}=1,\mathrm{414213...}$(căn bậc hai của 2)
3. Số $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=3,\mathrm{141592653589793...}$(số Pi)
4. Số lôgarít tự nhiên $e=2,\mathrm{718281...}$(còn gọi là số e)

Tập hợp các số vô tỉ được ký hiệu là $I$.

Số thực

Các số hữu tỉ, tức là các phân số $\frac{m}{n}$ với $m\in <!--\; \in \; -->Z$, $n\in <!--\; \in \; -->N,n>0$) không đủ để thể hiện tất cả các độ đo trong hình học. Ví dụ, độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh dài 1 là $\sqrt{2}$. Không tồn tại số hữu tỉ nào có bình phương bằng 2.

Để khắc phục điều này, chúng ta mở rộng tập hợp số hữu tỉ thành tập hợp số thực, trong đó mọi dãy Cauchy đều có giới hạn.

(Dãy {x_n}n $\in <!--\; \in \; -->N$ gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số r > 0, tồn tại một số nguyên dương N sao cho với mọi m,n > N, luôn có | x_m − x_n | < r.)

Tập hợp các số thực được ký hiệu là $R$

Như vậy, tập hợp các số thực $R=Q\cup <!--\; \cup \; -->I$ và tập giao giữa các số hữu tỉ và số vô tỉ là $Q\cap <!--\; \cap \; -->I=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$.

Các số thực có thể được phân loại thành hai nhóm chính: các số đại số và các số siêu việt.

Số phức

Tập hợp các số phức mở rộng hệ số đại số của các số thực bằng cách thêm vào căn bậc hai của -1, được gọi là đơn vị ảo và ký hiệu là i. Do đó, số phức có dạng z=a+b×i và tập hợp này được ký hiệu là C.

Trong tập hợp các số phức, mỗi phương trình đại số bậc n đều có đúng n nghiệm.

Tập các số phức được ký hiệu là $C$, và các tập hợp số được bao hàm theo thứ tự:

$N\subset <!--\; \subset \; -->Z\subset <!--\; \subset \; -->Q\subset <!--\; \subset \; -->R\subset <!--\; \subset \; -->C$.

Số siêu phức

Khái niệm số siêu phức mở rộng số phức từ dạng tổ hợp tuyến tính 2 chiều z = a + b.i, với các hệ số thực a và b của các đơn vị cơ sở 1 và i, sang không gian vectơ n chiều với n hệ số thực x₀, x₁, x₂,..., x_n-1, và n đơn vị cơ sở 1, e₁, e₂, e₃,..., e_n-1:

Số đại số

Số đại số là những số có thể là nghiệm của một phương trình đại số nào đó. Những số này có thể là số thực hoặc số phức.

Số siêu việt

Số siêu việt là những số vô tỉ (có thể là thực hoặc phức) không thỏa mãn bất kỳ phương trình đại số nào. Trong ngôn ngữ tập hợp, số siêu việt là phần bù của tập hợp số đại số.

Biểu diễn số

Các số thực có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn hoặc số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Đối với số phức, chúng có thể được diễn tả dưới dạng tổng của một số thực và một số thực nhân với i.

Các tập hợp số

Liên kết ngoài

• Tài liệu liên quan đến Số học trên Wikimedia Commons
• Khái niệm Số (toán học) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)