Số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho hai số

Trong số học, bội số chung nhỏ nhất (viết tắt là BCNN, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (LCM)) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất mà cả a và b đều chia hết mà không dư. Nếu một trong hai số a hoặc b bằng 0, thì không có số nguyên dương nào chia hết cho cả hai số, vì vậy BCNN(a, b) sẽ được quy ước là 0.

Khái niệm bội số chung nhỏ nhất có thể được mở rộng cho nhiều số nguyên dương: BCNN của a₁,..., a_n là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số a₁,..., a_n.

Ký hiệu

Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b thường được ký hiệu là [a,b], BCNN(a,b) hoặc LCM(a,b).

Ký hiệu dùng để biểu diễn bội số chung nhỏ nhất của a₁,..., a_n.

Ví dụ cụ thể

Các bội số của 4 bao gồm:

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,...

(Tiếp tục cộng 4 để có bội số tiếp theo).

Các bội số của 6 là:

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,...

(Cứ thêm 6 để tiếp tục có bội số mới).

Bội số chung của 4 và 6 là những số xuất hiện trong cả hai dãy trên (bỏ số 0):

12, 24, 36, 48,...

Vậy bội số chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12

Ứng dụng của BCNN

BCNN rất hữu ích khi thực hiện phép cộng, trừ hoặc so sánh các phân số, vì nó giúp tìm mẫu số chung nhỏ nhất (hay mẫu số chung tối thiểu).

$\frac{2}{21}+\frac{1}{6}=\frac{4}{42}+\frac{7}{42}=\frac{11}{42},$

Mẫu số 42 được chọn vì nó là bội số chung nhỏ nhất của 21 và 6.

Cách tính bội số chung nhỏ nhất

Phương pháp tính bằng ước số chung lớn nhất

Dưới đây là công thức chuyển từ việc tìm bội số chung nhỏ nhất sang tính ước số chung lớn nhất (GCD):

$\mathrm{BCNN}<!--\; \; -->(a,b)=\frac{|a\cdot <!--\; \cdot \; -->b|}{\mathrm{UCLN}<!--\; \; -->(a,b)}.$

Có một phương pháp nhanh để tính GCD mà không cần phân tích số thành thừa số nguyên tố, đó là thuật toán Euclid. Ví dụ:

Điều này giúp giảm kích thước đầu vào và tiết kiệm bộ nhớ cho các giá trị trung gian.

Phương pháp tính bội số chung nhỏ nhất qua phân tích thừa số nguyên tố

Theo định lý cơ bản của số học, mọi số nguyên dương lớn hơn 1 đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tích của các số nguyên tố (không tính đến thứ tự của các thừa số). Do đó, các hợp số có thể được xem như là sự kết hợp của các nguyên tố. Ví dụ:

$90=2^1\cdot <!--\; \cdot \; -->3^2\cdot <!--\; \cdot \; -->5^1=2\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5$

Ở đây, số 90 có thể phân tích thành các nguyên tố cơ bản bao gồm một nguyên tố 2, hai nguyên tố 3 và một nguyên tố 5.

Những kiến thức này giúp chúng ta tính toán BCNN của một tập hợp các số.

Ví dụ: Tính giá trị của BCNN cho các số 8, 9, 21.

Trước hết, ta cần phân tích từng số thành tích của các thừa số nguyên tố cơ bản.

$8=2^3$

$9=3^2$

$21=3\cdot <!--\; \cdot \; -->7$

Chúng ta lấy lũy thừa cao nhất của mỗi nguyên tố xuất hiện trong phân tích, sau đó nhân chúng lại để tìm BCNN. Các nguyên tố 2, 3, 5 và 7 có bậc cao nhất lần lượt là 3, 2, 1 và 1. Do đó,

$\mathrm{BCNN}<!--\; \; -->(8,9,21)=2^3\cdot <!--\; \cdot \; -->3^2\cdot <!--\; \cdot \; -->5^0\cdot <!--\; \cdot \; -->7^1=8\cdot <!--\; \cdot \; -->9\cdot <!--\; \cdot \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->7=504.$

Phương pháp này không phải lúc nào cũng hiệu quả bằng cách sử dụng ước chung lớn nhất, vì chưa có thuật toán tối ưu cho việc phân tích số nguyên, nhưng nó là một cách tốt để giải thích khái niệm.

Các tính chất

• Với ký hiệu $\mathrm{BCNN}<!--\; \; -->(a;b)=[a;b]$ và $\mathrm{UCLN}<!--\; \; -->(a;b)=(a;b)$, ta có
• Tính chất giao hoán: $[a,b]=[b,a]$
• Tính chất kết hợp: $[a,[b,c\left]\right]=\left[\right[a,b],c]$
• Mối quan hệ với ước chung lớn nhất:

  $[a,b]=\frac{a\cdot <!--\; \cdot \; -->b}{(a,b)}.$

• Trong trường hợp $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau, thì: $[a,b]=a\cdot <!--\; \cdot \; -->b.$