Buzz
Số nguyên tố là khái niệm quan trọng trong toán học giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn để làm tốt các bài tập và bài thi.
Định nghĩa số nguyên tố là gì?
Số nguyên tố là những số tự nhiên chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, và không thể chia hết cho bất kỳ số nào khác.
Nếu trong toán học có số nào đó có thể chia hết cho một số khác ngoài 1 và chính nó thì số đó được gọi là hợp số. Ví dụ như số nguyên tố 11.
Bạn hãy tưởng tượng bạn có 11 quả lê và muốn chia đều cho 5 người. Bạn sẽ thấy không thể chia đều 11 quả lê này cho 5 người vì 11 là số nguyên tố, chỉ chia được cho 1 và 11.
Ứng dụng của số nguyên tố là gì? Số nguyên tố có liên quan mật thiết đến các phương pháp tìm ước số chung nhỏ nhất trong toán học. Trái lại trong văn học, số nguyên tố thường biểu thị sự cô đơn. Dù gần gũi nhau, những số nguyên tố như 3, 5, 7 vẫn giữ một khoảng cách vì những số chẵn như 9. Vì thế, những nhà văn thường dùng số nguyên tố để miêu tả sự cô đơn trong tình yêu.
Tính chất đặc biệt của số nguyên tố là gì?
Số nguyên tố có những đặc điểm đặc biệt giúp tính toán dễ dàng hơn như sau:
- Số 2: Là số chẵn duy nhất trong dãy số nguyên tố và là số nguyên tố nhỏ nhất.
- Số 11: Là số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số.
- Số 101: Là số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số.
- Số 97: Là số nguyên tố lớn nhất có 2 chữ số.
- Số 997: Là số nguyên tố lớn nhất có 3 chữ số.
- Số lượng số nguyên tố là vô hạn và không giới hạn.
- Nhân hai số nguyên tố với nhau sẽ không bao giờ tạo thành số hình vuông.
- Ước số bé nhất của một số là một số nguyên tố vì nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
- Ước số bé nhất của một tổ hợp số tự nhiên bất kỳ là một số nguyên tố không lớn hơn căn bậc hai của số đó.
Thừa số nguyên tố là gì?
Thừa số nguyên tố là các số nguyên tố được nhân với nhau để tạo thành tích. Ví dụ như 2 và 3 là thừa số nguyên tố vì chúng nhân với nhau tạo thành 6.
2 x 3 = 6. Do đó số 2 và số 3 là các số nguyên tố.
3 x 5 x 7 = 105. Vì vậy số 3, số 5, số 7 là các số nguyên tố.
Bảng tổng hợp các số nguyên tố đầy đủ
Sau khi tìm hiểu về số nguyên tố, bạn có thể xem bảng tổng hợp đầy đủ của chúng:
Trong danh sách đó, các số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố.
Một số định nghĩa liên quan đến số nguyên tố
Có những khái niệm khác liên quan đến loại số này như số nguyên tố cùng nhau. Đây là những số tự nhiên mà ước số chung lớn nhất của chúng bằng 1. Dưới đây là một số ví dụ về số nguyên tố cùng nhau:
- Số 2 và số 3
- Số 5 và số 7
- Số 13 và số 27
Hơn nữa, ta có thể tìm hiểu về khái niệm số nguyên tố siêu. Điều đặc biệt của loại số này là khi bạn loại bỏ một chữ số từ bên phải của nó, các chữ số còn lại vẫn tạo thành một số nguyên tố mới. Ví dụ như 2333 có 04 chữ số và các số 2, 23, 233 đều là số nguyên tố. Ngoài ra còn có nhiều số nguyên tố siêu khác như 37337, 2339, 7333, 2393, 7393,…
Cách để tìm số nguyên tố là gì?
Ngày nay, có nhiều phương pháp giúp bạn tìm ra các số nguyên tố như sau:
Kiểm tra các số nguyên tố
Để kiểm tra một số có phải số nguyên tố, bạn có thể thực hiện các bước sau: nếu số đó nhỏ hơn 2, nó không phải là số nguyên tố. Bạn cũng có thể đếm số lượng ước của số trong khoảng từ 2 đến căn bậc hai của số đó. Nếu không có ước nào trong khoảng đó, số đó là số nguyên tố. Ngược lại, nếu có ước thì không phải là số nguyên tố.
Kiểm tra bằng cách chia
Với phương pháp này, bạn lấy số cần kiểm tra chia cho các số khác để xác định xem có phải số nguyên tố hay không. Phương pháp này đơn giản nhưng tốn thời gian và có thể gặp sai sót khi chia.
Duyệt từng phần tử cùng với bước nhảy một
Để kiểm tra số nguyên tố, bạn có thể làm theo các bước sau:
- Bước 1: Chọn một số tự nhiên (n) bất kỳ.
- Bước 2: Kiểm tra nếu số đó bé hơn 2, thì không phải số nguyên tố.
- Bước 3: Lặp lại từ số 2 đến số n – 1. Nếu có số mà n chia hết cho nó, thì n không phải số nguyên tố. Ngược lại, n là số nguyên tố.
Lặp từng phần tử với bước nhảy hai
Theo định nghĩa số nguyên tố, 2 là số chẵn duy nhất trong dãy số nguyên tố, nên bạn loại số 2 ra khỏi vòng lặp. Chỉ cần kiểm tra các số lẻ để xác định số nguyên tố.
Bài tập áp dụng về số nguyên tố kèm đáp án
Sau khi hiểu về số nguyên tố và tính chất của nó, bạn có thể áp dụng các bài tập sau:
Hiện nay có nhiều loại bài tập liên quan đến số nguyên tố từ đơn giản đến phức tạp, dựa trên các đặc điểm đặc trưng của chúng.
- Bài tập về bội số và ước số của các số nguyên tố.
- Bài tập về tổng, hiệu của các số nguyên tố.
- Bài tập về cách nhận biết số nguyên tố.
- Bài tập về chứng minh số nguyên tố.
Dưới đây là một số bài tập cụ thể về số nguyên tố:
Bài tập số 1
Hãy tìm số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố có tổng là 1322.
Đáp án:
- Vì tổng của 3 số là số chẵn, có thể là 3 số lẻ hoặc 3 số chẵn với 1 số lẻ.
- Một trong 3 số phải là số chẵn.
- Vậy kết luận số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố trên là số 2.
Bài tập số 2
Tìm tất cả các số tự nhiên n để n được xem như là số nguyên tố:
- n–5
- n–4
- n–3
- n+1
- n+5.
Đáp án:
Số nhỏ nhất trong dãy số nguyên tố là số 1. Vì vậy (n – 5) lớn hơn 1 nên n sẽ lớn hơn 6. Khi xét số n = 6 thì ta có:
- n–5=1.
- n–4=2.
- n–3=3.
- n–1=5.
- n+1=7.
- n+5=11.
Vậy ta có các số 1 – 2 – 3 – 5 – 7 – 11 là những số thuộc dãy số nguyên tố. Do đó, số tự nhiên n = 6 thỏa mãn yêu cầu của bài tập.
Chúng ta có thể kết luận rằng số tự nhiên n là số 6.
Bài tập 3
Hãy tìm số k sao cho 13k và 17k đều là số nguyên tố.
Đáp án:
Theo lý thuyết, số được coi là số nguyên tố khi chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó. Do đó, ta có:
Số 13 và số 17 đều là số nguyên tố.
Để 13k và 17k là số nguyên tố, k phải bằng 1.
Để 13k và 17k vẫn là số nguyên tố, k không được bằng 1.
Vì vậy, chỉ có khi k bằng 1 thì số 13k và số 17k mới là số nguyên tố.
Bài tập 4
Cho hai số 13 và 11. Liệu chúng có thể là hai số nguyên tố cùng nhau không?
Đáp án:
13 = 1 x 13
11 = 1 x 11
Suy ra ước chung cao nhất của số 11 và số 13 là số 1 và chúng là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài tập 5
Cho hai số 8 và 7. Liệu chúng có thể là hai số nguyên tố cùng nhau không?
Đáp án:
7 = 1 x 7
8 = 1 x 2 x 2 x 2
Như vậy, ước chung lớn nhất của 8 và số 7 là số 1. Ta kết luận rằng đây là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Bài tập 6
Cho 2p + 2 và p đều là các số thuộc dãy số nguyên tố (với điều kiện p lớn hơn 5). Liệu số 4p + 1 có phải là số hợp số hay số nguyên tố?
Đáp án:
- Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 → p không chia hết cho 3 → 4p không chia hết cho 3.
- Vì 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 → 2p + 1 không chia hết cho 3 → 4p + 2 cũng không chia hết cho 3. Trong ba số liền kề là 4p, 4p+1, 4p+2 chỉ có 1 số chia hết cho 3. Do đó, số 4p+1 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 → Số 4p+1 là hợp số.
Bài viết trên đã giới thiệu nhiều về số nguyên tố để các bạn hiểu rõ hơn. Mong rằng các bạn có thể áp dụng các phương pháp này để giải quyết các bài tập một cách hiệu quả hơn. Đây là kiến thức cơ bản mà mọi học sinh cần nắm để học toán tốt hơn.
