Số thuần ảo

Số thuần ảo hay số ảo là một loại số phức, khi bình phương sẽ cho kết quả là một số nguyên không âm. Số ảo được tạo thành từ tích của một số thực $x$ và $i$, trong đó $i^2=-<!--\; -\; -->1$.

Vào thế kỷ 17, thuật ngữ số ảo được dùng với ý nghĩa chế giễu và bị coi là không có giá trị. Tuy nhiên, sau khi Leonhard Euler và Carl Friedrich Gauss công bố các công trình của họ, khái niệm số ảo đã được công nhận rộng rãi.

Một số ảo $bi$ có thể được cộng với một số thực $a$ để tạo thành một số phức $a+bi$, trong đó $a$ và $b$ là phần thực và phần ảo của số phức.

Diễn giải

Số ảo được diễn tả dưới dạng đơn thức $bi$, với $b$ là một số thực khác không và $i$ là đơn vị ảo thỏa mãn phương trình $i^2=-<!--\; -\; -->1$. Khi kết hợp với số thực $a$, nó tạo ra phần ảo $b$ và phần thực $a$ của số phức $a+bi$.

$i=\sqrt{-<!--\; -\; -->1}$

$j=\sqrt{-<!--\; -\; -->1}$

Giai đoạn lịch sử

Hero xứ Alexandria là người đầu tiên ghi nhận số ảo vào khoảng thế kỷ I trước công nguyên khi làm các tính toán liên quan đến khối hình kim tự tháp. Tuy nhiên, nghiên cứu chính thức về số ảo chỉ bắt đầu từ Rafael Bombelli, một nhà toán học người Ý, trong tác phẩm đại số L'Algebra xuất bản năm 1569. Rafael Bombelli là người đã phát minh ra ký hiệu cho đơn vị ảo $i$ và mô tả các thuộc tính của nó.

Hình học phân tích

Các ứng dụng của số ảo

Khả năng lũy thừa

Khi bình phương hoặc lập phương hai vế của phương trình $i=\sqrt{-<!--\; -\; -->1}$, ta nhận được:

$i^2=-<!--\; -\; -->1$

$i^3=-<!--\; -\; -->i$

$i^4=1$

$i^5=i$

$i^6=-<!--\; -\; -->1$...

Do đó, với $n\in <!--\; \in \; -->N$, ta có thể diễn đạt như sau:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-<!--\; -\; -->1$

$i^{4n+3}=-<!--\; -\; -->i$

Phương trình bậc hai

Khi giải phương trình bậc hai với điều kiện b - 4ac < 0, như ví dụ với $x^2+x+1=0$.

Theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai,

Tuy nhiên, chúng ta có thể đơn giản hơn nhờ vào số ảo.

Phân tích nhân tử

Thông thường, đa thức như $x^2+a^2$ không thể phân tích thành nhân tử.

Tuy nhiên, có thể viết lại như sau (Vì -(-a) = +a)

$x^2-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->a^2)$

Do đó, ta có thể viết theo cách sử dụng số ảo như sau:

$x^2-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->a^2)=x^2-<!--\; -\; -->\left(\right(ai{)}^2)=(x+ai\left)\right(x-<!--\; -\; -->ai).$

Căn của số ảo

Áp dụng Công thức Euler với x=π,

$e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)+i\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)=-<!--\; -\; -->1+0i=-<!--\; -\; -->1$

Tiếp theo, ta lấy căn bậc bốn của hai vế.

Theo Công thức Euler, ta có:

Do đó, ta có:

Căn bậc ba của số ảo

Tính căn bậc sáu của cả hai vế trong Công thức Euler với x=π.

Do đó, ta có:

Số ảo được áp dụng trong tính toán mạch điện xoay chiều để làm cho các phép tính trở nên đơn giản hơn.

Tài liệu liên quan

• Chương trình 'In Our Time: Số Ảo' - Thảo luận về số ảo trên BBC Radio 4.
• Chương trình 5Numbers số 4 - Chương trình trên BBC Radio 4.