Số thực dương

Trong toán học, tập số thực dương, $R_{>0}=\left\{x\in <!--\; \in \; -->R\mid <!--\; \mid \; -->x>0\right\},$ là tập hợp con của các số thực có giá trị lớn hơn không. Tập số thực không âm, $R_{\ge <!--\; \ge \; -->0}=\left\{x\in <!--\; \in \; -->R\mid <!--\; \mid \; -->x\ge <!--\; \ge \; -->0\right\},$ bao gồm số 0. Các ký hiệu $R_{+}$ và $R^{+}$ có thể được dùng để chỉ cả hai tập, với ký hiệu $R_{+}$ hay $R^{+}$ cho $\left\{x\in <!--\; \in \; -->R\mid <!--\; \mid \; -->x\ge <!--\; \ge \; -->0\right\}$ và $R_{+}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$ hay $R_{\ast <!--\; \ast \; -->}^{+}$ để chỉ $\left\{x\in <!--\; \in \; -->R\mid <!--\; \mid \; -->x>0\right\}$

thường được dùng, với dấu sao biểu thị việc loại trừ số 0 trong tập hợp và được hiểu rõ bởi các nhà toán học.

Trên mặt phẳng số phức, $R_{>0}$ được coi là trục số dương, thường được biểu diễn dưới dạng một tia ngang.

Các đặc điểm

Tập $R_{>0}$ là tập hợp được đóng lại dưới phép cộng, nhân và chia. Nó thừa hưởng cấu trúc tô pô từ đường số thực và có cấu trúc của nhóm tô pô nhân hoặc nửa nhóm tô pô.

Với một số thực dương $x,$, dãy số $\left\{x^n\right\}$ sẽ có 3 kết quả: Khi $x\in <!--\; \in \; -->(0,1),$, dãy sẽ tiến dần về 0; Khi $x=1,$, dãy này sẽ trở thành dãy hằng; và khi $x>1,$, dãy số này sẽ không có giới hạn trên.

$R_{>0}=(0,1)\cup <!--\; \cup \; -->\left\{1\right\}\cup <!--\; \cup \; -->(1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$ và các hàm nghịch đảo sẽ thay đổi vị trí các khoảng này. Hàm lấy phần nguyên, $\mathrm{floor}:[1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})\to <!--\; \to \; -->N,x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,$ và hàm lấy phần lẻ, $\mathrm{excess}:[1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})\to <!--\; \to \; -->(0,1),x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->x-<!--\; -\; -->\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,$ giúp mô tả phần tử $x\in <!--\; \in \; -->R_{>0}$ dưới dạng dãy số liên phân số $\left[n_0;n_1,n_2,\dots <!--\; \dots \; -->\right],$ với hàm floor và phần lẻ đã được nghịch đảo. Đối với $x$ hữu tỷ, dãy kết thúc bằng biểu thức liên phân số chính xác của $x,$, và đối với $x$ vô tỷ, dãy sẽ trở thành liên phân số chu kỳ.

Tập hợp $\left(R_{>0},>\right)$ có thứ tự toàn phần nhưng không phải là tập sắp thứ tự tốt.

Trong lĩnh vực nhóm cổ điển, với mọi số nguyên dương $n\in <!--\; \in \; -->N,$ , định thức là một ánh xạ từ các ma trận $n\times <!--\; \times \; -->n$ sang tập các số thực: $M(n,R)\to <!--\; \to \; -->R.$ Khi chỉ xét các ma trận khả nghịch, ánh xạ này chuyển từ nhóm tuyến tính tổng quát đến tập số thực khác không: $GL(n,R)\to <!--\; \to \; -->R^{\times <!--\; \times \; -->}.$ Tiếp tục thu hẹp đến các ma trận có định thức dương, ánh xạ này trở thành: ${\mathrm{GL}}^{+}<!--\; \; -->(n,R)\to <!--\; \to \; -->R_{>0}$; nhóm kết quả của ánh xạ này chính là nhóm thương bởi nhóm con chuẩn tắc $\mathrm{SL}<!--\; \; -->(n,R)◃<!--\; ◃\; -->{\mathrm{GL}}^{+}<!--\; \; -->(n,R),$ và từ đó chứng minh rằng tập các số thực dương là một nhóm Lie.

• Nửa trường
• Dấu (Toán học)
• Số thực âm

• Kist, Joseph; Leetsma, Sanford (1970). “Additive semigroups of positive real numbers”. Mathematische Annalen. 188 (3): 214–218. doi:10.1007/BF01350237.

Bản mẫutheory