Số tiền ***yên

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm Lý thuyết nhóm
Thuật ngữ cơ bản[hiện] Nhóm con Nhóm con chuẩn tắc Nhóm thương Tích trực tiếp Tích nửa trực tiếp Đồng cấu nhóm hạt nhân ảnh tổng trực tiếp tích bện đơn hữu hạn vô hạn liên tục nhân cộng tính cy***ic giao hoán nhị diện lũy linh giải được tác động Từ vựng dùng trong lý thuyết nhóm Danh sách các chủ đề trong lý thuyết nhóm
Nhóm hữu hạn[hiện] Phân loại nhóm đơn hữu hạn cy***ic thay phiên dạng Lie sporadic định lý Cauchy định lý Lagrange Định lý Sylow Định lý Hall p-nhóm Nhóm abel sơ cấp Nhóm Frobenius Nhân tử Schur Nhóm Mathieu M11 M12 M22 M23 M24 Nhóm Conway Co1 Co2 Co3 Nhóm Janko J1 J2 J3 J4 Nhóm Fischer F22 F23 F24 nhóm đối xứng Sn Nhóm bốn Klein V Nhóm nhị diện Dn Nhóm Quaternion Q Nhóm Dicy***ic Dicn
Nhóm rời rạc Lưới [hiện] Số ***yên ($Z$) Nhóm tự do Nhóm mô đun PSL(2, $Z$) SL(2, $Z$) Nhóm số học Lưới Nhóm hyperbolic
Tô pô và nhóm Lie[hiện] Solenoid Đường tròn Tuyến tính tổng quát GL(n) Tuyến tính đặc biệt SL(n) Trực giao O(n) Eu***id E(n) Trực giao đặc biệt SO(n) Unita U(n) Unita đặc biệt SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Bảo giác Vi đồng phôi Vòng Nhóm Lie vô hạn chiều O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Nhóm đại số[hiện] Nhóm đại số tuyến tính Nhóm khả quy Đa tạp giao hoán Đường cong elliptic

Trong toán học, số tiền ***yên được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các số ***yên, trong khi 9.75, 5+1/2 và $\sqrt{2}$

{\***playstyle {\sqrt {2}}} không phải là số tiền ***yên.

Tập hợp các số tiền ***yên bao gồm 0, các số tự nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm, và các nghịch đảo phép cộng của chúng (là các số tiền ***yên âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập hợp các số tiền ***yên thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền $\left(Z\right)$ với chữ cái 'Z' bắt ***ồn từ tiếng Đức Zahlen (nghĩa là 'số'). $Z$ là một tập hợp con của tập hợp các số hữu tỷ $Q$, đến lượt nó là một tập hợp con của tập hợp các số thực $R$. Giống như tập hợp các số tự nhiên, $Z$ là tập hợp vô hạn đếm được.

Các số tiền ***yên tạo thành nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất chứa các số tự nhiên. Trong lý thuyết số đại số, các số tiền ***yên đôi khi được coi là số tiền ***yên hữu tỉ để phân biệt chúng với các số tiền ***yên đại số tổng quát hơn. Trên thực tế, số tiền ***yên (hữu tỉ) là số tiền ***yên đại số mà cũng là số hữu tỉ.

Ký hiệu

Biểu tượng Z có thể được sử dụng để biểu thị các tập hợp khác nhau, với cách sử dụng khác nhau giữa các tác giả: Z^+, Z_+ hoặc Z^> đối với các số nguyên dương, Z^{0+} hoặc Z^{\geq } cho các số nguyên không âm và Z^{\neq } cho các số nguyên khác 0. Một số tác giả sử dụng ký hiệu Z^{*} cho các số nguyên khác 0, trong khi những người khác sử dụng nó cho các số nguyên không âm hoặc cho {-1, 1}. Ngoài ra, Z_p được sử dụng để biểu thị tập các số nguyên modulo p (tức là tập các lớp đồng dư của các số nguyên) hoặc tập các số nguyên p-adic.. vì vậy nếu muốn sử dụng ký hiệu Z^{\neq } hoặc ký hiệu Z^{*} thì phải định nghĩa lại trên đề kiểm tra, nếu trên đề không có định nghĩa thì xem như đề đó là sai. Có một số bài bài toán chứng minh quy nạp thường hay sử dụng để loại đi trường hợp khác không. Chúng ta phải căn cứ vào sách giáo khoa lớp 6 làm căn cứ, trong sách lớp 6 tập hợp số nguyên chỉ có kí hiệu là Z nên khi chúng ta cho đề mà có sử dụng ký hiệu Z^{*} Z^{*}

Tính chất

Các số nguyên có thể được coi là các điểm rời rạc, cách đều nhau trên một trục số dài vô hạn. Ở hình trên, các số nguyên không âm được hiển thị bằng màu xanh lam và số nguyên âm màu đỏ.

Giống như các số tự nhiên, Z là tập hợp đóng với các phép toán cộng và nhân, tức là tổng và tích của hai số nguyên bất kỳ là một số nguyên. Tuy nhiên, với việc bao gồm cả các số nguyên âm (và quan trọng là 0), Z, không giống như các số tự nhiên, cũng là tập hợp đóng với phép trừ.

Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị, vốn là vành cơ bản nhất, theo nghĩa sau: đối với bất kỳ vành đơn vị nào, đều có một phép đồng cấu duy nhất từ các số nguyên vào vành này. Thuộc tính phổ quát này, cụ thể là một đối tượng ban đầu trong loại vành, là đặc trưng cho vành Z.

Tập hợp các số nguyên Z không phải là nhóm với phép chia, vì thương của hai số nguyên (ví dụ: 1 chia cho 2) có thể không phải là số nguyên. Mặc dù các số tự nhiên là nhóm với phép lũy thừa, nhưng các số nguyên thì không (vì kết quả có thể là một phân số khi số mũ là âm).

Bảng sau đây liệt kê một số tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân đối với bất kỳ số nguyên a, b và c nào:

Tính chất của phép cộng và phép nhân trên số ***yên

	Phép cộng	Phép nhân
Tính đóng:	a + b là số ***yên	a × b là số ***yên
Tính kết hợp:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
Tính giao hoán:	a + b = b + a	a × b = b × a
Tồn tại phần tử đơn vị:	a + 0 = a	a × 1 = a
Tồn tại phần tử nghịch đảo:	a + (−a) = 0	Số ***yên duy nhất có phần tử nghịch đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không có ước số của 0:		Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, năm thuộc tính đầu tiên cho phép nhóm Abel với phép cộng. Đồng thời, nó cũng là nhóm vòng, vì mọi số nguyên khác 0 đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 + ... + 1 hoặc (-1) + (-1) + ... + (-1). Thực tế, số nguyên với phép cộng là nhóm tuần hoàn vô hạn duy nhất - nghĩa là bất kỳ nhóm tuần hoàn vô hạn nào cũng đẳng cấu với số nguyên.

Bốn thuộc tính đầu tiên cho phép nhân khẳng định rằng số nguyên cùng với phép nhân là một monoid giao hoán. Tuy nhiên, không phải tất cả số nguyên đều có phần tử nghịch đảo với phép nhân (ví dụ như số 2), do đó số nguyên với phép nhân không phải là một nhóm.

Tất cả các quy tắc từ bảng thuộc tính trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng) khi kết hợp lại cho thấy rằng số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân là một vành giao hoán có phần tử đơn vị. Nó là mẫu chuẩn của tất cả các cấu trúc đại số tương tự. Những đẳng thức của biểu thức là đúng trong số nguyên cho mọi giá trị biến, cũng như trong bất kỳ vành giao hoán nào khác. Một số số nguyên khác 0 ánh xạ tới 0 trong một vành nhất định.

Không có số nguyên tố của 0 trong tập số nguyên (thuộc tính cuối cùng trong bảng) ngụ ý rằng vành số nguyên Z là một miền nguyên.

Thiếu tính chất nghịch đảo nhân tương đương với việc Z không phải là một trường với phép chia, có nghĩa là Z không phải là một trường. Trường nhỏ nhất chứa các số nguyên dưới dạng một vành con là trường các số hữu tỉ. Quá trình xây dựng các số hữu tỉ từ các số nguyên có thể được mô phỏng để tạo thành trường phân số của bất kỳ miền nguyên nào. Và ngược lại, bắt đầu từ trường số hữu hạn (phần mở rộng của số hữu tỉ), vành số nguyên của nó có thể được trích xuất, bao gồm số nguyên Z như là vành con của nó.

Mặc dù phép chia thông thường không được xác định trên tập số nguyên Z, phép chia 'với phần dư' được xác định trên chúng. Được gọi là phép chia Euclid, nó có tính chất quan trọng sau: cho hai số nguyên a và b với b ≠ 0, tồn tại duy nhất các số nguyên q và r sao cho a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, trong đó |b| biểu thị giá trị tuyệt đối của b. Số nguyên q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của phép chia a cho b. Thuật toán Euclid để tính ước số chung lớn nhất hoạt động với một chuỗi các phép chia Euclid.

Một lần nữa, trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, phần trên cho rằng Z là một vành Euclid. Điều này ngụ ý rằng Z là một vành ideal chính và bất kỳ số nguyên dương nào cũng có thể được viết dưới dạng tích của các số nguyên tố theo một cách cơ bản duy nhất. Đây là định lý cơ bản của số học.

Thuộc tính lý thuyết thứ tự

Tập hợp số nguyên Z là một tập hợp có thứ tự hoàn toàn không giới hạn trên hoặc dưới. Thứ tự của số nguyên Z được định nghĩa là: ... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Một số nguyên là dương nếu nó lớn hơn 0 và âm nếu nó nhỏ hơn 0. Số không (0) được xem là không âm cũng không dương.

Thứ tự của các số nguyên tương thích với các phép toán đại số như sau:

Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Do đó, ta kết luận rằng số nguyên Z cùng với thứ tự trên là một vành có thứ tự.

Các số nguyên là nhóm abel có thứ tự hoàn toàn không tầm thường duy nhất có các phần tử dương được sắp xếp theo thứ tự hợp lý. Điều này tương đương với tuyên bố rằng bất kỳ vành đánh giá Noether nào cũng là một trường — hoặc một vành định giá vô cùng quan trọng.

Xây dựng

Các điểm màu đỏ biểu thị các cặp số tự nhiên có thứ tự. Các điểm màu đỏ được nối với nhau là các lớp tương đương đại diện cho các số nguyên màu xanh lam ở cuối dòng.

Trong quá trình giảng dạy ở trường tiểu học, các số nguyên thường được định nghĩa một cách trực quan là các số tự nhiên (dương), số 0 và số đối của các số tự nhiên. Tuy nhiên, cách định nghĩa này dẫn đến nhiều trường hợp khác nhau (mỗi phép toán số học cần được xác định trên từng tổ hợp các loại số nguyên) và khiến cho việc chứng minh rằng các số nguyên tuân theo các quy tắc số học khác nhau trở nên tẻ nhạt. Do đó, trong toán học lý thuyết tập hợp hiện đại, một cấu trúc trừu tượng hơn cho phép xác định các phép toán số học mà không có sự phân biệt trường hợp nào thường được sử dụng để thay thế. Do đó, các số nguyên có thể được xây dựng chính thức như các lớp tương đương của các cặp số tự nhiên có thứ tự ((a,b)).

Trực giác là (a,b) là viết tắt của kết quả phép trừ a-b. Để xác nhận rằng kỳ vọng của chúng ta là 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị cùng một số, chúng ta xác định quan hệ tương đương ~ trên các cặp này theo quy tắc sau:

$(a,b)\sim <!--\; \sim \; -->(c,d)$

chỉ khi

Phép cộng của các số nguyên có thể được biểu diễn bằng phép toán tương đương trên các số tự nhiên: (a+d=b+c)

Phép cộng và phép nhân của các số nguyên có thể được định nghĩa bằng cách sử dụng lớp tương đương [(a,b)], với (a,b) là thành viên, lớp này có:

$\left[\right(a,b\left)\right]+\left[\right(c,d\left)\right]:=\left[\right(a+c,b+d\left)\right].$

$\left[\right(a,b\left)\right]\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\right(c,d\left)\right]:=\left[\right(ac+bd,ad+bc\left)\right].$

Số đối của một số nguyên (hoặc phần nghịch đảo của phép cộng) có thể được xác định bằng cách đảo ngược thứ tự của cặp:

Phép đảo ngược của số hạng là phép cộng với số hạng nghịch đảo: (a,b)

Do đó phép trừ có thể được xác định là phép cộng với số hạng nghịch đảo của phép cộng:

Phép trừ của các số nguyên có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng lớp tương đương [(a,b)], với (a,b) là thành viên, lớp này có:

Thứ tự tiêu chuẩn trên các số tự nhiên được xác định bằng bất đẳng thức:

Phép so sánh trên các số nguyên được đưa ra với điều kiện: (a+d<b+c)

Dễ dàng kiểm chứng rằng các định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của các lớp tương đương.

Mọi lớp tương đương có một thành viên duy nhất có dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả hai cùng một lúc). Số tự nhiên n được xác định với lớp [(n,0)] (nghĩa là, các số tự nhiên được nhúng vào các số yên bằng cách ánh xạ gửi n tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu là −n (bao gồm tất cả các lớp còn lại và cho lớp [(0,0)] 2 lần do −0 = 0.

Do đó, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu các số tự nhiên được xác định với các số yên tương ứng (sử dụng phép nhúng được đề cập ở trên), thì quy ước này không tạo ra sự mơ hồ.

Ký hiệu này khôi phục biểu diễn quen thuộc của các số âm bao gồm {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.

Ví dụ như:

Trong lý thuyết máy tính, các cách tiếp cận khác để xây dựng các số âm được sử dụng bởi máy dò lý thuyết tự động và các công cụ tái cấu trúc thuật ngữ.

Số âm được biểu diễn dưới dạng thuật ngữ đại số trong lý thuyết máy tính bằng cách sử dụng các phép toán cơ bản như zero, succ, pred và số tự nhiên được giả định là đã xây dựng (sử dụng phương pháp Peano).

Có ít nhất mười phương pháp để xây dựng các số nguyên có dấu. Các cấu trúc này khác nhau về số lượng phép toán cơ bản được sử dụng, số lượng (thường là từ 0 đến 2) và các loại đối số được chấp nhận; sự hiện diện hay vắng mặt của các số tự nhiên làm đối số của một số phép toán này và xem xét xem liệu các phép toán này có phải là hàm tạo tự do hay không, tức là cùng một số nguyên có thể được biểu diễn bằng một hoặc nhiều số hạng đại số.

Phương pháp xây dựng các số nguyên như đã mô tả trong phần này tương ứng với trường hợp cụ thể với duy nhất một cặp phép toán cơ bản $(x,y)$ nhận hai số tự nhiên làm đối số $x$ và $y$ và trả về một số nguyên (bằng $x-<!--\; -\; -->y$). Quy trình này không phải là quy trình tự do vì số nguyên 0 có thể được biểu diễn bằng cặp (0,0), hoặc (1,1) hoặc (2,2), v.v. Phương pháp xây dựng này được sử dụng bởi trợ lý chứng minh Isabelle; tuy nhiên, nhiều công cụ khác sử dụng các phương pháp xây dựng thay thế, đặc biệt là các phương pháp dựa trên cấu trúc tự do, đơn giản hơn và có thể được thực hiện hiệu quả hơn trong máy tính.

Máy tính là thiết bị

Một số nguyên thường là một loại dữ liệu nguyên thuần trong các ngôn ngữ lập trình. Tuy nhiên, loại dữ liệu số nguyên chỉ có thể đại diện cho một tập con của tất cả các số nguyên, do máy tính có hạn chế về dung lượng. Ngoài ra, trong biểu diễn phép bù hai phổ biến, có định nghĩa cố định về sự phân biệt giữa 'âm' và 'không âm' thay vì 'âm, dương và 0 '. (Tuy nhiên, máy tính có thể xác định được liệu một giá trị số nguyên có thực sự là số dương hay không.) Các loại dữ liệu xấp xỉ số nguyên có kích thước cố định (hoặc tập hợp con) được ký hiệu là int hoặc Integer trong một số ngôn ngữ lập trình (ví dụ: Algol68, C, Java, ***phi, v.v..).

Các biểu diễn số nguyên có độ dài thay đổi, ví dụ như bignum, có thể lưu trữ bất kỳ số nguyên nào phù hợp với bộ nhớ của máy tính. Các loại dữ liệu số nguyên khác có kích thước cố định thường là một lũy thừa của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một số chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Mặt lưng

Sức mạnh của tập hợp các số ***yên là ℵ₀ (aleph-null). Điều này dễ dàng chứng minh bằng cách xây dựng một ánh xạ đơn ánh và toàn ánh từ $Z$ đến $N$. Nếu $N_0\equiv <!--\; \equiv \; -->\{0,1,2,...\}$ thì xem xét hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như $N\equiv <!--\; \equiv \; -->\{0,1,2,3,...\}$ thì ta xem xét hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn trong $Z$, thì mỗi phần tử của $Z$ đều có một phần tử tương ứng duy nhất trong $N$ và do đó, theo định nghĩa của bình đẳng lực lượng, hai tập hợp này có cùng lực lượng.