Số từ với mọi

Lượng từ với mọi

Loại	lượng từ
Lĩnh vực	logic toán học
Phát biểu	$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}xP\left(x\right)$ đúng khi $P\left(x\right)$ đúng với mọi $x$.
Phát biểu tương đương	$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}xP\left(x\right)$

Trong logic toán học, lượng từ với mọi hoặc lượng từ phổ dụng là một loại lượng từ, một hằng logic biểu thị cho 'với bất kỳ' hoặc 'với mọi'. Nó cho biết rằng một mệnh đề đúng với mọi phần tử trong miền biện luận.

Lượng từ này thường được ký hiệu bằng ký tự ∀. Khi kết hợp với một biến số, lượng từ với mọi có thể viết là '∀x' hoặc '∀(x)'. Lượng từ với mọi khác với lượng từ tồn tại, mà chỉ quan tâm đến sự tồn tại của ít nhất một phần tử trong miền.

Ký hiệu lượng từ với mọi được mã hóa là ∀ trong Unicode, hay là \forall trong LaTeX và các công cụ soạn thảo toán học khác.

Cơ bản

Hãy giả định chúng ta có câu sau đây

2·0 = 0 + 0, và 2·1 = 1 + 1, và 2·2 = 2 + 2, và như vậy.

Câu này có vẻ như là một mệnh đề hội vì nó sử dụng liên tiếp từ 'và'. Tuy nhiên, từ 'và như vậy' không thể sử dụng trong logic mệnh đề. Do đó, câu trên cần được sửa lại như sau:

Với mọi số tự nhiên n, ta có 2·n = n + n.

Câu trên là đúng về mặt logic, vì ta có thể thay thế bất kỳ số tự nhiên nào cho n mà phát biểu '2·n = n + n' vẫn đúng. Ngược lại, câu sau đây,

Với mọi số tự nhiên n, ta có 2·n > 2 + n

là sai bởi vì nếu thay n bằng 1, mệnh đề '2·1 > 2 + 1' là sai. Chỉ cần một ví dụ phản chứng để bác bỏ lượng từ với mọi.

Ngược lại, nếu ta sửa câu thành Với mọi hợp số n, ta có 2·n > 2 + n thì câu này đúng vì không tồn tại phản chứng nào là hợp số. Điều này cho thấy tầm quan trọng của miền biện luận, tức là việc chọn ra các giá trị hoặc đối tượng mà n có thể lấy. Cụ thể hơn, nếu miền biện luận bị giới hạn chỉ bao gồm các đối tượng thỏa mãn mệnh đề cụ thể, thì vị từ phải đi kèm với phép kéo theo. Ví dụ, câu ' Với mọi hợp số n, ta có 2·n > 2 + n ' tương đương với

Với mọi số tự nhiên n, nếu n là hợp số, thì 2·n > 2 + n.

Ký hiệu

Trong logic bậc nhất, ký hiệu lượng từ với mọi $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}$ (chữ  'A' đảo ngược trong phông chữ sans-serif, Unicode U+2200) được sử dụng để biểu thị lượng từ với mọi. Được Gentzen sử dụng lần đầu vào năm 1935, tương tự như ký hiệu lượng từ tồn tại $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}$

của Peano cho lượng từ tồn tại và sau đó được sử dụng trong công trình của Russell.

Ví dụ, nếu P(n) là mệnh đề '2·n > 2 + n' và N là tập các số tự nhiên n, thì

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->NP\left(n\right)$

là câu (sai trong logic chân lý) sau:

'với mọi số tự nhiên n, ta có 2·n > 2 + n'.

Tương tự, nếu Q(n) là mệnh đề 'n là hợp số', thì

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->N(Q\left(n\right)\to <!--\; \to \; -->P\left(n\right))$

là câu sau:

'với mọi số tự nhiên n, nếu n là hợp số, thì 2·n > 2 + n'.

Các đặc tính

Phủ định

Phủ định của lượng từ với mọi được thực hiện bằng cách chuyển từ lượng từ với mọi sang lượng từ tồn tại và sau đó phủ định mệnh đề hiện tại. Nghĩa là,

$\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}xP\left(x\right)\text{tương đương với}\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}P\left(x\right)$

trong đó $\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}$ là ký hiệu của phép phủ định.

Ví dụ, nếu P(x) là mệnh đề 'x đã cưới', và tập X là tập tất cả các người đang sống thì lượng từ với mọi được áp dụng như sau:

Với mọi người đang sống x, người đó đã cưới

được viết như sau

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->XP\left(x\right)$

Câu trên không chính xác, do đó cần sửa thành

Không phải với mọi người đang sống x, người đó đã cưới

nhìn vào đây:

Nếu P(x) không chính xác đối với tất cả các phần tử trong tập hợp X, thì phải tồn tại ít nhất một phần tử làm cho câu phủ định sai. Điều này tương đương với phát biểu 'Tồn tại một người sống x chưa kết hôn', hay:

Không nên lẫn lộn giữa 'mọi người đều không cưới' (nghĩa là 'không có ai đã cưới') với 'không phải mọi người đều đã cưới' (nghĩa là 'có người chưa cưới'):

Không nên nhầm lẫn giữa 'mọi người đều không cưới' (nghĩa là 'không có ai đã cưới') với 'không phải mọi người đều đã cưới' (nghĩa là 'có người chưa cưới'):

Nếu $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}P\left(x\right)$ không đúng thì phải có ít nhất một phần tử trong tập hợp khiến mệnh đề sai.

$\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->XP\left(x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}P\left(x\right)\not\equiv \mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->XP\left(x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}P\left(x\right)$

Các liên kết logic khác

Luật suy diễn

Ghi chú

1. ^ Thông tin chi tiết về việc sử dụng miền của lập luận với các câu lệnh lượng tử có thể được tìm thấy trong bài viết về Lượng tử hóa (logic).

• Hinman, P. (2005). Cơ sở của Logic Toán học. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Franklin, J. và Daoud, A. (2011). Bằng chứng trong Toán học: Một lời giới thiệu. Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết) (chương 2)

Liên kết bên ngoài

• Định nghĩa của mọi tại Wiktionary