Tâm của đường tròn bao quanh tam giác: Kiến thức & các loại bài tập Ôn tập Hình học lớp 9

Buzz

Nội dung bài viết

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác

1. Định nghĩa về đường tròn nội tiếp tam giác

2. Phương pháp xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác

3. Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

4. Phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác

5. Các loại bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác.

6. Bài tập áp dụng về đường tròn nội tiếp tam giác

7. Bài tập tự luyện tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là một kiến thức cơ bản trong Toán lớp 9 và thường xuất hiện trong các bài thi vào lớp 10. Tâm này được xác định bằng giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác.
- Để xác định tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp, có thể sử dụng các phương pháp như tính toán tọa độ các điểm phân giác và phương trình đường thẳng.
- Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với ba cạnh của tam giác và có các bài tập ứng dụng như xác định tọa độ tâm và bán kính, hoặc viết phương trình của đường tròn.
- Các tài liệu bổ sung cũng như bài tập tự luyện có thể giúp học sinh củng cố kiến thức và kỹ năng trong việc giải các bài toán liên quan đến đường tròn nội tiếp.
- Các bài tập toán liên quan đến các hình học cơ bản và đường tròn nội tiếp.
- Cần tính bán kính của đường tròn nội tiếp trong các tam giác và hình đa giác, như tam giác đều, hình vuông, và hình lục giác.
- Các bài tập yêu cầu vẽ hình, tính toán diện tích, bán kính và các yếu tố hình học khác.
- Một số bài tập còn yêu cầu chứng minh các định lý về đường phân giác và các đường vuông góc trong tam giác và các hình liên quan.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 và thường xuất hiện trong các bài thi vào lớp 10.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác, công thức tính, phương trình đường tròn nội tiếp tam giác, ví dụ minh họa kèm theo một số câu hỏi có đáp án giải chi tiết và bài tập tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác

1. Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác
2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
4. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
5. Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác
6. Bài tập vận dụng đường tròn nội tiếp tam giác
7. Bài tập tự luyện tâm của đường tròn nội tiếp tam giác

1. Định nghĩa về đường tròn nội tiếp tam giác

a. Đường tròn là tập hợp của tất cả các điểm trên một mặt phẳng cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Trong đó: Điểm cho trước được gọi là trung tâm của đường tròn; khoảng cách cho trước được gọi là bán kính của đường tròn. Gọi trung tâm đường tròn là O và bán kính là r. Đường tròn được ký hiệu là (O;r)

b. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó hoặc đường tròn nội tiếp tam giác còn được gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

2. Phương pháp xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác

Để xác định không chỉ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác vuông mà còn tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều thì ta cần nhớ kỹ lý thuyết.

Để xác định hoặc vẽ được tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác trong của tam giác. Điểm giao nhau của hai đường phân giác đó chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác được xác định bằng cách giao nhau của ba đường phân giác trong của tam giác hoặc có thể là hai đường phân giác.

- Phương pháp 1: Đặt D,E,F là chân của hai đường phân giác trong của tam giác ABC lần lượt từ A,B,C

+ Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác

$k_{1} = \frac{AB}{AC}, k_{2} = \frac{BA}{BC}, k_{3}=\frac{CA}{CB}$

+ Bước 3: Xác định tọa độ của các điểm D, E, F

+ Bước 4: Lập phương trình của đường thẳng AD và BE

+ Bước 5: Điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, là điểm giao điểm của đường thẳng AD và BE

- Phương pháp 2: Trong hệ trục Oxy, chúng ta có thể xác định tọa độ của điểm I như sau:

$\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB}\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} \end{matrix}\right.$

Phương pháp 3

Để xác định tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Vẽ ba đường phân giác trong của tam giác MNP theo thứ tự là MD, NE và PF

Bước 2: Xác định điểm giao điểm I của ba đường phân giác trong của tam giác MNP

Bước 3: Từ tâm O, vẽ ba đường vuông góc lần lượt với ba cạnh của MN, MP và NP của tam giác MNP. Điểm giao điểm của ba đường phân giác là tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP.

Bước 4: Vẽ đường tròn tâm I với bán kính IF = IE = ID

Có một số trường hợp đặc biệt trong việc xác định đường tròn nội tiếp tam giác: Đường tròn nội tiếp tam giác vuông; Đường tròn nội tiếp tam giác cân; Đường tròn nội tiếp tam giác đều.

3. Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

Tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c ứng với ba cạnh BC, AC, AB.

- Nửa chu vi của tam giác

$p = \dfrac {a+b+c} {2}$

- Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

$r = \dfrac {2S}{a+b+c} =\sqrt{\dfrac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

4. Phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác

- Để nhắc lại:

Phương trình của một đường tròn có tâm tại điểm (a, b) và bán kính R.

Hệ thức của hai đường thẳng d1: ax + by + c = 0 và d2: a'x + b'y + c' = 0.

Tỉ số của khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ax + by + c và từ một điểm đến đường thẳng a'x + b'y + c'.

$Các điểm A(x_{A};y_{A}), B(x_{B}; y_{B}), C(x_{C}; y_{C}).$

- Phương pháp thứ nhất:

+ Viết phương trình của hai đường phân giác tại góc A và B.

+ Tâm I là điểm giao nhau của hai đường phân giác trên tam giác.

+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác để tìm bán kính.

+ Viết phương trình của một đường tròn.

- Phương pháp thứ hai:

+ Viết phương trình của đường phân giác tại đỉnh A.

+ Tìm tọa độ của điểm chân của đường phân giác tại đỉnh A.

$\vec{ID} = - \frac{BD}{BA}\vec{IA}$

+ Tính khoảng cách từ điểm I đến một cạnh của tam giác.

+ Viết phương trình của một đường tròn.

5. Các loại bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác.

Dạng 1: Xác định tọa độ của tâm đường tròn nội tiếp tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(1;5), B(–4;–5) và C(4;-1). Tìm tọa độ của tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải pháp:

$AB = 5\sqrt{5}, AC = 3\sqrt{5}, BC = 4\sqrt{5}$

Do đó:

$\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} = \frac{4\sqrt{5}.2 + 3\sqrt{5}.(-3)+5\sqrt{5}.5}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}} = 1\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} = \frac{4\sqrt{5}.6 + 3\sqrt{5}.(-4)+5\sqrt{5}.0}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}}=0\end{matrix}\right.$

Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)

Dạng 2: Xác định bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), và C(5;0). Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

$AB = 5\sqrt{5}, AC = 3\sqrt{5}, BC = 4\sqrt{5}$ $p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}}{2} = 6\sqrt{5}$

Do đó, bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

$r = \sqrt{\frac{(p – a)(p – b)(p – c)}{p}} = \sqrt{\frac{(6\sqrt{5} – 5\sqrt{5})(6\sqrt{5}–3\sqrt{5})(6\sqrt{5}–4\sqrt{5})}{6\sqrt{5}}} = \sqrt{5}$

Dạng 3: Viết phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải pháp:

Ta có phương trình cạnh BC: 7x - 24y + 55 = 0

Phương trình của đường phân giác góc A: 7x + y - 70 = 0

Gọi D là điểm chân của đường phân giác trong tại đỉnh A. Tọa độ của D là nghiệm của hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} 7x+y-70=0\\ 7x-24y+55=0\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{65}{7}\\ y=5 \end{matrix}\right. \Rightarrow D\left ( \frac{65}{7}; 5 \right )$

Gọi I(a,b) là điểm tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ta có:

$\underset{IA}{\rightarrow} = (11-a;-7-b), \underset{ID}{\rightarrow} = (\frac{65}{7}-a; 5-b), BA = 20, BD= \frac{100}{7}$ $\underset{ID}{\rightarrow} = -\frac{BD}{BA}\underset{IA}{\rightarrow} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{65}{7}-a = -\frac{5}{7}(11-a)\\ 5-b = -\frac{5}{7}(-7-b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=10\\ b=0 \end{matrix}\right.$

Vậy tọa độ của I là (10,0)

Bán kính của đường tròn nội tiếp là: r = d(I,AB) = 5

Ví dụ 2: Trong tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là bao nhiêu?

Hướng dẫn

- Chu vi của tam giác ABC: p = 9.

$Bán kính của đường tròn nội tiếp: r = \dfrac {2\sqrt{3}} {3}$ Ví dụ 3 $B(\dfrac {1}{4}; 0)$

6. Bài tập áp dụng về đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1

a) Vẽ đường tròn có tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp vào đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp vào hình vuông ở câu b) sau đó vẽ đường tròn (O; r).

Vẽ hình minh họa

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Kết nối A với B, B với C, C với D, D với A để tạo thành tứ giác ABCD, một hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).

c) Vẽ đường thẳng OH vuông góc với BC.

⇒ OH là đoạn vuông góc từ tâm O đến BC.

Vì AB = BC = CD = DA (ABCD là hình vuông), nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA đều bằng nhau (định lý về liên hệ giữa đường cung và khoảng cách từ tâm đến đường cung).

⇒ O là trung điểm của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

OH là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Tam giác vuông OBC có OH là đoạn trung bình ⇒ OH = 1/2 BC = BH

Xét tam giác vuông OHB có: r² + r² = OB² = 22 ⇒ 2r² = 4 ⇒ r² = 2 ⇒ r = √2 (cm)

Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc với bốn cạnh của hình vuông tại các điểm trung điểm của mỗi cạnh.

Bài 2

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh a = 3cm.

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC với tâm là O và bán kính R. Tính giá trị của R.

c) Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC với tâm là O và bán kính r. Tính giá trị của r.

d) Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác đều IJK với tâm là O và bán kính R.

GIẢI

Vẽ hình

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh dài 3cm (sử dụng thước có đánh dấu và compa).

+ Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm.

+ Vẽ hai đường cung tròn có bán kính bằng 3cm từ các điểm A và B. Hai đường cung tròn này giao nhau tại điểm C.

Nối điểm A với C, và B với C để tạo thành tam giác đều ABC với cạnh độ dài 3cm.

b) Đặt A', B', và C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, và AB.

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là điểm giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời cũng là ba đường cao, ba đường trung tuyến, và ba đường phân giác AA', BB', CC' của tam giác đều ABC).

Dựng đường trung trực của đoạn BC và CA.

Hai đường trung trực giao nhau tại điểm O.

Vẽ đường tròn có tâm là O và bán kính R = OA = OB = OC để tạo thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính độ dài của đoạn AA':

GIẢI

$A'C = \dfrac{3}{2}$ $AC² = AA'² + A'C² \Rightarrow AA'² = 3² - \dfrac{3²}{4} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow AA' = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ $OA = \dfrac{2}{3}AA'$ $R = OA = \dfrac{2}{3}AA' = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

c) Vì tam giác ABC là tam giác đều và các điểm A', B', C' là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và cũng là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến các cạnh tương ứng.

Đường tròn nội tiếp (O; r) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A', B', C' của các cạnh.

Do đó, đường tròn (O; r) có tâm là O và bán kính r = OA' = OB' = OC'.

$r = OA' = \dfrac{1}{3} AA' = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

d) Vẽ các tiếp tuyến tới đường tròn (O;R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).

Bài 3

$Các cung $ \overparen{AB} $, $ \overparen{BC} $, $ \overparen{CD} $$ $Góc quay tương ứng với cung $ \overparen{AB} $ là 60°, cung $ \overparen{BC} $ là 90°, cung $ \overparen{CD} $ là 120°$

a) Tứ giác ABCD là loại hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD là vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo bán kính R.

GIẢI

a) Xét đường tròn (O) ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Đẳng thức (3) cho biết AB // CD. Vậy tứ giác ABCD là hình thang, và hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

$∠BCD = ∠AD = 90°$

b) Giả sử AC và BD cắt nhau tại I.

$∠CID =\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}=\displaystyle {{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}$

$sđ\overparen{AB}= 60^0$ $∠AOB = {60^0}$

=> Tam giác AOB đều, nên AB = OA = OB = R.

$∠BOC = {90^0}$ $=> BC = \sqrt{OB^2+OC^2}=R\sqrt2.$

$HC=OC.\cos \widehat{OCH}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.$

H là điểm chính giữa của CD (theo định lý về đường kính vuông góc với dây cung thì nó đi qua trung điểm của dây).

$\Rightarrow CD=2.CH=R\sqrt3.$

Bài 4

Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính độ dài các cạnh của hình theo R.

GIẢI

Vẽ hình:

+) Phần a.

$\overparen{{A_1}{A_2}}, \overparen{{A_2}{A_3}},...,\overparen{{A_6}{A_1}}$ ${A_1}$ ${A_2}, {A_2}$ ${A_3},…, {A_6}$ ₁ ${A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}$

Tính bán kính:

${a_i}$ ${a_6}= R (vì O{A_1}{A_2}$

+) Hình b.

Cách vẽ:

$A_2A_4 ⊥A_1A_3$

₄₁

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a.

$O{A_1}{A_2}$ ${a^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 2$

+) Hình c:

Cách vẽ như câu a) hình a.

${A_1}{A_3}{A_5}$

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a.

${A_1}H =A_1O+OH= R+\dfrac{R}{2} = \dfrac{3R}{2}$ ${A_3}H = \dfrac{AA'}{2}=\dfrac{a}{2}$ ${A_1}{A_3}=a$ ${A_1}H{A_3}$ ${A_1}{H^2} = {A_1}{A_3}^2 - {A_3}{H^2}.$ $\dfrac{9R^{2}}{4} = a^2 - \dfrac{a^{2}}{4}.$ $\Rightarrow{a^2} = 3{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 3$

Bài tập 5: Cho tam giác MNP biết MN = 8cm, MP = 9cm, NP = 11cm. Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?

Giải

Nửa chu vi tam giác MNP là:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8+9+11}{2}=14$

Theo hê - rông, diện tích tam giác MNP Ià:

$S=\sqrt{p(p-M N)(p-M P)(p-N P)}$ $egin{aligned} &=sqrt{14(14-8)(14-9)(14-11)} \ &=6 sqrt{35} end{aligned}$

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MNP là:

Bài 5:

Tam giác MNP đều có cạnh bằng 2a. Hỏi bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MNP là bao nhiêu?

Giải

Diện tích của tam giác đều MNP là:

S = ½ MN.MP.sinM

= ½ .2a.2a.sin60^o

= a2√3

Nửa chu vi tam giác MNP là:

$r= rac{S}{p}= rac{a^{2} sqrt{3}}{3 a}= rac{a sqrt{3}}{3}= rac{a}{sqrt{3}}$

Bài 6

Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 13cm, CD = 15cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Giải

Nửa chu vi tam giác ABC là:

p=rac{A B+A C+B C}{2}=rac{12+13+15}{2}=20

S=sqrt{20(20-12)(20-13)(20-15)}=20 sqrt{14}

r=rac{S}{p}=rac{20 sqrt{14}}{20}=sqrt{14}

Bài 7

Cho △ABC với đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh nếu AB < AC thì BE< CD.

Giải

Vẽ hình minh họa:

Vì AB < AC, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AB = AF

⇒ Tam giác ABF cân tại A. Do AD = AE ⇒ BD = FE ⇒ Tứ giác BDEF là hình thang cân.

⇒ BE = FD.

Xét tam giác ABF cân tại A, có góc AFB là góc ở đáy nên là góc nhọn.

⇒ Góc AFD cũng là góc nhọn ⇒ Góc DFC là góc tù.

Vậy CD > FD = BE (đpcm).

7. Bài tập tự luyện tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy có tam giác ABC với A(1;5), B(–4;–5) và C(4;-1). Tìm tọa độ tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đáp số: J(1;0)

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-15/2; 2), B(12; 15) và C(0; -3). Hãy xác định tọa độ tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đáp án: J(-1;2)

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy có tam giác ABC với A(3;–1), B(1;5) và C(6;0). Gọi A’ là chân đường cao từ A xuống BC. Hãy tìm tọa độ của điểm A’.

Đáp án: A’(5;1)

Bài 4: Cho tam giác MNP cân tại M ngoại tiếp đường tròn bán kính 3 cm. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của đường tròn nội tiếp tam giác cân MNP với hai cạnh MN và NP. Biết MH = 4 cm. Hãy tính diện tích tam giác cân MNP.

Bài 5

Cho tam giác đều MNP. Gọi O là giao điểm của hai đường phân giác hai góc trong của tam giác đều MNP và H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP. Biết đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có bán kính bằng 2 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác đều MNP.

Bài 6

Cho tam giác MNP. Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Biết (O) tiếp xúc với hai cạnh MN và MP lần lượt tại hai điểm H và K. Biết MH . MP = MK . MN. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác cân tại M.

Bài 7

Cho tam giác MNP. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của tam giác MNP. Gọi H, K, L theo thứ tự lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP, MN, MP. Chứng minh rằng:

a) MP = MK + PH.

b) PM – PN = LM – HN.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác được xác định như thế nào?

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác được xác định bằng cách giao nhau của hai đường phân giác trong của tam giác. Điểm giao này chính là tâm O của đường tròn.

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác được tính như thế nào?

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác có thể tính bằng công thức r = S/p, trong đó S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi. Công thức này giúp xác định kích thước đường tròn nội tiếp chính xác.

Có những loại bài tập nào liên quan đến đường tròn nội tiếp tam giác?

Có nhiều dạng bài tập liên quan đến đường tròn nội tiếp tam giác, bao gồm xác định tọa độ tâm, tính bán kính và viết phương trình đường tròn. Những bài tập này giúp học sinh thực hành và củng cố kiến thức.

Phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác được lập ra như thế nào?

Để lập phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác, cần viết phương trình của hai đường phân giác tại các đỉnh của tam giác. Tâm của đường tròn là điểm giao nhau của các đường này.

Đường tròn nội tiếp tam giác vuông có đặc điểm gì đặc biệt?

Đường tròn nội tiếp tam giác vuông tiếp xúc với hai cạnh vuông góc và cạnh huyền. Tâm đường tròn nằm trên đường phân giác của góc vuông, tạo ra những tính chất đặc trưng cho tam giác này.

Tại sao kiến thức về đường tròn nội tiếp tam giác lại quan trọng trong toán học?

Kiến thức về đường tròn nội tiếp tam giác rất quan trọng vì nó thường xuất hiện trong các bài thi, giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học phức tạp và hiểu rõ hơn về tính chất của tam giác.

Có thể tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác từ tọa độ các đỉnh không?

Có, có thể tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác từ tọa độ của ba đỉnh bằng cách sử dụng các công thức hình học và phương pháp giải hệ phương trình.

Các bài tập tự luyện về tâm đường tròn nội tiếp tam giác có thể tìm thấy ở đâu?

Các bài tập tự luyện về tâm đường tròn nội tiếp tam giác có thể tìm thấy trong sách giáo khoa hoặc tài liệu học tập chuyên sâu về hình học và các đề thi vào lớp 10.