Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tập thực hành về Đường tròn ngoại tiếp

Buzz

Nội dung bài viết

Giới thiệu về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác

2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?

3. Đặc điểm của đường tròn ngoại tiếp

4. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

5. Hướng dẫn xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

6. Phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác

7. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

8. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

9. Bài tập về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác, với tâm là giao điểm của ba đường trung trực.
- Bài viết của Mytour giới thiệu các khái niệm về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, cách xác định, bán kính, và các bài tập mẫu có đáp án.
- Hy vọng tài liệu này giúp học sinh lớp 9 ôn tập, củng cố kiến thức và đạt điểm cao trong kỳ thi Toán 9.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tâm của nó là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

Trong bài viết này, Mytour giới thiệu đến học sinh lớp 9 và giáo viên các khái niệm về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, cách xác định, bán kính, và các bài tập mẫu có đáp án kèm theo. Hy vọng tài liệu này giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức và đạt điểm cao trong kỳ thi Toán 9.

Giới thiệu về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?
3. Tính chất của đường tròn ngoại tiếp
4. Các công thức tính bán kính
5. Cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp
6. Phương trình của đường tròn ngoại tiếp
7. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
8. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp
9. Bài tập tâm đường tròn ngoại tiếp

1. Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác. Tâm của nó là điểm giao nhau của ba đường trung trực của tam giác.

2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?

Tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm giao của ba đường trung trực trong tam giác (hoặc của hai đường trung trực).

3. Đặc điểm của đường tròn ngoại tiếp

- Mỗi tam giác chỉ có một đường tròn ngoại tiếp duy nhất.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở trung điểm của cạnh huyền.

- Với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau.

4. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng cách lấy tích ba cạnh của tam giác chia cho bốn lần diện tích tam giác:

$R = (a \times b \times c) : 4S$ $\mathrm{A}$ $r_{a} = \frac{2S}{b + c - a} = \frac{S}{p - a} = p \cdot \tan \frac{A}{2}$

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác của góc B

$r_{b} = \frac{2S}{c + a - b} = \frac{S}{p - b} = p \cdot \tan \frac{B}{2}$

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tại góc C

$r_{c} = \frac{2S}{a + b - c} = \frac{S}{p - c} = p \cdot \tan \frac{C}{2}$

5. Hướng dẫn xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Hướng dẫn xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác

+ Một tứ giác với bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn có tâm là điểm chung với đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Lưu ý: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn có đường kính là AB

- Có hai phương pháp để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, cụ thể như sau:

- Phương pháp 1:

+ Bước 1: Gọi I(x, y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó, IA=IB=IC=R

$\left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right.$

- Phương pháp 2:

+ Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

+ Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực, đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

- Do đó, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH.

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

6. Phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ ba đỉnh.

Để giải bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác, bạn thực hiện theo bốn bước sau:

+ Bước 1: Thay tọa độ của từng đỉnh vào phương trình với các ẩn a, b, c (vì các đỉnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp, tọa độ của chúng sẽ thỏa mãn phương trình của đường tròn ngoại tiếp cần tìm).

+ Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm các giá trị a, b, c.

+ Bước 3: Thay các giá trị a, b, c đã tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu để tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+ Bước 4: Do các điểm A, B, C nằm trên đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x_{A}^{2} + y_{A}^{2} – 2ax_{A} – 2by_{A} + c = 0\\ x_{B}^{2} + y_{B}^{2} – 2ax_{B} – 2by_{B} + c = 0\\ x_{C}^{2} + y_{C}^{2} – 2ax_{C} – 2by_{C} + c = 0 \end{matrix}\right.$

=> Khi giải hệ phương trình trên, ta tìm được giá trị a, b, c.

Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

7. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Với tam giác ABC

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, và AB. S là diện tích tam giác ABC.

$R = \frac{a.b.c}{4S}$

8. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 1: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ ba đỉnh

VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C với tọa độ A(-1;2), B(6;1), C(-2;5).

Giải pháp:

Gọi phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

Do A, B, C cùng thuộc đường tròn, nên khi thay tọa độ A, B, C vào phương trình đường tròn (C), ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2a - 4b + c = -5\\ 12a + 2b - c = 37\\ 4a - 10b + c = -29 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = 3\\ b = 5\\ c = 9 \end{matrix}\right.$

Như vậy, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với tâm I (3;5) và bán kính R = 5 là:

Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh của tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC với các điểm A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

$\underset{IA}{\rightarrow} = (1 - x; 2 - y) \Rightarrow IA= \sqrt{(1 - x)^2 + (2 - y)^2}$ $\underset{IB}{\rightarrow} = (-1 - x; -y) \Rightarrow IB= \sqrt{(1 - x)^2 + y^2}$ $\underset{IC}{\rightarrow} = (3 - x; 2 - y) \Rightarrow IC= \sqrt{(3 - x)^2 + (2 - y)^2}$

Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

$IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} IA^2 = IB^2 \\ IA^2 = IC^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (1 - x)^2 + (2 - y)^2 = (-1 - x)^2 + y^2 \\ (1 - x)^2 + (2 - y)^2 = (3 - x)^2 + (2 - y)^2 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + y = 1 \\ x = 2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = -1 \end{matrix}\right.$

Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2, -1).

Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ví dụ: Tam giác ABC có các cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải pháp:

$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 7 + 8}{2} = 9$

Áp dụng công thức Heron:

$S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} = \sqrt{9(9 - 3)(9 - 7)(9 - 8)} = 6\sqrt{3}$

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

$R = \frac{AB \times AC \times BC}{4S} = \frac{3 \times 7 \times 8}{4 \times 6\sqrt{3}}$

Ví dụ 4: Cho tam giác MNP vuông tại N, với MN = 6cm, NP = 8cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là bao nhiêu?

Giải pháp:

Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm.

Gọi D là trung điểm MP => Tam giác MNP vuông tại N và có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP.

=> Q là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có tâm Q trên cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC đều với cạnh dài 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

Giải pháp

Gọi D và E là trung điểm của cạnh BC và AB. Đường thẳng AD giao đường thẳng CE tại điểm O.

Ta có: Tam giác ABC đều => Đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác.

Do đó, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ABC có đường trung tuyến CE => CE cũng là đường cao.

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác vuông AEC, ta có:

CE² = AC² – AE² = 6² – 3² = 27 => CE = 3√3 cm.

Do O là trọng tâm của tam giác ABC => CO = 2/3 CE = (2/3)3√3 = 2√3cm.

Suy ra: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm O và bán kính OC = 2√3cm.

Ví dụ 5: Cho tam giác MNP vuông tại N với MN = 6 cm, NP = 8 cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Giải pháp:

Đáp án bài tập số 1

Do đó, điểm Q là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

$\mathrm{R}=\mathrm{MQ}=5 \mathrm{cm}.$

9. Bài tập về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 1: Đường cao AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H (góc C khác 90 độ) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (O) tại các điểm I và K.

a, Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác đó

b, Chứng minh tam giác CIK là tam giác cân

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường cao của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC và đường cao AH (H thuộc BC). Chọn điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD. Chứng minh rằng tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí của tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Bài 4:

Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AQ, BE, CF cắt nhau tại một điểm.

a, Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

b, Cho đường tròn tâm I có bán kính là 2cm với góc BAC = 50^o. Tính độ dài cung EHF của đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IEHF.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì và nó có những tính chất gì đặc biệt?

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tính chất đặc biệt của nó là mỗi tam giác chỉ có một đường tròn ngoại tiếp duy nhất, tâm của nó là giao điểm của ba đường trung trực, và đối với tam giác vuông, tâm này nằm tại trung điểm của cạnh huyền.

Làm thế nào để xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác?

Để xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, bạn có thể sử dụng hai phương pháp. Phương pháp 1 là tìm giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác. Phương pháp 2 là viết phương trình của hai đường trung trực và tìm giao điểm của chúng.

Công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là: R = (a * b * c) / (4 * S), trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác và S là diện tích của tam giác.

Phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác được xác định như thế nào?

Để xác định phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác, bạn cần thay tọa độ các đỉnh vào phương trình với các ẩn a, b, c, giải hệ phương trình để tìm các giá trị này, rồi thay vào phương trình tổng quát để có phương trình của đường tròn ngoại tiếp.

Có bao nhiêu bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm của nó?

Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm của nó rất đa dạng. Các dạng bài tập bao gồm việc viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh, tìm tâm đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh, và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp.