Tam giác cân: Định nghĩa, đặc điểm, bằng chứng và bài tập Tính diện tích tam giác cân

Buzz

Nội dung bài viết

Tổng hợp kiến thức về tam giác cân

1. Định nghĩa về tam giác cân

2. Tính chất của tam giác cân

3. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

4. Diện tích tam giác cân

5. Cách chứng minh tam giác cân

6. Bài tập về tam giác cân với đáp án

7. Một số bài tập tự luyện

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Tam giác cân là một loại tam giác có hai cạnh bằng nhau và hai góc ở đáy cân bằng nhau.
- Đặc điểm quan trọng của tam giác cân là sự cân đối và đẹp mắt trong hình học.
- Diện tích của tam giác cân được tính bằng công thức S = (a x h) / 2, với a là độ dài cạnh đáy và h là chiều cao kết nối từ đỉnh đến đáy.
- Tam giác cân cũng có các tính chất như hai góc ở đáy bằng nhau và hai đường trung trực, trung tuyến đồng thời là đường phân giác.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đỉnh cũng bằng nhau.
- Điều này có nghĩa là các đường cao, đường trung tuyến và tia phân giác trong của tam giác cân không nhất thiết phải bằng nhau.
- Ví dụ, trong tam giác ABC cân tại A, số đo của góc B là 50°, suy ra góc A = 80° và góc C = 50°.

Tam giác cân là một loại tam giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau và hai góc ở đáy cân bằng nhau.

Tam giác cân là một loại hình học quan trọng trong chương trình Toán 7. Tính chất đặc biệt của tam giác cân là hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy cũng bằng nhau. Điều này tạo ra sự cân đối và đẹp mắt trong hình học. Vậy làm thế nào để tính diện tích tam giác cân? Tính chất của tam giác cân là gì? Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây của Mytour. Ngoài ra, bạn cũng có thể xem thêm tài liệu: cách vẽ hình chiếu, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

1. Định nghĩa về tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại được gọi là góc ở đáy.

Trong hình vẽ, tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC là tam giác cân.

Với AB và AC là hai cạnh bên, tam giác ABC cân tại đỉnh A.

2. Tính chất của tam giác cân

Tam giác cân có 4 tính chất sau:

Tính chất 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Chứng minh:

Giả sửTam giác ABC cân tại A, AB = ACKết luận $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\widehat{BAC}$ $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Ta có tam giác ABM và tam giác ACM:

AB = AC (điều kiện)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

AM là cạnh chung

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Tính chất 2: Một tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

Chứng minh

Điều kiện $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ Kết luậnTam giác ABC cân tại đỉnh A

$\widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ $\widehat{ABM} + \widehat{AMB} + \widehat {BAM} = 180^0$ $\widehat{ACM}+\widehat{CAM} + \widehat{CMA} = 180^0$ $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$

Ta xét tam giác ABM và tam giác ACM:

$\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$

Do ΔABM = ΔACM (g - g - g), ta có AB = AC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác ABC với AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh A (theo định nghĩa)

Tính chất 3: Trong một tam giác cân, đường trung trực đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.

Tính chất 4: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

3. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

Trong tam giác cân có 2 dấu hiệu nhận biết:

Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

4. Diện tích tam giác cân

Diện tích của tam giác cân bằng Tích của chiều cao kết nối từ đỉnh của tam giác đến cạnh đáy của nó, sau đó chia cho 2.

- Công thức tính diện tích tam giác cân: S = (a x h)/ 2

Trong đó:

a: Độ dài cạnh đáy của tam giác cân (đáy là một trong 3 cạnh của tam giác)
h: Chiều cao của tam giác (chiều cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc với đáy và nối từ đỉnh xuống đáy).

5. Cách chứng minh tam giác cân

– Phương pháp 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.

– Phương pháp 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC, ta biết rằng Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.

+ Chứng minh theo phương pháp 1:

Theo yêu cầu của bài toán, ta có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

+ Chứng minh theo phương pháp 2:

Theo yêu cầu của bài toán, ta có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân tại A

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC cân tại A. Chọn điểm D trên cạnh AC và điểm E trên cạnh AB sao cho AD = AE

a) So sánh góc ABD và ACE

b) Gọi I là điểm giao của BD và CE. Tam giác IBC là tam giác gì? Vì sao?

Gợi ý đáp án

a) Tam giác ABC cân tại A (điều kiện đã cho)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} AB = AC \hspace{0,2cm} \\ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} \hspace{0,2cm}\end{array} \right.$

Xét tam giác ABD và tam giác ACE ta có:

AB = AC (điều kiện)

$\widehat{A}$

AD = AE (điều kiện)

⇒ Tam giác ABD = tam giác ACE (cạnh - góc - cạnh)

b) Tam giác IBC có:

$\begin{align*}\widehat{IBC} &= \widehat{ABC} - \widehat{ABD} \\&= \widehat{ACB} - \widehat{ACE} \hspace{0,2cm} (vì \widehat{ABC} = \widehat{ACB}; \widehat{ABD} = \widehat{ACE}) \\&= \widehat{ICB}\end{align*}$

⇒ Tam giác IBC cân tại I

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Gợi ý đáp án:

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

BC là cạnh chung

=>BE=CF (2 cạnh tương ứng).

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Đề xuất giải pháp:

Xét 2 tam giác AMC và AMB có:

AM là cạnh chung

AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)

MB bằng MC (theo giả thiết)

Do đó, tam giác AMB và AMC có 3 cạnh bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh)

Do đó, góc CAM bằng góc CBM (theo tính chất của tam giác cân)

Do đó, góc AMB bằng góc AMC (theo tính chất của tam giác cân)

Do đó, AM vuông góc với BC

Ví dụ 5

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM là đoạn thẳng vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Gợi ý đáp án:

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (giả thiết)

=> AM=BM (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABM cân tại A

Kẻ đoạn MH vuông góc với AB (H thuộc AB)

Kẻ đoạn MG vuông góc với AC (G thuộc AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGC có:

AM chung

=> HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM bằng CM (giả thiết)

MH bằng MG (chứng minh trước)

=> Tam giác ABC cân tại A.

Ví dụ 6

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Trong tam giác vuông cân, hai góc nhọn bằng 45°;

c) Nếu trong tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45°, thì đó là tam giác vuông cân.

Gợi ý đáp án:

a) Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ, nên tam giác không thể có hai góc vuông.

=> Tam giác vuông cân sẽ có hai góc nhọn bằng nhau.

=> Trong tam giác vuông cân, cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:

$\begin{array}{l}x + x + {90^o} = {180^o}\\ \Rightarrow 2x = {90^o}\\ \Rightarrow x = {45^o}\end{array}$

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c) Gọi góc còn lại của tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là x, ta có:

$x + {45^o} + {90^o} = {180^o} \Rightarrow x = {45^o}$

Vậy tam giác vuông cân có một góc nhọn bằng 45°.

Ví dụ 7 $\widehat{DEF}$

Chứng minh rằng:

$\Delta EID = \Delta EIF$

b. Tam giác DIF cân.

Gợi ý đáp án:

$\Delta EID$ $\Delta EIF$

EI là đoạn chung

$\widehat{DEI} = \widehat{IEF}$

DE = EF.

$\Rightarrow \Delta EID = \Delta EIF (c.g.c)$

Ví dụ 8

b. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân.

c. Chứng minh rằng MN song song với BC.

Gợi ý đáp án:

$Khi đó, góc B và góc C đều bằng (180^{0} - 56^{0}) : 2 = 62^{0}$ $AM = MB = \frac{AB}{2}, AM = MC = \frac{AC}{2}$

Ta có góc AMN bằng một nửa góc A bên trong tam giác ABC

Vì 2 góc này có cùng giá trị

6. Bài tập về tam giác cân với đáp án

Bài 1: Chọn câu sai

A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và bằng 60°

B. Trong tam giác đều, ba cạnh có cùng độ dài.

C. Tam giác cân không nhất thiết phải là tam giác đều.

D. Một tam giác cân không nhất thiết là tam giác đều.

Gợi ý

Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, mỗi góc có giá trị là 60°.

Ngược lại, một tam giác cân không nhất thiết là tam giác đều.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân là bao nhiêu độ?

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45°

Chọn đáp án B.

Bài 3: Trong tam giác ABC cân tại A, câu nào dưới đây là sai?

$A. \widehat{B}=\widehat{C}$ $B. \widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$ $C. \hat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$ $D. \hat{B} \neq \widehat{C}$

Gợi ý

Do tam giác ABC cân tại A nên ∠B = ∠C

Do đó đáp án D sai

Chọn đáp án D.

Bài 4: Trong tam giác cân có một góc ở đỉnh là 64°, góc đáy bằng bao nhiêu?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Gợi ý

$\widehat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$ $\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$ $\frac{180^{\circ}-64^{\circ}}{2}=58^{\circ}$

Chọn đáp án B.

Bài 5: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 70° thì góc ở đỉnh bằng bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

$\hat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$ $\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$

Áp dụng công thức số đo ở đỉnh là: 180° - 2.70° = 40°

Chọn đáp án D.

Bài 6: Trong các đáp án dưới đây đáp án nào sai

A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60°

B. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

C. Tam giác cân được xem là tam giác đều.

D. Tam giác đều là tam giác cân đặc biệt.

Đáp án đúng: C. Tam giác cân được xem là tam giác đều - một tuyên bố sai.

Giải thích:

- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc đều bằng nhau, mỗi góc có độ lớn 60° (π/3 radian). Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau và hai góc tại hai đỉnh cân có độ lớn bằng nhau.

- Tam giác đều có thể xem như một trường hợp đặc biệt của tam giác cân, bởi vì tam giác đều không chỉ có hai cạnh bằng nhau mà còn có ba cạnh bằng nhau. Tuy nhiên, tam giác cân không nhất thiết phải có ba cạnh bằng nhau, chỉ cần hai cạnh bằng nhau là đủ.

Do đó, đáp án C là sai. Tam giác cân không phải là tam giác đều, mà chỉ là một loại tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Bài 7: Dựa vào đặc điểm của tam giác cân, hãy chọn đáp án đúng

Tam giác cân có đặc điểm như sau:

A. Có hai đường cao trong tam giác bằng nhau

B. Hai đường trung tuyến có chiều dài bằng nhau

C. Có hai cạnh bên có độ dài bằng nhau

D. Có hai tia phân giác trong có cùng số đo

Đáp án đúng: C. Tam giác cân là một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau về độ dài

Giải thích:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau và hai góc ở đỉnh cân bằng nhau. Điều này có nghĩa là tam giác cân có hai cạnh bên (hai cạnh có đỉnh chung) có độ dài bằng nhau.

Các phát biểu khác không phù hợp với định nghĩa của tam giác cân:

A. Hai đường cao của tam giác cân không nhất thiết phải bằng nhau. Đường cao là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với đối diện với cạnh đối diện của đỉnh đó.

B. Hai đường trung tuyến của tam giác cân không nhất thiết phải bằng nhau. Đường trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện của đỉnh đó.

D. Hai tia phân giác trong của tam giác cân không nhất thiết phải bằng nhau. Tia phân giác trong là tia bắt nguồn từ một đỉnh của tam giác và chia đôi góc tại đỉnh đó.

Bài 8: Chọn đáp án đúng trong các phương án sau, biết Tam giác ABC cân tại A và số đo của góc B là 50^o. Vậy số đo của các góc còn lại của tam giác ABC đã cho là:

A. Góc A = 50^o, Góc C = 80^o

B. Góc A = 80^o, Góc C = 50^o

C. Góc A = 40^o, Góc C = 90^o

D. Góc A = 90^o, Góc C = 40^o

Đáp án đúng: B - Số đo các góc còn lại trong tam giác cân ABC là Góc A = 80^o và Góc C = 50^o

Giải thích:

Tam giác ABC là tam giác cân tại A, tức là AB = AC và góc tại đỉnh A có độ lớn là 50^o (theo điều kiện trong câu hỏi).

Vì ABC là tam giác cân nên góc B và góc C (góc ở hai đỉnh chân) có độ lớn bằng nhau.

Vì tổng ba góc trong tam giác là 180^o, ta có:

Góc B + Góc A + Góc C = 180^o

50° + Góc A + Góc C = 180^o

Do đó: Góc A + Góc C = 180^o- 50^o= 130^o

Từ đó suy ra, số đo các góc sẽ là: góc B = góc C = 50^o, góc A = 130^o - góc C = 80^o

7. Một số bài tập tự luyện

A. KIỂM TRA LỰA CHỌN

Câu 1: $\hat{A}$ $\hat{B}$ $\hat{C}$ $\hat{B}$ $\hat{C}$ $\hat{B}$ $\hat{C}$ $\hat{B}$ $\hat{C}$ $\hat{B}$ $\hat{C}$ Câu 2: $\hat{N}$

A. 40

B. 48

C. 52

D. 60

Câu 3: Trong tam giác ABC cân tại A, lấy điểm M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh AC sao cho AM = AN. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Câu nào sau đây sai:

A. BM = CN

B. BN = CM

C. Tam giác ΔAMN là tam giác cân

D. A, B đúng, C sai

Câu 4: Theo đề bài câu trên, tam giác BIC là tam giác gì?

A. Tam giác vuông

B. Tam giác cân

C. Tam giác vuông cân

D. A, B, C đều sai

Câu 5: Trong tam giác ABC, vẽ hai tam giác đều ABH và ACK về phía bên ngoài ΔABC. So sánh đoạn thẳng BK và CH

A. BK=CH

B. BK<CH

C. BK>CH

Câu 6: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Câu 7: Trong một tam giác cân, góc ở đỉnh có số đo là bao nhiêu nếu góc ở đáy là 70°?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

B. Tự suy luận

Bài 1. $\triangle$ $\widehat{A}=70^{\circ}$ Bài 2. $\triangle$

Bài 3.

Phần 4

Phần 5.

Phần 6

Phần 7

Phần 8

Phần 9

Bài 10

Bài 11

Bài 12: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).

a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân

b) D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với O. Chứng minh BC vuông góc Ox.

c) Khi góc xOy là 60⁰, chứng minh OA = 2O

Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K.

a) Chứng minh rBNC = rCMB

b) Chứng minh tam giác BKC cân tại K

c) Chứng minh BC < KM

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng

a) BD là đường trung trực của AE

b) DF = DC

c) AD < DC; d) AE // FC.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Tam giác cân có những tính chất đặc biệt nào?

Tam giác cân có 4 tính chất đặc biệt: hai góc ở đáy bằng nhau, đường trung trực đồng thời là đường phân giác, trung tuyến và đường cao, nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì nó là tam giác cân.

Cách tính diện tích của tam giác cân là gì?

Diện tích tam giác cân được tính bằng công thức S = (a × h) / 2, trong đó a là độ dài cạnh đáy của tam giác và h là chiều cao vuông góc từ đỉnh xuống đáy.

Làm thế nào để nhận biết tam giác cân trong hình học?

Có hai dấu hiệu nhận biết tam giác cân: nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau hoặc hai góc ở đáy bằng nhau thì đó là tam giác cân.

Cách chứng minh tam giác cân bằng phương pháp nào?

Có hai phương pháp chứng minh tam giác cân: một là chứng minh hai cạnh bên bằng nhau, hai là chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.

Các bài tập về tam giác cân thường gặp là gì?

Bài tập về tam giác cân thường yêu cầu chứng minh các tính chất của tam giác cân, tính diện tích, hoặc chứng minh các quan hệ giữa các cạnh, góc trong tam giác cân.

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau có phải là tam giác vuông cân không?

Yes, tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau là tam giác vuông cân, vì nó có hai góc nhọn bằng nhau và tổng ba góc trong tam giác là 180°.

Tam giác đều có phải là một dạng tam giác cân không?

Yes, tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân, vì tam giác đều có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau, đáp ứng điều kiện của tam giác cân.