Tam giác có một góc vuông

Tam giác vuông là một loại tam giác có một góc 90 độ. Mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác vuông là nền tảng của lượng giác học.

Định nghĩa

Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền. Hai cạnh kề với góc vuông là cạnh bên (hay còn gọi là cạnh góc vuông). Cạnh a có thể được xem là kề góc B và đối góc A, trong khi cạnh b kề góc A và đối góc B.

Nếu độ dài của ba cạnh là các số nguyên, tam giác được gọi là tam giác Pythagoras và độ dài ba cạnh của nó được gọi chung là Bộ ba số Pythagoras.

Các định lý

Các góc

Trong tam giác vuông, hai góc nhọn có tổng bằng 90 độ.

Đường cao

Nếu vẽ một đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền, tam giác vuông sẽ được chia thành hai tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác gốc và đồng dạng với nhau. Từ đó:

• Chiều cao là trung bình nhân của hai đoạn cạnh huyền.
• Mỗi cạnh của tam giác vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hai đoạn của cạnh huyền kề với cạnh đó.

Công thức được biểu diễn như sau:

$f^2=de,$ (Đôi khi được gọi là Định lý về đường cao trong tam giác vuông)

$b^2=ce,$

$a^2=cd$

Trong đó, các ký hiệu a, b, c, d, e, f được định nghĩa như trong sơ đồ. Do đó:

$fc=ab.$

Ngoài ra, chiều cao từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền có mối liên hệ với các cạnh bên của tam giác vuông như sau:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{f^2}.$

Diện tích

Đối với mọi tam giác, diện tích được tính bằng một nửa tích của chiều dài đáy và chiều cao tương ứng. Trong tam giác vuông, khi một cạnh góc vuông được chọn làm đáy, thì cạnh góc vuông còn lại chính là chiều cao. Do đó, diện tích của tam giác vuông chính là một nửa tích của hai cạnh góc vuông. Công thức tính diện tích của tam giác là:

$S=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}$

Trong đó, a và b là hai cạnh góc vuông của tam giác, c là cạnh huyền và h là chiều cao từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền.

Nếu đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh huyền AB tại điểm P, với nửa chu vi được tính là s = (a+b+c)/2, ta có PA = s − a và PB = s − b. Diện tích của tam giác sẽ được tính như sau:

$S=\text{PA}\cdot <!--\; \cdot \; -->\text{PB}=(s-<!--\; -\; -->a)(s-<!--\; -\; -->b).$

Công thức này chỉ áp dụng cho các tam giác vuông.

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền có độ dài bằng một nửa độ dài của cạnh huyền.

Định lý Pythagore

Định lý Pythagore khẳng định rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền của tam giác đó. (xem hình 3)

Điều này được diễn tả qua phương trình $a^2+b^2=c^2$, với c là độ dài của cạnh huyền và a và b là độ dài của hai cạnh còn lại.

Bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trong tam giác vuông

Bán kính của đường tròn nội tiếp trong một tam giác vuông với hai cạnh kề là a và b, và cạnh huyền là c được tính bằng:

$r=\frac{a+b-<!--\; -\; -->c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}.$

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp được tính bằng một nửa chiều dài của cạnh huyền

$R=\frac{c}{2}.$

Tỷ lệ lượng giác của một góc nhọn

Trong một tam giác vuông có góc nhọn $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ = cạnh đối/cạnh huyền

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ = cạnh kề/cạnh huyền

$\tan <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ = cạnh đối/cạnh kề

$\cot <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ = cạnh kề/cạnh đối .

Có một bài thơ giúp ta nhớ được: "Sin đi học / Cos không hư / Tan đoàn kết / Cot kết đoàn''.

Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông

• Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông.
• Tam giác có hai góc nhọn bù trừ nhau là tam giác vuông.
• Tam giác có tổng bình phương của hai cạnh bằng bình phương của cạnh còn lại là tam giác vuông (định lý Pytago đảo).
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa độ dài của cạnh đó là tam giác vuông.
• Tam giác nội tiếp trong một đường tròn có một cạnh là đường kính là tam giác vuông.
• Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa cạnh còn lại là tam giác vuông.
• Tam giác là tam giác vuông nếu và chỉ nếu một góc của nó bằng tổng của hai góc còn lại.

Ghi chú

• Công cụ tính toán cho tam giác vuông Lưu trữ ngày 30-09-2017 tại Wayback Machine