Tam giác đều

Trong toán học, tam giác đều là loại tam giác có ba cạnh đều nhau và ba góc đều nhau, mỗi góc có giá trị 60°. Đây là một dạng đa giác đều với số cạnh bằng 3.

Các đặc điểm

Giả sử ba cạnh của tam giác đều có độ dài bằng $a$, bằng cách sử dụng định lý Pytago, có thể chứng minh điều này:

• Diện tích: $A=a^2\frac{\sqrt{3}}{4}$
• Chu vi: $p=3a$
• Bán kính của đường tròn ngoại tiếp là $R=a\frac{\sqrt{3}}{3}$
• Bán kính của đường tròn nội tiếp là $r=a\frac{\sqrt{3}}{6}$
• Trọng tâm của tam giác đều đồng thời là trực tâm, cũng là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

Nếu có một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng của tam giác, khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t, thì có công thức sau:

$3(p^4+q^4+t^4+a^4)=(p^2+q^2+t^2+a^2{)}^2$.

Nếu điểm P nằm trong tam giác, khoảng cách từ điểm đó đến ba cạnh của tam giác là d, e, và f, thì tổng d+e+f chính là chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

Nếu điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh của tam giác là p, q, và t, thì

$4(p^2+q^2+t^2)=5a^2$

và

$16(p^4+q^4+t^4)=11a^4$

Nếu điểm P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, và khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t, thì có công thức sau:

$p=q+t$

và

$q^2+qt+t^2=a^2;$

Hơn nữa, nếu D là điểm giao của BC và PA, với độ dài DA là z và PD là y, thì

$z=\frac{t^2+tq+q^2}{t+q},$

và đồng thời, z cũng có thể được tính bằng công thức $\frac{t^3-<!--\; -\; -->q^3}{t^2-<!--\; -\; -->q^2}$ nếu t ≠ q; và

$\frac{1}{q}+\frac{1}{t}=\frac{1}{y}.$

Dấu hiệu nhận diện

• Tam giác với ba cạnh đều nhau gọi là tam giác đều.
• Tam giác với ba góc đều nhau là tam giác đều.
• Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.
• Tam giác với hai góc bằng 60° là tam giác đều.
• Tam giác có ba đường cao, ba đường phân giác, hoặc ba đường trung tuyến bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác có hai trong số bốn điểm đồng quy (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp) trùng nhau thì đó là tam giác đều.

• Ứng dụng lượng giác
• Định lý Viviani
• Định lý Heron

Các liên kết khác

• Weisstein, Eric W., 'Tam giác đều', MathWorld.