Tập con

Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết tập hợp, tập hợp A được coi là một tập con của tập hợp B nếu A nằm trong B. Quan hệ giữa hai tập hợp này gọi là quan hệ bao hàm.

Khái niệm

Khi A và B là các tập hợp và mọi phần tử của A đều thuộc B, thì:

A là tập con của B (hoặc A nằm trong B), ký hiệu $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->B$,

hoặc có thể viết khác là

(B là tập chứa của A (hoặc B bao gồm A), ký hiệu $B\supseteq <!--\; \supseteq \; -->A.$

Nếu A là tập con của B, nhưng có ít nhất một phần tử của B không có trong A, thì A được gọi là tập con thực sự (hoặc tập con đích thực) của B, ký hiệu $A⊊<!--\; ⊊\; -->B.$

hoặc có thể viết là

• B là tập cha thực sự của A, ký hiệu $B⊋<!--\; ⊋\; -->A.$

Một số tài liệu cũng sử dụng ký hiệu $A\subset <!--\; \subset \; -->B$ thay vì $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->B$, và $B\supset <!--\; \supset \; -->A$ thay vì $B\supseteq <!--\; \supseteq \; -->A$, với ý nghĩa tương tự. Tuy nhiên, ký hiệu $A\subseteq \; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\; <!--\; \subseteq \; -->B$ có thể hiểu là A là tập con của B hoặc bằng B, trong khi ký hiệu $A\subset <!--\; \subset \; -->B$ thường không bao hàm A bằng B.

Tương tự như trong số học, khi viết $x\le <!--\; \le \; -->y$ thì x có thể nhỏ hơn hoặc bằng y, nhưng khi viết thì x chỉ nhỏ hơn y mà không bằng y.

Ví dụ minh họa

• Tập {1, 2} là tập con của {1, 2, 3}, nhưng không phải là tập con đúng.
• Mỗi tập hợp đều là tập con của chính nó, nhưng không phải là tập con đúng của chính nó.
• Tập các số tự nhiên là một tập con đúng của tập các số hữu tỷ.
• Nếu d là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng P, thì d là một tập con của P.
• ...

Các đặc điểm của quan hệ bao hàm

• Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự với các đặc điểm sau:
  • phản xạ: với mọi tập A, có $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A$,
  • phản đối xứng: ($A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->B\left)\right(B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->A=B$;
  • và bắc cầu: ($A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->B$)($B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->C)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->C$.
• Tuân theo quy tắc hấp thụ với các phép hợp và giao của các tập hợp: Nếu $A\subset <!--\; \subset \; -->B$ thì:
  • $A\cap <!--\; \cap \; -->B=A$
  • $A\cup <!--\; \cup \; -->B=B$.

Tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp

• Cho B là một tập hợp. Theo định nghĩa, tập rỗng (ký hiệu ∅) và chính tập B đều là các tập con của nó. Do đó, mỗi tập hợp không rỗng có ít nhất hai tập con là tập rỗng và chính nó. Tập rỗng chỉ có một tập con là chính nó. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp khác.
• Nếu B là một tập hữu hạn với n phần tử, thì B có 2^n tập con. Ví dụ, nếu B = {a, b, c}, thì B có 8 tập con: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}

Vì vậy, tập hợp các tập con của B thường được ký hiệu là 2.

• Nếu B là một tập vô hạn, người ta chứng minh rằng tập B và 2 không có cùng số phần tử.
• Thường trong các lĩnh vực nghiên cứu cụ thể, người ta xét các tập con của tập hợp tất cả các đối tượng được nghiên cứu.

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.