Tập hợp không có phần tử

Trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là lý thuyết tập hợp, tập hợp rỗng (còn được gọi là tập không) là tập hợp duy nhất không có bất kỳ phần tử nào. Trong lý thuyết tập hợp tiên đề (axiomatic set theory), tiên đề về sự tồn tại của tập rỗng là điều cơ bản, và tất cả các tập hợp hữu hạn đều được xây dựng từ tập hợp rỗng.

Biểu tượng

Ký hiệu chuẩn cho tập rỗng được biểu diễn là $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$ hoặc ∅, được nhóm Bourbaki (đặc biệt là André Weil) đề xuất vào năm 1939. Những ký hiệu này không nên nhầm lẫn với nguyên âm Øø trong các ngôn ngữ Scandinavia và chữ cái Hy Lạp Φ. Một ký hiệu phổ biến khác cho tập rỗng là {}.

Để so sánh, ta đặt ba ký hiệu cạnh nhau: ∅ Øø Φ – ký hiệu tập rỗng (ký hiệu đầu tiên) dựa trên hình tròn, trong khi chữ cái Scandinavia giống như một hình oval 'O'.

Lưu ý: Tập hợp {∅} không phải là tập rỗng mà là một tập hợp chứa 1 phần tử có tên là rỗng.

Tập rỗng '∅' có mã unicode U+2205. Mã soạn thảo bằng TeX là \emptyset và \varnothing, cho ra các hình tương ứng như sau:

$\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->},\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$

Các tính chất

(Chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu toán học ở đây)

• Với bất kỳ tập A, tập rỗng luôn là tập con của A (là tập con thực sự của A khi A khác tập rỗng):

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A:\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A$

• Đối với bất kỳ tập A, hợp của A với tập rỗng luôn là A:

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A:A\cup <!--\; \cup \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=A$

• Đối với bất kỳ tập A, giao của tập A với tập rỗng là tập rỗng:

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A:A\cap <!--\; \cap \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$

• Với bất kỳ tập A, tích Descartes của A và tập rỗng cũng cho kết quả là tập rỗng:

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A:A\times <!--\; \times \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$

• Chỉ có một tập con duy nhất của tập rỗng là chính tập rỗng:

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A:A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->A=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$

• Số phần tử trong tập rỗng (hay còn gọi là lực lượng) là 0; cụ thể, tập rỗng là một tập hợp hữu hạn:

  $|\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}|=0$

• Đối với bất kỳ tính chất nào:

• Luôn đúng với mọi phần tử thuộc tập rỗng (sự thật hiển nhiên)
• Luôn sai với mọi phần tử thuộc tập rỗng

• Ngược lại, nếu với một tính chất nào đó mà hai mệnh đề sau đều đúng:

• Tính chất áp dụng cho mọi phần tử thuộc V
• Tính chất không áp dụng cho mọi phần tử thuộc V

thì $V=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$