Buzz
1. Khái niệm, ký hiệu và cách biểu diễn tập hợp
Khái niệm tập hợp thường xuất hiện cả trong toán học và đời sống. Ví dụ như:
- Tập hợp các con tem cùng chủ đề
- Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 100
- Tập hợp số học sinh trong một trường học
Trong toán học, tập hợp thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa, và các phần tử của nó được ký hiệu bằng chữ cái thường. Các phần tử của tập hợp được đặt trong dấu ngoặc nhọn { } và phân cách bởi dấu chấm phẩy ' ; '. Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần, và thứ tự của chúng không quan trọng.
Ví dụ: Tập hợp A bao gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được ký hiệu như sau: A = {0; 1; 2; 3; 4}
2. Phần tử thuộc tập hợp
- Một tập hợp có thể chứa một phần tử, nhiều phần tử, vô số phần tử, hoặc thậm chí không có phần tử nào.
Ví dụ 1: Tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} có 5 phần tử là các số 0, 1, 2, 3, 4.
Số 2 là một phần tử của tập hợp A. Ta viết 2 'thuộc' A, đọc là 2 thuộc A.
Số 5 không phải là phần tử của tập hợp A. Ta viết 5 'không thuộc' A, đọc là 5 không thuộc A.
Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên là một tập hợp có số lượng phần tử vô hạn.
- Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, và được ký hiệu bằng ký hiệu Ø.
3. Tập hợp con
- Nếu tất cả các phần tử của tập hợp A đều nằm trong tập hợp B, thì tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B, hoặc nói cách khác, tập hợp B chứa tập hợp A. Nếu cả A và B đều là tập hợp con của nhau, thì chúng được coi là bằng nhau, ký hiệu A = B.
- Tập hợp rỗng được coi là tập con của mọi tập hợp.
- Nếu tập hợp A có n phần tử, thì số lượng tập hợp con của A là 2^n.
4. Các phương pháp để xác định một tập hợp
Có hai phương pháp chính để xác định một tập hợp:
Phương pháp 1: Liệt kê trực tiếp các phần tử của tập hợp
Ví dụ: B = {0; 2; 4; 6; 8}
Phương pháp 2: Mô tả đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp
Ví dụ: B = {x | x là số tự nhiên chẵn và x < 10}
5. Tập hợp các số tự nhiên
- Các số tự nhiên bao gồm 0, 1, 2, 3, 4,... là những ví dụ điển hình của tập hợp số tự nhiên.
- Tập hợp số tự nhiên được ký hiệu là N, tức là N = {0; 1; 2; 3; 4;...}
- Tập hợp các số tự nhiên không bao gồm số 0 được ký hiệu là N*, tức là N* = {1; 2; 3; 4;...}
- Mỗi số tự nhiên trong hệ thập phân có thể được phân tích thành tổng của các giá trị các chữ số của nó
Ví dụ: 8822 = (8 x 1000) + (8 x 100) + (2 x 10) + 2
6. Các dạng bài tập về tập hợp thường gặp
6.1. Dạng 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp
- Đối với các tập hợp có số lượng phần tử không nhiều, chúng ta thường sử dụng phương pháp liệt kê từng phần tử của tập hợp đó
- Đối với các tập hợp có nhiều phần tử hoặc vô hạn phần tử, ta thường dùng cách mô tả tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp đó
Ví dụ 1: Viết tập hợp A bao gồm các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 15 bằng hai phương pháp khác nhau.
Trả lời:
*Phương pháp 1: Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp
Tập hợp A chứa các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 15 là: A = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
*Phương pháp 2: Mô tả các đặc điểm nổi bật của các phần tử trong tập hợp.
Tập hợp A các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 15 có thể được viết dưới dạng: A = {x 'thuộc' N | 5 < x < 15}
Ví dụ 2: Xét hai tập hợp A = {1; 2; 3} và B = {4; 5}
a) Xác định tập hợp C bao gồm một phần tử từ A và một phần tử từ B. Có bao nhiêu tập hợp thỏa mãn điều kiện này?
Trả lời: Tập hợp C có dạng gồm một phần tử từ A và một phần tử từ B, vì vậy có tổng cộng 3 x 2 = 6 tập hợp phù hợp. Các tập hợp này là: {1; 4}, {1; 5}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5}
b) Xác định tập hợp D gồm một phần tử từ A và hai phần tử từ B. Số lượng tập hợp thỏa mãn là bao nhiêu?
Trả lời: Tập hợp D có ba phần tử: một phần tử từ A và hai phần tử từ B, do đó có tổng cộng 3 x 1 = 3 tập hợp phù hợp. Các tập hợp này là: {1; 4; 5}, {2; 4; 5}, {3; 4; 5}.
6.2. Dạng 2: Tính số lượng phần tử trong tập hợp
Đối với các tập hợp có số lượng phần tử hữu hạn, có hai phương pháp để xác định số phần tử trong tập hợp:
- Phương pháp 1: Liệt kê tất cả các phần tử và đếm tổng số phần tử.
- Phương pháp 2: Xác định đặc điểm nổi bật của các phần tử trong tập hợp, tìm quy luật rồi tính tổng số phần tử của tập hợp.
Nếu tập hợp bao gồm các số từ m đến n với khoảng cách đều nhau là k, thì số phần tử của tập hợp này là (m - n) : k + 1.
Ví dụ 1: Tính số phần tử của tập hợp A gồm các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 1990 đến 3000.
Trả lời: Các số tự nhiên chẵn từ 1990 đến 3000 cách nhau 2 đơn vị. Do đó, số phần tử của tập hợp A là: (3000 - 1990) : 2 + 1 = 506 phần tử.
Ví dụ 2: Tính số phần tử của tập hợp B = { x 'thuộc' N* | x = 3k và 1000 < x < 3000}.
Trả lời:
Phương pháp 1: Phần tử nhỏ nhất của B là 1002 với k = 334, và phần tử lớn nhất của B là 2997 với k = 999. Do đó, số lượng phần tử của B là (999 - 334) : 1 + 1 = 666 phần tử.
Phương pháp 2: Tập hợp B bao gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 từ 1002 đến 2997. Khoảng cách giữa hai phần tử liên tiếp của B là 3 đơn vị, vì vậy số phần tử của B được tính bằng: (2997 - 1002) : 3 + 1 = 666 phần tử.
6.3. Dạng 3: Tập hợp con
- Để chứng minh rằng tập hợp B là tập con của tập hợp A, ta cần kiểm tra rằng mọi phần tử của B đều nằm trong tập hợp A.
- Để xác định một tập hợp con của tập hợp A, trước tiên ta liệt kê các phần tử của A, rồi chọn một số phần tử từ A để tạo thành các tập hợp con.
Lưu ý: Số phần tử trong bất kỳ tập con nào của tập hợp A không được vượt quá số lượng phần tử của A.
Ví dụ 1: Xét tập hợp A = {Nho; Mận; Hồng; Đào}. Hãy liệt kê tất cả các tập hợp con của A có đúng 3 phần tử.
Trả lời: Các tập hợp con của A với 3 phần tử là: {Nho; Mận; Hồng}, {Nho; Mận; Đào}, {Mận; Hồng; Đào}, {Nho; Hồng; Đào}.
Ví dụ 2: Xét hai tập hợp A = {t; h; a; n} và B = {t; h; i; e; n}. Hãy tìm các tập hợp vừa là tập con của A, vừa là tập con của B.
Trả lời: Tập hợp con của cả A và B chỉ chứa những chữ cái chung giữa hai tập hợp. Những chữ cái chung là t, h, n. Vì vậy, các tập hợp vừa là tập con của A vừa là tập con của B bao gồm: Ø, {t}, {h}, {n}, {t; h}, {t; n}, {h; n}, {t; h; n}.
Trên đây là bài viết của Mytour về chủ đề Tập hợp là gì? Phần tử của tập hợp là gì? Cho ví dụ Toán lớp 6. Mong rằng những thông tin trong bài viết sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm tập hợp.
