Buzz
1. Tập hợp số thực R trong toán học là gì?
R- Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, …}
- Tập hợp số nguyên Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, …}
- Tập số hữu tỷ Q = {a/b; a, b ∈ Z, b ≠ 0}, ví dụ như Q = {1/2, 3/4, …}
Một số hữu tỷ có thể được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc thập phân vô hạn tuần hoàn.
- Tập hợp số vô tỉ I bao gồm các số như pi (3.144592) hoặc căn bậc hai của 2 (1.414214…), là các số không thể viết dưới dạng phân số.
Các số vô tỉ được biểu diễn bằng các số thập phân vô hạn không tuần hoàn, ký hiệu là I. Tập hợp số thực bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ. Mọi số chúng ta biết đều thuộc R.
Mọi số thực đều có thể được đánh dấu trên trục số, và mọi điểm trên trục số đều đại diện cho một số thực. Đây là đặc điểm đặc trưng của tập hợp số thực, mà chỉ tập hợp R mới có thể lấp đầy trục số.
Tập hợp số thực được viết dưới dạng: R = (-∞; +∞)
1.1. Khám phá số thực R qua các tiên đề
Tập hợp R bao gồm tất cả các số thực và phải thỏa mãn những điều kiện sau đây:
- Tập hợp R là một trường số, có nghĩa là phép cộng và phép nhân được định nghĩa rõ ràng và có các tính chất cơ bản.
- Trường R có một thứ tự được sắp xếp, tức là tồn tại một thứ tự tổng hợp ≥ sao cho với mọi số thực x, y và z:
+ nếu x ≥ y thì x + z ≥ y + z;
+ nếu x ≥ 0 và y ≥ 0 thì xy ≥ 0.
- Thứ tự trong tập hợp số thực R là đầy đủ, tức là mọi tập con không rỗng của R với giới hạn trên có một giới hạn trên nhỏ nhất (supremum) thuộc R.
1.2. Ý nghĩa của số thực
Số thực không chỉ dùng để đo khoảng cách mà còn để đo thời gian, khối lượng, năng lượng, vận tốc và nhiều đại lượng khác.
2. Các đặc điểm của tập hợp số thực R và trục số thực R
- Mỗi số thực, ngoại trừ số 0, đều có số dương và số âm đối nghịch. Ví dụ, số dương 1 có số đối nghịch là -1.
- Tổng hay tích của hai số thực không âm luôn là một số thực không âm.
- Đây là một trong những tính chất cơ bản và dễ nhận diện nhất của số thực, chúng tạo thành một tập hợp vô hạn không thể đếm hết.
- Có các tập con vô hạn của số thực có thể đếm được.
- Các đại lượng liên tục có thể được biểu diễn qua số thực.
- Số thực có thể được viết dưới dạng số thập phân (phân số).
- Số thực có thể được coi là các điểm trên một trục số dài vô hạn, với các điểm tương ứng với các số nguyên cách đều nhau. Mỗi số thực có thể được biểu diễn bằng một chuỗi thập phân vô hạn, ví dụ như 8.632, nơi mỗi chữ số tiếp theo là một phần mười giá trị của số trước đó. Trục số thực có thể được xem là một phần của mặt phẳng phức.
R là ký hiệu dùng để chỉ tập hợp số thực trong toán học và chúng có các đặc điểm sau đây:
- Số thực bao gồm các trường số, với phép cộng, phép nhân và phép chia cho các số khác 0 được xác định. Chúng có thể được sắp xếp trên trục số theo quy tắc của phép cộng và phép nhân.
- Nếu một tập hợp số thực không rỗng có giới hạn trên, thì số thực nhỏ nhất trong tập hợp đó chính là cận trên của nó.
- Tập hợp số thực cũng hỗ trợ các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa, với các tính chất tương tự như các phép toán trên số hữu tỉ.
3. Các loại câu hỏi về tập hợp số thực R
Dạng 1: Các câu hỏi liên quan đến bài tập hợp số và phương pháp sử dụng; Các ký hiệu về tập hợp số như bảng trên. Quan hệ giữa các tập hợp số là: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R. Trong đó: N là tập hợp số tự nhiên Z là tập hợp số nguyên Q là tập hợp số hữu tỉ I là tập hợp số vô tỉ R là tập hợp số thực
Dạng 2: tìm số chưa biết trong một đẳng thức:
Các phương pháp áp dụng:
- Áp dụng các tính chất của phép toán để thực hiện các phép tính.
- Sử dụng mối liên hệ giữa các số trong tổng và hiệu, cũng như các phép toán nhân chia.
- Áp dụng quy tắc phân phối và chuyển vế.
Dạng 3: Đánh giá giá trị của một biểu thức cụ thể
Phương pháp: Kết hợp các phép toán nhân, chia, cộng, trừ và lũy thừa. Đừng quên rút gọn phân số khi cần thiết.
4. Ý nghĩa của R trong hình học là gì?
Ký hiệu R không chỉ xuất hiện trong đại số mà còn được áp dụng trong hình học. R thường dùng để biểu thị bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác và cũng xuất hiện trong công thức tính chu vi hình tròn.
Chu vi: C = dπ = 2rπ
Diện tích: S = πR²
5. Bài tập minh họa về tập hợp số R
Câu hỏi 1: Số -2 thuộc tập hợp số nào dưới đây?
A. N B. Q C. I D. R
Hướng dẫn:
Chọn đáp án D. R
Câu hỏi 2: Số căn bậc hai không thuộc tập hợp số nào dưới đây?
A. N B. Z C. I D. R
Hướng dẫn giải quyết:
Chọn hai đáp án A. N và B. Z
Câu hỏi 3: Sắp xếp các số thực sau theo thứ tự tăng dần: 0,466 ; 7/15 ; 0,4636363…; 0,463736 ; 0,4656365…
Hướng dẫn giải: 0,4636363… < 0,463736 < 0,4656365… < 0,466 < 7/15
Câu hỏi 4: Xác định các tập hợp:
a) Q ∩ I ; b) R ∩ I.
Hướng dẫn:
a) Q ∩ I = Ø ; b) R ∩ I = I
Câu hỏi 5: Xác định x trong phương trình: 3,2x + (-1,2)x + 2,7 = -4,9 ;
Hướng dẫn giải:
3,2x + (-1,2)x + 2,7 = -4,9
[3,2 + (-1,2)]x + 2,7 = -4,9
2x + 2,7 = -4,9
2x = -4,9 - 2,7
2x = -7,6
x = -7,6 / 2
x = -3,8
Câu hỏi 5: Xét hai tập hợp A = {x ∈ R | -5 ≤ x < 1}; B = {x ∈ R | -3 < x ≤ 3}. Tìm giao của A và B
Hướng dẫn giải:
Chúng ta có:
A = {x ∈ R | -5 ≤ x < 1} = [-5; 1) (theo định nghĩa: [a; b) = {x ∈ R | a ≤ x < b})
B = {x ∈ R | -3 < x ≤ 3} = (-3; 3] (theo định nghĩa: (a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b})
Chúng ta vẽ tập hợp A và B trên trục số như sau:
Vậy A ∩ B = (-3; 1).
