Tỉ lệ phân số

Phân số là cách biểu diễn một số hữu tỷ dưới dạng tỷ lệ của hai số nguyên, trong đó số trên là tử số và số dưới là mẫu số. Mẫu số phải khác 0.

$\frac{a}{b}$

Với tử số là a và mẫu số là b (với b khác 0), và cả a, b đều là số nguyên. Phân số cũng được dùng để biểu thị tỉ lệ giữa hai đại lượng. Ví dụ như:

Phân số biểu diễn một nửa cái bánh là:

$\frac{1}{2}=0,5$

Phân số biểu diễn một phần ba cái bánh là:

$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\mathrm{33...}$

Phân số biểu diễn một phần tư cái bánh là:

$\frac{1}{4}=0,25$

Phân số biểu diễn bốn phần tư cái bánh là:

$\frac{4}{4}=1$

Phân số biểu diễn ba phần năm là:$\frac{3}{5}$

Phân số và phép chia các số tự nhiên

Phép chia có thể được biểu diễn dưới dạng phân số: tử số là số bị chia, mẫu số là số chia không bằng 0. Ví dụ:

$a:b=\frac{a}{b}(b\ne <!--\; \ne \; -->0)$

Các đặc điểm

1. $\frac{1}{a}=a^{-<!--\; -\; -->1}$
2. $\frac{a}{a}=1(a\ne <!--\; \ne \; -->0)$
3. $\frac{a}{1}=a$

Phân số âm

Phân số âm là loại phân số mà chỉ có tử số hoặc mẫu số là số âm.

Khi tử số và mẫu số có dấu trái ngược nhau, phân số sẽ có giá trị âm.

$\frac{-<!--\; -\; -->a}{b}=\frac{a}{-<!--\; -\; -->b}=-<!--\; -\; -->\frac{a}{b}$

Cần phân biệt rõ ràng dấu của phân số. Trong ví dụ dưới đây, phân số có giá trị dương vì tử số và mẫu số có cùng dấu.

$\frac{-<!--\; -\; -->a}{-<!--\; -\; -->b}=\frac{a}{b}$

Phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số không có ước số chung nào khác ngoài 1 (hoặc -1 nếu xét số âm). Nói cách khác, phân số $\frac{a}{b}$ là tối giản khi a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, tức là ước số chung lớn nhất của chúng là 1.

So sánh hai phân số

Hai phân số được coi là bằng nhau

Nếu chúng ta có hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ $(b\ne <!--\; \ne \; -->0,d\ne <!--\; \ne \; -->0)$ thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ khi $a\times <!--\; \times \; -->d=b\times <!--\; \times \; -->c$

Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0, phân số mới thu được sẽ bằng phân số ban đầu.

                            $\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}$ ∀ ($m\in <!--\; \in \; -->Z$ ∧ $m\ne <!--\; \ne \; -->0$).

Khi chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung, phân số mới sẽ bằng phân số ban đầu.

                           $\frac{a}{b}=\frac{a:n}{b:n}$ ∀ $n\in <!--\; \in \; -->UC(a,b)$.

Khi đổi dấu cả tử và mẫu của một phân số, phân số mới thu được sẽ vẫn bằng phân số gốc (vì việc đổi dấu tương đương với nhân với -1).

Đối với các phân số bằng nhau, ta có thể tìm phân số mới bằng cách lấy tổng (hoặc hiệu) của các tử số chia cho tổng (hoặc hiệu) của các mẫu số.

Ví dụ 1:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\frac{a-<!--\; -\; -->c}{b-<!--\; -\; -->d}=\frac{ma+nc}{mb+nd}=...(b\ne <!--\; \ne \; -->\pm <!--\; \pm \; -->d,m^2+n^2\ne <!--\; \ne \; -->0)$

Ví dụ 2:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-<!--\; -\; -->c-<!--\; -\; -->e}{b-<!--\; -\; -->d-<!--\; -\; -->f}=\frac{a+c-<!--\; -\; -->e}{b+d-<!--\; -\; -->f}=...$

So sánh các phân số có cùng mẫu

Nếu bạn có hai phân số và $(b\ne <!--\; \ne \; -->0,b>0)$

khi a < c.

Nếu tử số bé hơn, giá trị phân số cũng sẽ bé hơn.

So sánh hai phân số có cùng mẫu số

Nếu có hai phân số và $(a>0,b\ne <!--\; \ne \; -->0,c\ne <!--\; \ne \; -->0)$

khi b < c.

Mẫu số càng lớn thì giá trị phân số càng nhỏ.

So sánh phân số với số 1

Nếu một phân số có cả tử số và mẫu số đều là số nguyên dương thì:

• Phân số nhỏ hơn 1 khi tử số nhỏ hơn mẫu số.
• Phân số lớn hơn 1 khi tử số lớn hơn mẫu số.
• nếu a nhỏ hơn b thì nhỏ hơn 1; nếu b nhỏ hơn a thì lớn hơn 1.
• $a\ne <!--\; \ne \; -->0$

Tổng hợp toàn bộ nội dung

Áp dụng các tính chất cơ bản của phân số

Rút gọn phân số về dạng tối giản

Để chuyển một phân số chưa ở dạng tối giản về dạng tối giản, ta chia tử số và mẫu số của phân số cho ước số chung lớn nhất của chúng. Đây gọi là rút gọn phân số.

Quy đồng mẫu số cho các phân số

Để quy đồng mẫu số cho hai hay nhiều phân số với mẫu số dương, thực hiện như sau:

1. Chọn một bội số chung của các mẫu số để làm mẫu số chung (MSC). Thường chọn bội số chung nhỏ nhất.
2. Tính thừa số phụ cho mỗi mẫu số bằng cách chia MSC cho từng mẫu số.
3. Nhân tử số và mẫu số với thừa số phụ tương ứng.

Phép toán với phân số

Phép cộng

• Để cộng hai phân số có cùng mẫu số, chỉ cần cộng tử số và giữ nguyên mẫu số.

$\frac{a_1}{b}+\frac{a_2}{b}=\frac{a_1+a_2}{b}(b\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• Để cộng hai phân số khác mẫu số, ta cần quy đồng mẫu số trước rồi thực hiện phép cộng như bình thường.

Phép trừ

• Để trừ hai phân số có cùng mẫu số, chỉ cần trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

$\frac{a_1}{b}-<!--\; -\; -->\frac{a_2}{b}=\frac{a_1-<!--\; -\; -->a_2}{b}(b\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• Để trừ hai phân số khác mẫu số, trước tiên cần quy đồng mẫu số rồi thực hiện phép trừ như bình thường.

Phép nhân

• Khi nhân hai phân số, ta chỉ cần nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số.

$\frac{a}{b}\times <!--\; \times \; -->\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}(b\ne <!--\; \ne \; -->0;d\ne <!--\; \ne \; -->0)$

Để đơn giản hóa phép nhân, ta có thể rút gọn tử số và mẫu số bằng cách chia chúng cho ước số chung. Ví dụ:

$\frac{4}{9}\times <!--\; \times \; -->\frac{3}{8}=\frac{{\overline{)4}}^1\times <!--\; \times \; -->{\overline{)3}}^1}{{\overline{)9}}^3\times <!--\; \times \; -->{\overline{)8}}^2}=\frac{1\times <!--\; \times \; -->1}{3\times <!--\; \times \; -->2}=\frac{1}{6}$

Trong ví dụ này, tử số 4 và mẫu số 8 có ước chung lớn nhất là 4, vì vậy ta chia chúng cho 4. Tương tự, tử số 3 và mẫu số 9 có ước chung lớn nhất là 3, nên chia cho 3.

• Khi nhân một phân số với số nguyên, ta nhân số nguyên với tử số và giữ nguyên mẫu số.

$\frac{a}{b}\times <!--\; \times \; -->c=\frac{ac}{b}(b\ne <!--\; \ne \; -->0)$

Phương pháp này dựa trên việc coi số nguyên c như một phân số với mẫu số là 1, tức là $\frac{c}{1}$.

Phép chia phân số

• Để chia hai phân số, ta nhân phân số đầu tiên với phân số thứ hai đã được đảo ngược.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times <!--\; \times \; -->\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}(b\ne <!--\; \ne \; -->0;c\ne <!--\; \ne \; -->0;d\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• Để chia một số nguyên cho phân số, ta nhân số nguyên với phân số đã được đảo ngược.

$a:\frac{c}{d}=a\times <!--\; \times \; -->\frac{d}{c}=\frac{ad}{c}(c\ne <!--\; \ne \; -->0;d\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• Để chia một phân số cho số nguyên, giữ nguyên tử số và nhân mẫu số với số nguyên đó.

$\frac{a}{b}:c=\frac{a}{bc}(b\ne <!--\; \ne \; -->0;c\ne <!--\; \ne \; -->0)$

Biểu diễn số thập phân

Phân số thập phân là phân số có mẫu số là bội số của 10. Ví dụ:

$\frac{3000\cdot <!--\; \cdot \; -->1,4}{1000}$

$\frac{5}{100}$

$\frac{45}{1\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\mathrm{000...000}}}}$

$\frac{6}{5}=\frac{12}{10}$

Hỗn số

Hỗn số (hay còn gọi là phân số hỗn tạp) là kết quả của việc cộng một số nguyên với một phân số. Hỗn số được viết dưới dạng $a\frac{b}{c}$.

$a+\frac{b}{c}=a\frac{b}{c}$

Số nguyên a là phần nguyên, còn phân số $\frac{b}{c}$ là phần phân số của hỗn số. Phần phân số luôn nhỏ hơn 1.

Các phân số lớn hơn 1 (với tử số lớn hơn mẫu số) có thể được chuyển thành hỗn số. Để làm điều này, chia tử số cho mẫu số; thương thu được là phần nguyên, và phần dư chia được là phần phân số với mẫu số giữ nguyên.

Ví dụ: 8 chia cho 5 bằng 1 với phần dư 3, tức là $\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}$

Cách chuyển hỗn số thành phân số

$a\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}$

• Số tự nhiên
• Số chẵn
• Số lẻ
• Số nguyên
• Tỉ lệ
• Số vô tỷ
• Số hữu tỷ
• Số phức
• Số nguyên Gauss
• Số nguyên Eisenstein
• Số vô tỷ Quadratic
• Căn bậc của đơn vị
• Chu kỳ Gaussian
• Số Pisot-Vijayaraghavan
• Số Salem
• Phần trăm
• Toán học

Tài nguyên bên ngoài

• “Phân số, số học”. Encyclopaedia Toán học Trực tuyến.
• Weisstein, Eric W., 'Phân số' từ MathWorld.
• “Phân số”. Bách khoa toàn thư Britannica.
• “Phân số (toán học)”. Citizendium.
• “Phân số”. PlanetMath. Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 10 năm 2011. Truy cập ngày 16 tháng 4 năm 2016.