Tích có hướng

Trong toán học, tích vectơ (hay còn gọi là nhân vectơ hay tích có hướng) là phép toán nhị nguyên áp dụng cho các vectơ trong không gian ba chiều. Đây là một trong hai phép nhân phổ biến giữa các vectơ, khác với phép nhân vô hướng ở chỗ kết quả của nó là một vectơ mới thay vì một số vô hướng. Vectơ kết quả sẽ vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ ban đầu.

Khái niệm

Tích vectơ của hai vectơ a và b được ký hiệu là a × b hoặc $[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}]$, và được định nghĩa bởi công thức:

$a\times <!--\; \times \; -->b=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}\left|a\right|\left|b\right|\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

Trong đó, θ là góc giữa hai vectơ a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trong mặt phẳng chứa hai vectơ, còn n là vectơ đơn vị vuông góc với cả hai vectơ a và b.

Thực chất có hai hướng cho vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc thì -n cũng là một lựa chọn hợp lệ.

Hướng của vectơ n phụ thuộc vào quy tắc bàn tay phải hoặc bàn tay trái trong hệ tọa độ, quy tắc nào được sử dụng để xác định hướng của a × b.

Kết quả của phép nhân vectơ phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nên nó được gọi là giả vectơ. Tuy nhiên, trong tự nhiên, phép nhân vectơ luôn tạo ra cặp vectơ đối chiều, vì vậy kết quả cuối cùng không bị ảnh hưởng bởi sự chọn lựa hệ tọa độ.

Tính chất

Phép nhân vectơ có tính chất phản giao hoán:

a × b = -(b × a>)

Phép nhân vectơ phân phối đối với phép cộng vectơ:

a × (b + c) = a × b + a × c

Phép nhân vectơ có tính chất phân phối với phép cộng vectơ:

(r.a) × b = a × (r.b) = r.(a × b).

với dấu '.' biểu thị phép nhân vô hướng.

Tuy nhiên, phép nhân vectơ không có tính kết hợp:

(a × b) × c $\ne <!--\; \ne \; -->$ a × (b × c)

(Ví dụ: nếu a và b song song, thì vế trái bằng 0, trong khi vế phải không bằng 0.)

Phép nhân vectơ tuân theo đẳng thức Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Khi hai vectơ không cùng phương, tích có hướng tạo thành một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho.

Những tính chất này cho thấy rằng không gian vectơ ba chiều với phép nhân vectơ hình thành một đại số Lie.

Sản phẩm có hướng trong hệ tọa độ Descartes

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$, khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là một vectơ có tọa độ

Nếu ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}}_1$ và ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}}_2$ là các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng, thì ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}}_3$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thứ ba, vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Ý nghĩa toán học

Nhiều công thức trong không gian vectơ ba chiều dựa vào tích vectơ, vì kết quả là một vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.

• Diện tích hình bình hành ABCD: |[AB; AD]| = AB.AD.sin(A)
• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D': |[AB; AD].AA'|
• Hai vectơ cùng phương: [u; v] = 0
• Ba vectơ đồng phẳng: [u; v].w = 0

Ứng dụng trong vật lý

Phép tính này xuất hiện trong công thức lực Lorentz do điện từ trường tác động lên điện tích, và trong công thức mômen lực hoặc mômen động lượng.