Tích phân mở rộng

Trong giải tích, tích phân mở rộng là giới hạn của một tích phân xác định, khi điểm đầu của (các) khoảng tích phân tiệm cận hoặc các giá trị thực xác định, hoặc $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$ hoặc $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$ hoặc trong một số trường hợp, cả hai điểm đầu đều đạt đến các giới hạn. Tích phân như vậy thường được ký hiệu tương tự như tích phân xác định tiêu chuẩn, với vô cực như là giới hạn của tích phân.

Cụ thể, tích phân mở rộng là giới hạn có dạng

$\underset{b\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(x\right)dx,\underset{a\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(x\right)dx,$

hoặc có dạng

$\underset{c\to <!--\; \to \; -->b^{-<!--\; -\; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{c}f\left(x\right)dx,\underset{c\to <!--\; \to \; -->a^{+}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_c^{b}f\left(x\right)dx,$

trong đó tích phân có thể có giới hạn tại một hay cả hai điểm đầu nút khác nhau (hoặc đôi khi cả hai) (Apostol 1967, §10.23). Khi hàm không xác định tại nhiều điểm hữu hạn trong khoảng, tích phân mở rộng trên khoảng được hiểu là tổng của các tích phân mở rộng trên các khoảng giữa những điểm đó.

Thường thì tích phân mở rộng được viết như tích phân xác định thông thường, nhưng với vô cực là một trong các giới hạn của tích phân. Khi tích phân xác định tồn tại (theo định nghĩa của tích phân Riemann hoặc tích phân Lebesgue nâng cao), sự nhầm lẫn này được giải quyết vì cả tích phân thông thường và tích phân mở rộng đều cho giá trị giống nhau.

Thông thường, giá trị của tích phân mở rộng có thể được tính ngay cả khi hàm không khả tích theo cách thông thường (như tích phân Riemann) do điểm kỳ dị trong hàm hoặc không xác định tại vô cực. Những tích phân này thường được gọi là 'tích phân thực', vì chúng không thể được tính bằng phương pháp tích phân thông thường.

Ví dụ

Định nghĩa ban đầu của tích phân Riemann không áp dụng cho hàm như $1/x^2$ trên khoảng [1, ∞), vì miền tích phân không bị chặn. Tuy nhiên, tích phân Riemann có thể được mở rộng bằng cách sử dụng tính liên tục, định nghĩa tích phân mở rộng thay vì giới hạn.

${\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{1}{x^2}dx=\underset{b\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_1^b\frac{1}{x^2}dx=\underset{b\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(-<!--\; -\; -->\frac{1}{b}+$

1 1 ) = 1. {displaystyle int _{1}^{infty }{rac {1}{x^{2}}},mathrm {d} x=lim _{b o infty }int _{1}^{b}{rac {1}{x^{2}}},mathrm {d} x=lim _{b o infty }left(-{rac {1}{b}}+{rac {1}{1}} ight)=1.}

Định nghĩa hạn chế của tích phân Riemann cũng không bao gồm hàm số $1/\sqrt{x}$ trên khoảng [0, 1]. Vấn đề là hàm lấy tích phân không bị chặn trong miền tích phân (định nghĩa yêu cầu cả miền tích phân và hàm phải bị chặn). Tuy nhiên, tích phân mở rộng vẫn có thể được xác định nếu được coi là giới hạn.

Có những tích phân có thể gặp phải hai điểm kỳ dị không thích hợp. Chẳng hạn, xét hàm 1/((x + 1)√x) được tích phân từ 0 đến ∞ (như minh họa bên phải). Tại giới hạn dưới, khi x tiến đến 0, hàm tiến đến ∞, và tại giới hạn trên, hàm cũng tiến đến ∞, mặc dù hàm tiến đến 0. Đây là ví dụ về tích phân suy rộng kép. Ví dụ, tích phân từ 1 đến 3 có tổng Riemann bình thường cho kết quả là π/6. Tích phân từ 1 đến ∞ không thể cho ra kết quả bằng tổng Riemann. Tuy nhiên, giới hạn trên hữu hạn bất kỳ, như t (với t > 1), cho kết quả rõ ràng là 2 arctan(√t) − π/2. Tích phân này có giới hạn hữu hạn khi t đến vô cùng, cụ thể là π/2. Tương tự, tích phân từ 1/3 đến 1 sử dụng tổng Riemann cũng cho kết quả là π/6. Thay thế 1/3 bằng giá trị dương tùy ý s (với s < 1) cũng cho kết quả an toàn, với tích phân là π/2 − 2 arctan(√s). Giới hạn hữu hạn khi s tiến đến 0 cụ thể là π/2. Kết hợp các giới hạn từ hai đoạn, kết quả của tích phân suy rộng này là

Quá trình này có thể không thành công; giới hạn có thể không tồn tại hoặc có thể là vô hạn. Chẳng hạn, tích phân của 1/x trong khoảng từ 0 đến 1 không hội tụ; và tích phân của 1/√x trong khoảng từ 1 đến ∞ cũng không hội tụ.

Một trường hợp khác là hàm tích phân không bị chặn gần một điểm, và trong trường hợp này, tích phân cần phải được chia tại điểm đó. Đối với tích phân mà toàn bộ tích phân hội tụ, các tích phân giới hạn ở cả hai vế phải tồn tại và phải bị chặn. Ví dụ:

Tuy nhiên, tích phân tương tự

Hội tụ của tích phân

Các loại tích phân

Tích phân mở rộng Riemann và tích phân mở rộng Lebesgue

Điểm bất thường

Chúng ta có thể thảo luận về điểm bất thường của một tích phân mở rộng, nghĩa là những điểm trên trục số thực mở rộng mà tại đó các giới hạn được áp dụng.

Giá trị chính Cauchy

Khả năng tích phân

Tích phân mở rộng cho nhiều biến

Tích phân mở rộng trên các miền tùy chọn

Tích phân mở rộng với các điểm bất thường

Các hàm có giá trị cả dương và âm

Ghi chú

• Apostol, T (1974), Phân tích Toán học, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1.
• Apostol, T (1967), Tính toán, Tập 1 (ấn bản 2), Jon Wiley & Sons.
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Phương pháp Số với Ứng dụng (ấn bản 1), autarkaw.com
• Titchmarsh, E (1948), Giới thiệu về lý thuyết tích phân Fourier (ấn bản 2), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (xuất bản 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Cooper, Jeffery (2005), Phân tích làm việc, Gulf Professional
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), Khóa học về tính toán đa biến và phân tích, Springer

Các liên kết bên ngoài

• Phương pháp số để giải các tích phân không chính xác tại Holistic Numerical Methods Institute
• Tích phân không chính xác Lưu trữ 2012-06-18 tại Wayback Machine – chương của một sách giáo khoa trực tuyến