Tích phân theo đường

Trong toán học, tích phân theo đường là phép tích phân được thực hiện khi hàm số được tính dọc theo một đường cong cụ thể.

Giải tích vectơ

Tích phân theo đường trong giải tích vecto có thể được hiểu như là việc đo lường tổng hiệu ứng của một trường dọc theo một đường cong cho trước. Cụ thể, tích phân theo đường của một trường vô hướng có thể được mô tả như là diện tích dưới bề mặt của trường đó mà đường cong tạo ra. Điều này có thể được hình dung như việc xét mặt cong do z = f(x,y) và đường cong C trên mặt phẳng x-y. Tích phân theo đường của f sẽ là diện tích của 'màn' được tạo ra khi một điểm di chuyển ngay phía trên đường cong C tạo ra.

Với một trường vô hướng f: U ⊆ R → R, tích phân theo đường dọc theo một đường trơn gián đoạn C ⊂ U được định nghĩa như sau

${\oint <!--\; \oint \; -->}_{C}fds={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(r\right(t\left)\right)|r^{\prime }\left(t\right)|dt.$

trong đó r: [a, b] → C là một hàm tham số của đường cong C sao cho r(a) và r(b) là hai điểm đầu và cuối của C.

Hàm số f được gọi là hàm số tích phân, đường cong C là tập hợp mà tích phân được thực hiện, và ký hiệu ds có thể hiểu là một đơn vị cơ bản của độ dài đường cong. Tích phân theo đường của trường vô hướng dọc theo một đường cong C không bị ảnh hưởng bởi cách tham số hóa r của C.

Tích phân theo đường của một trường vectơ

Với một trường vectơ F: U ⊆ R → R, tích phân theo đường dọc theo một đường cong trơn gián đoạn C ⊂ U, theo hướng của r, được xác định bởi

${\oint <!--\; \oint \; -->}_{C}F\left(r\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->dr={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}F\left(r\right(t\left)\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->r^{\prime }\left(t\right)dt.$

trong đó · là tích vô hướng và r: [a, b] → C là một hàm tham số hóa tuyến tính của đường cong C sao cho r(a) và r(b) là hai điểm đầu và cuối của C.

Do đó, tích phân theo đường của một trường vô hướng thực chất là tích phân của một trường vectơ, trong đó các vectơ luôn tiếp xúc với đường cong đó.

Tích phân theo đường của trường vectơ không bị ảnh hưởng bởi tham số hóa r trong giá trị tuyệt đối, nhưng lại phụ thuộc vào hướng của đường cong. Việc thay đổi hướng của đường cong sẽ làm thay đổi dấu của tích phân theo đường.