Tích phân từng phần

Trong vi tích phân và giải tích toán học, tích phân từng phần là cách tìm tích phân của tích các hàm bằng cách sử dụng tích phân của đạo hàm và nguyên hàm. Nó thường được dùng để chuyển đổi nguyên hàm của tích các hàm thành dạng dễ tính hơn. Quy tắc này có thể được suy ra từ quy tắc nhân của đạo hàm.

Nếu u = u(x) và du = u'(x) dx, với v = v(x) và dv = v'(x) dx, thì tích phân từng phần được phát biểu như sau:

∫[a,b] u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]|a^b - ∫[a,b] u'(x) v(x) dx = u(b) v(b) - u(a) v(a) - ∫[a,b] u'(x) v(x) dx

hoặc viết ngắn gọn hơn:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có phiên bản rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

Định lý

Tích của hai hàm

Định lý có thể suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):

{\frac {d}{dx}}{\Big (}u(x)v(x){\Big )}=v(x){\frac {d}{dx}}\left(u(x)\right)+u(x){\frac {d}{dx}}\left(v(x)\right).

Tích phân cả hai vế đối với x,

{\displaystyle \int {\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx}

sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm,

{\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx}

cung cấp công thức tích phân từng phần.

Vì du và dv là các vi phân của hàm một biến x,

$du=u^{\prime }\left(x\right)dxdv=v^{\prime }\left(x\right)dx$

$\int <!--\; \int \; -->u\left(x\right)dv=u\left(x\right)v\left(x\right)-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->v\left(x\right)du$

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, cần tìm nguyên hàm của v (từ v′), và thực hiện tích phân ∫vu′ dx.

Mở rộng cho các tình huống khác

Điều kiện u và v liên tục không phải là yêu cầu bắt buộc. Tích phân từng phần chỉ áp dụng nếu u liên tục tuyệt đối và hàm chọn v' phải khả tích Lebesgue (nhưng không cần liên tục). (Nếu v' có điểm gián đoạn thì nguyên hàm v có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)

Nếu khoảng tích phân không phải là không gian compact, thì u không cần hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc v' không cần khả tích Lebesgue trong khoảng đó, như một số ví dụ sẽ cho thấy, trong đó u và v là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ, nếu

$u\left(x\right)=\exp <!--\; \; -->\left(x\right)/x^2,v^{\prime }\left(x\right)=\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)$

u không liên tục hoàn toàn trên khoảng [1, +∞), nhưng

${\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)dx={\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{u}^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)dx$

Miễn là ${\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$ thể hiện là giới hạn $u\left(L\right)v\left(L\right)-<!--\; -\; -->u\left(1\right)v\left(1\right)$ khi $L\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$ và khi hai số hạng ở vế phải là hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chọn $v\left(x\right)=-<!--\; -\; -->\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x).$. Tương tự như vậy, nếu

$u\left(x\right)=\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x),v^{\prime }\left(x\right)=x^{-<!--\; -\; -->1}\sin <!--\; \; -->\left(x\right)$

v' không phải là khả vi Lebesgue trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

${\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)dx={\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{u}^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)dx$

với lý do tương tự.

Ta có thể đưa ra nhiều ví dụ tương tự, nhưng trong đó u và v không liên tục khả vi.

Tích của các hàm đa thức

Khi áp dụng quy tắc tích để tính tích phân của ba hàm u(x), v(x), w(x), ta thu được kết quả tương tự như sau:

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}uvdw=[uvw{]}_a^b-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}uwdv-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}vwdu.$

Mở rộng cho trường hợp có n hàm

$\frac{d}{dx}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{u}_i\left(x\right)\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{i\ne <!--\; \ne \; -->j}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{u}_i\left(x\right)\frac{d{u}_j\left(x\right)}{dx},$

dẫn đến

$[\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{u}_i\left(x\right){]}_a^b=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_a^b\underset{i\ne <!--\; \ne \; -->j}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{u}_i\left(x\right)d{u}_j\left(x\right),$

trong đó tích chỉ bao gồm các hàm ngoài trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.

Khái niệm hình dung

Xem xét đường cong được tham số hóa bởi (x, y) = (f(t), g(t)). Nếu đường cong đơn ánh và khả tích cục bộ, ta định nghĩa

$x\left(y\right)=f\left(g^{-<!--\; -\; -->1}\right(y\left)\right)$

$y\left(x\right)=g\left(f^{-<!--\; -\; -->1}\right(x\left)\right)$

Diện tích vùng tô màu xanh là

$A_1={\int <!--\; \int \; -->}_{y_1}^{y_{}}$

2 x ( y ) d y {displaystyle A_{1}=int {y{1}}^{y_{2}}x(y)dy}

Tương tự, diện tích vùng màu đỏ được tính là

$A_2={\int <!--\; \int \; -->}_{x_1}^{x_2}y\left(x\right)dx$

Tổng diện tích A₁ cộng A₂ bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, x₂y₂, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, x₁y₁:

Hoặc tính theo tham số t

Hoặc biểu diễn bằng nguyên hàm:

$\int <!--\; \int \; -->xdy+\int <!--\; \int \; -->ydx=xy$

Cập nhật lại:

$\int <!--\; \int \; -->xdy=xy-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->ydx$

Vì vậy, tích phân từng phần có thể được coi như là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và vùng đỏ.

Hình dung này cũng giúp hiểu tại sao tích phân từng phần có thể được dùng để tính tích phân của hàm nghịch đảo f(x) khi đã biết tích phân của f(x). Cụ thể, nếu hàm x(y) và y(x) là nghịch đảo của nhau, thì có thể tìm ∫x dy dựa trên ∫y dx. Điều này giải thích vì sao tích phân từng phần thường được kết hợp với hàm logarithm và hàm lượng giác nghịch đảo.

Ứng dụng để tính nguyên hàm

Kịch bản

Tích phân từng phần là một quy trình tư duy hơn là một phương pháp máy móc đơn giản để tính toán tích phân; đối với một hàm cần tích phân, chiến lược điển hình là phân tách hàm đó thành tích của hai hàm u(x)v(x) sao cho tích phân của tích sẽ dễ tính hơn so với tích phân gốc. Công thức sau đây minh họa trường hợp tối ưu nhất:

$\int <!--\; \int \; -->uvdx=u\int <!--\; \int \; -->vdx-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->\left(u^{\prime }\int <!--\; \int \; -->vdx\right)dx.$

Chú ý rằng ở phía bên phải, u được lấy đạo hàm và v được tích phân; vì vậy, việc chọn u là hàm dễ đạo hàm hoặc chọn v là hàm dễ tích phân sẽ hữu ích. Hãy xem xét ví dụ đơn giản dưới đây:

Vì đạo hàm của ln(x) là 1/x, ta chọn (ln(x)) làm u; do nguyên hàm của 1/x là -1/x, ta chọn 1/xdx làm dv. Từ đó, chúng ta có:

Nguyên hàm của   có thể được xác định bằng quy tắc lũy thừa và .

Ngoài ra, có thể lựa chọn u  và v sao cho tích u' (∫v dx) bị triệt tiêu. Ví dụ, nếu chúng ta muốn tính tích phân:

Nếu chọn u(x) = ln(|sin(x)|) và v(x) = secx, thì u được vi phân đến 1/tan x bằng cách áp dụng quy tắc chuỗi, và v được tích phân đến tan x; do đó công thức sẽ là:

Khi hàm tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là x, việc tìm ra sự kết hợp có thể đơn giản hơn thường đòi hỏi thử nghiệm và điều chỉnh.

Trong một số tình huống, tích phân theo phương pháp tích phân từng phần không phải lúc nào cũng cho kết quả đơn giản. Ví dụ, trong phương pháp giải tích số, một số sai số nhỏ có thể được chấp nhận. Các kỹ thuật đặc biệt khác sẽ được trình bày trong các ví dụ dưới đây.

Hàm đa thức và hàm lượng giác

Để tính toán

$I=\int <!--\; \int \; -->x\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx$

Gọi là:

$u=x\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->du=dx$

$dv=\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->v=\int <!--\; \int \; -->\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx=\sin <!--\; \; -->\left(x\right)$

do đó:

với C là hằng số tích phân.

Với bậc cao hơn của x trong biểu thức

$\int <!--\; \int \; -->x^n{e}^{x}dx,\int <!--\; \int \; -->x^n\sin <!--\; \; -->\left(x\right)dx,\int <!--\; \int \; -->x^n\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx$

Áp dụng tích phân từng phần nhiều lần có thể giải quyết các tích phân loại này; mỗi lần áp dụng sẽ giảm một bậc của x.

Hàm mũ và hàm lượng giác

Một ví dụ điển hình để tính tích phân từng phần là

$I=\int <!--\; \int \; -->e^x\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx.$

Ở đây, ta áp dụng phương pháp tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên, chọn

$u=\cos <!--\; \; -->\left(x\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->du=-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\left(x\right)dx$

$dv=e^{x}dx\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->v=\int <!--\; \int \; -->e^{x}dx=e^x$

vậy ta có:

$\int <!--\; \int \; -->e^x\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx=e^x\cos <!--\; \; -->\left(x\right)+\int <!--\; \int \; -->e^x\sin <!--\; \; -->\left(x\right)dx.$

Bây giờ, để hoàn thành phần tích phân còn lại, ta sẽ áp dụng phương pháp tích phân từng phần một lần nữa, với:

$u=\sin <!--\; \; -->\left(x\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->du=\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx$

$dv=e^{x}dx\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->v=\int <!--\; \int \; -->e^{x}dx=e^x.$

thì ta có:

$\int <!--\; \int \; -->e^x\sin <!--\; \; -->\left(x\right)dx=e^x\sin <!--\; \; -->\left(x\right)-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->e^x\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx.$

Kết hợp các kết quả lại,

$\int <!--\; \int \; -->e^x\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx=e^x\cos <!--\; \; -->\left(x\right)+e^x\sin <!--\; \; -->\left(x\right)-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->e^x\cos <!--\; \; -->\left(x\right)dx.$

Tích phân giống nhau xuất hiện ở cả hai bên của phương trình. Để loại bỏ, ta cộng tích phân cần tính vào cả hai bên, chúng ta có

và trở thành:

trong đó C (và C' = C/2) là các hằng số tích phân.

Chúng ta áp dụng phương pháp tương tự để tính tích phân của hàm sec bậc ba.

Các hàm được nhân với phần tử đơn vị

Hai ví dụ điển hình khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của hàm và chính nó. Tích phân này có thể được tính nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân với x.

Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(x) dx. Tích phân này có thể được viết lại như sau:

$I=\int <!--\; \int \; -->\ln <!--\; \; -->\left(x\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->1dx.$

Đặt:

$dv=dx\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->v=x$

thì:

với C là hằng số tích phân.

Ví dụ tiếp theo là hàm arctan(x):

$I=\int <!--\; \int \; -->\arctan <!--\; \; -->\left(x\right)dx.$

Viết lại

$\int <!--\; \int \; -->\arctan <!--\; \; -->\left(x\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->1dx.$

Xét:

$dv=dx\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->v=x$

thì

Áp dụng phương pháp chuỗi đảo kết hợp với điều kiện tích phân của hàm logarit tự nhiên.

Quy tắc LIATE

Ứng dụng trong toán học lý thuyết

Tích phân từng phần thường là công cụ để chứng minh các định lý trong giải tích toán học. Dưới đây là một số ví dụ.

Ứng dụng cho các hàm đặc biệt

Ứng dụng trong giải tích điều hòa

Biến đổi Fourier của đạo hàm

Phân tích biến đổi Fourier

Ứng dụng trong lý thuyết toán tử

Các ứng dụng khác

• Áp dụng điều kiện biên trong lý thuyết Sturm-Liouville
• Đạo hàm của phương trình Euler-Lagrange trong phân tích biến thể

Tích phân đệ quy theo phương pháp từng phần

Bảng các phương pháp tích phân từng phần

Ứng dụng trong các chiều không gian cao hơn

• Tích phân từng phần cho tích phân Lebesgue–Stieltjes
• Tích phân từng phần cho semimartingales, bao gồm cả biến thiên bậc hai của chúng
• Tích phân bằng phương pháp thay biến
• Chuyển đổi Legendre

Ghi chú

• Evans, Lawrence C. (1998). Phương trình Vi phân Từng phần. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
• Arbogast, Todd; Bona, Jerry (2005). Phương pháp Toán học Ứng dụng (PDF).
• Horowitz, David (tháng 9 năm 1990). “Tích phân từng phần theo bảng”. Tạp chí Toán học Cao đẳng. 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368. JSTOR 2686368.“Tích phân từng phần theo bảng”. Tạp chí Toán học Cao đẳng 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368.JSTOR 2686368. 

Liên kết bên ngoài

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Tích phân từng phần”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Tích phân từng phần - từ MathWorld