Tích vô hướng

Tích vô hướng (tiếng Anh: dot product hoặc scalar product) là phép toán đại số áp dụng cho hai dãy số cùng độ dài (thường là các vectơ tọa độ), cho ra một số đơn. Trong hình học Euclid, việc tính tích vô hướng với tọa độ Descartes của hai vectơ là phổ biến. Nó cũng được gọi là tích trong Euclid, mặc dù không phải là phép tích duy nhất có thể định nghĩa trong không gian Euclid (xem thêm tại Không gian tích trong).

Khái niệm

Khái niệm đại số

Tích vô hướng của hai vectơ A = [A₁, A₂,..., A_n] và B = [B₁, B₂,..., B_n] được tính toán như sau:

$A\cdot <!--\; \cdot \; -->B=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_i{B}_i=A_1{B}_1+A_2{B}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+A_n{B}_n$

trong đó Σ là phép tổng và n là số thành phần của vectơ.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng, tích vô hướng của hai vectơ [a, b] và [a', b'] là: aa'+bb'

Ví dụ 2: Trong không gian ba chiều, tích vô hướng của hai vectơ [a, b, c] và [a', b', c'] là: aa'+bb'+cc'

Khái niệm hình học

Trong không gian Euclide, vectơ Euclide là một đối tượng hình học có độ dài và hướng, thường được thể hiện bằng một mũi tên. Độ dài của vectơ là chiều dài của mũi tên, còn hướng của vectơ là phương mà mũi tên chỉ đến. Độ dài của vectơ A được ký hiệu là $\Vert A\Vert$. Tích vô hướng của hai vectơ Euclide A và B được tính như sau:

$A\cdot <!--\; \cdot \; -->B=\Vert <!--\; \Vert \; -->A\Vert <!--\; \Vert \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->B\Vert <!--\; \Vert \; -->\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right),$

trong đó θ là góc giữa A và B.

Trong trường hợp đặc biệt, khi A và B vuông góc với nhau, góc giữa chúng là 90°, do đó:

$A\cdot <!--\; \cdot \; -->B=0.$

Khi hai vectơ cùng hướng với nhau, góc giữa chúng là 0°, do đó:

$A\cdot <!--\; \cdot \; -->B=\Vert A\Vert \Vert B\Vert$

Do đó, tích vô hướng của vectơ A với chính nó là:

$A\cdot <!--\; \cdot \; -->A={\Vert A\Vert }^2,$

ta có thể viết là:

$\Vert A\Vert =\sqrt{A\cdot <!--\; \cdot \; -->A},$

đây là khoảng cách Euclid của vectơ, và nó luôn dương nếu A không phải là vectơ không.

Với vectơ A = [A₁, A₂,....., A_n] ta có công thức $\Vert A\Vert =\sqrt{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_k^2}$

Chiếu vectơ vô hướng

Chiếu vô hướng của vectơ Euclide A lên hướng của vectơ Euclide B được tính như sau:

$A_B=\Vert A\Vert \cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$

với θ là góc tạo bởi A và B.

Theo định nghĩa hình học, tích vô hướng được thể hiện như sau:

$A_B=A\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{B},$

Trong đó, $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{B}=B/\Vert B\Vert$ là vectơ đơn vị cùng hướng với B.

Tích vô hướng được định nghĩa theo hình học như sau:

$A\cdot <!--\; \cdot \; -->B=A_B\Vert B\Vert =B_A\Vert A\Vert .$

Tích vô hướng có tính chất thuần nhất, nghĩa là với đại lượng vô hướng α, ta có:

$\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}A\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->B=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(A\cdot <!--\; \cdot \; -->B)=A\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}B\right).$

Tích vô hướng tuân theo quy tắc phân phối:

$A\cdot <!--\; \cdot \; -->(B+C)=A\cdot <!--\; \cdot \; -->$

B + A ⋅ C . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} .}

Dựa vào các kết quả đã nêu, ta rút ra rằng tích vô hướng là một hàm tuyến tính. Hơn nữa, hàm tuyến tính này luôn luôn là dương, tức là $A\cdot <!--\; \cdot \; -->A$ luôn không âm, và chỉ bằng 0 khi và chỉ khi $A=0.$

Tính chất

Cho a, b, và c là các vectơ và r là một số vô hướng, tích vô hướng có các tính chất sau đây:

1. Giao hoán:

   $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=b\cdot <!--\; \cdot \; -->a,$

   Điều này được chứng minh từ định nghĩa (θ là góc giữa a và b):

   $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=\Vert a\Vert \Vert b\Vert \cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\Vert b\Vert \Vert a\Vert \cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=b\cdot <!--\; \cdot \; -->a.$

2. Phân phối cho phép cộng vectơ:

   $a\cdot <!--\; \cdot \; -->(b+c)=a\cdot <!--\; \cdot \; -->b+a\cdot <!--\; \cdot \; -->c.$

3. Dạng song tuyến:

   $a\cdot <!--\; \cdot \; -->(rb+c)=r(a\cdot <!--\; \cdot \; -->b)+(a\cdot <!--\; \cdot \; -->c).$

4. Đối xứng với phép nhân vô hướng:

   $r\cdot <!--\; \cdot \; -->a=a\cdot <!--\; \cdot \; -->r.$

5. Phân phối cho phép nhân vô hướng:

   $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b+a\cdot <!--\; \cdot \; -->c=(a\cdot <!--\; \cdot \; -->b)$

Những phép tính trên là kết quả của định nghĩa về tích vô hướng. Chúng có thể áp dụng cho mọi vectơ trong không gian euclide.

Hai vectơ a và b tạo nên một tam giác với góc giữa chúng là θ (như minh họa trong hình bên phải), và cạnh còn lại của tam giác là c = a − b. Tích vô hướng của c với chính nó được gọi là Định lý cos:

Khái quát hóa

Định lý tích vô hướng

Khái niệm tổng quát của tích vô hướng là tích trong. Đây là một khái niệm trừu tượng áp dụng cho không gian vectơ H trên trường K (thường là số phức hoặc số thực) để chuyển nó thành không gian tích trong hoặc không gian Hilbert. Đó là một hàm hai biến thỏa mãn 4 tiên đề sau:

1. ,

2. ,

3.

4.

Với mọi

Đây là các tiên đề cơ bản dùng để xây dựng khái niệm tích vô hướng từ những tính chất cơ bản của tích vô hướng thông thường của hai vectơ trong mặt phẳng (hoặc không gian), nhằm mô tả khái niệm góc (trực giao) giữa hai vectơ trong không gian vectơ trừu tượng.

Khi không gian vectơ H được trang bị một tích vô hướng, nó trở thành không gian định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức

Vectơ số phức

Đối với các vectơ có thành phần phức, định nghĩa tích vô hướng chuẩn như sau: thay thế tính chất song tuyến và đối xứng giao hoán bằng tính nửa tuyến tính liên hợp và tính đối xứng liên hợp để đảm bảo tính xác định dương.

$a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=\sum <!--\; \sum \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_i}{b}_i,$

Trong đó, thành phần $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_i}$ là liên hợp phức của thành phần $a_i$. Nó cũng có thể được viết dưới dạng vectơ chuyển vị liên hợp, ký hiệu bởi mũ H:

$a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=a^{H}b.$

Trong đó, các vectơ được biểu diễn dưới dạng vectơ hàng. Tính xác định dương có nghĩa là tích vô hướng của bất kỳ vectơ nào với chính nó là một số thực không âm và chỉ bằng 0 khi vectơ đó là vectơ không. Tuy nhiên, tích vô hướng này là nửa tuyến tính thay vì song tuyến tính: nó tuyến tính liên hợp thay vì tuyến tính đối với a, và không có tính đối xứng (giao hoán), vì vậy

$a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{b\cdot <!--\; \cdot \; -->a}.$

Góc giữa hai vectơ phức được tính theo công thức sau:

Mặc dù loại tích vô hướng này rất hữu ích, nó dẫn đến các khái niệm như dạng Hermite và không gian tích trong tổng quát. Tích vô hướng của một vectơ phức với chính nó $a\cdot <!--\; \cdot \; -->a$ là một sự mở rộng của bình phương tuyệt đối của một số phức.

Liên kết ngoài

• Tích vô hướng được lưu trữ ngày 19 tháng 09 năm 2016 tại Wayback Machine trên Từ điển bách khoa Việt Nam