Tiên điều

Tiên điều, định đề là một tuyên bố được coi là đúng, được sử dụng làm tiền đề hoặc điểm khởi đầu cho các suy luận và lập luận tiếp theo. Các từ gốc từ tiếng Latin xuất phát từ tiếng Hy Lạp axíōma (ἀξίωμα) có nghĩa là 'điều xứng đáng hoặc phù hợp' hoặc 'tự coi mình là hiển nhiên.'

Thuật ngữ này có sự khác biệt nhỏ về định nghĩa khi được sử dụng trong các bối cảnh của các lĩnh vực nghiên cứu khác nhau. Như được định nghĩa trong triết học cổ điển, tiên điều là một tuyên bố hiển nhiên hoặc có cơ sở rõ ràng, đến mức nó được chấp nhận mà không cần tranh cãi hay thắc mắc. Như được sử dụng trong lôgic học hiện đại, tiên điều là tiền đề hoặc điểm khởi đầu cho suy luận.

Khi được sử dụng trong toán học, thuật ngữ tiên điều được sử dụng theo hai nghĩa liên quan nhưng có thể phân biệt được: 'tiên điều logic' và 'tiên điều phi logic'. Tiên điều logic thường là những phát biểu được coi là đúng trong hệ thống logic mà chúng xác định và thường được thể hiện dưới dạng ký hiệu (ví dụ, (A và B) suy ra A), trong khi tiên điều phi logic (ví dụ: a + b = b + a) thực sự là những khẳng định cơ bản về các yếu tố thuộc miền của một lý thuyết toán học cụ thể (chẳng hạn như số học).

Khi được sử dụng theo nghĩa sau, 'tiên điều' và 'định đề' có thể được sử dụng thay thế cho nhau. Trong hầu hết các trường hợp, tiên điều phi logic chỉ đơn giản là một biểu thức logic hình thức được sử dụng trong phép suy diễn để xây dựng lý thuyết toán học và có thể có hoặc không hiển nhiên về bản chất (ví dụ, tiên điều song song trong hình học Euclid). Tiên điều hóa một hệ thống tri thức là chứng tỏ rằng các tuyên bố của nó có thể được rút ra từ một tập hợp các câu nhỏ, dễ hiểu (các tiên điều), và có thể có nhiều cách để tiên điều hóa một miền toán học nhất định.

Bất cứ tiên đề nào đều là một tuyên bố đóng vai trò là điểm khởi đầu từ đó các tuyên bố khác được suy ra một cách logic. Liệu việc coi nó là 'đúng' có ý nghĩa gì (và nếu có, ý nghĩa đó là gì) là một chủ đề tranh luận quan trọng trong triết học toán học.

Phát triển qua lịch sử

Đại Hy Lạp

Phương pháp suy luận logic, mà kết luận (kiến thức mới) từ cơ sở (kiến thức cũ) thông qua áp dụng các lý luận hợp lý (tam đoạn luận, các quy tắc suy luận) đã được phát triển bởi người Hy Lạp cổ đại, và điều này đã trở thành nguyên tắc cốt lõi của toán học hiện đại. Không có gì có thể được suy luận nếu không có giả định. Vì vậy, tiên đề và định đề là những giả định cơ bản làm nền tảng cho một khối kiến thức suy luận nhất định. Chúng được chấp nhận mà không cần chứng minh. Tất cả các khẳng định khác (định lý, trong trường hợp của toán học) phải được chứng minh với sự hỗ trợ của những giả thiết cơ bản này. Tuy nhiên, cách giải thích kiến thức toán học đã thay đổi từ thời cổ đại đến hiện đại, do đó các thuật ngữ tiên đề và định đề có ý nghĩa hơi khác đối với các nhà toán học ngày nay so với Aristotle và Euclid.

Người Hy Lạp cổ đại coi hình học chỉ là một trong số nhiều lĩnh vực khoa học, và xem các định lý hình học ngang hàng với các sự kiện khoa học. Do đó, họ đã phát triển và sử dụng phương pháp suy luận logic như một công cụ để tránh sai lầm, cũng như để cấu trúc và truyền đạt kiến thức. Phân tích hậu nghiệm của Aristotle là một diễn giải rõ ràng của quan điểm cổ điển.

Sự quan trọng của tiên đề

Tiên đề là điều kiện cần để xây dựng bất kỳ lý thuyết nào. Mọi khẳng định hay đề xuất đều cần được giải thích hoặc xác minh bằng một khẳng định khác. Nếu một khẳng định tự giải thích hoặc xác minh chính nó thì sẽ không có giá trị, do đó cần phải có nhiều khẳng định khác để giải thích mọi khẳng định. Vì vậy, cần có một số khẳng định được công nhận là chính xác để bắt đầu và hướng dẫn quá trình suy diễn từ vô hạn đến hữu hạn.

Lưu ý:

Euclid nhận thấy sự cần thiết này khi phát triển hình học của mình, vì vậy ông đã đưa ra hệ thống tiên đề đầu tiên trong lịch sử: hệ tiên đề Euclid. Trong tác phẩm 'Cơ bản' của ông, ông đưa ra 23 định nghĩa, 5 tiên đề và 5 định đề. Sau đó, mọi người đã sử dụng thuật ngữ chung là tiên đề.

Tiên đề cũng được áp dụng trong các lĩnh vực khoa học khác như vật lý, hóa học, ngôn ngữ học, v.v.

Tiên đề trong toán học

• Hệ tiên đề Euclid
  • Một trong những tiên đề nổi tiếng nhất là định đề V của Euclid. Nội dung của định đề này là: Nếu hai đường thẳng cùng tạo ra hai góc bên trong với một đường thẳng thứ ba có tổng lớn hơn 180 độ, thì hai đường thẳng sẽ giao nhau ở phía bên trong.
• Hệ tiên đề Hilbert
• Hệ tiên đề số học
• Lý thuyết tập hợp Frankael-Zermelo
  • Tiên đề lựa chọn

Tiên đề trong vật lý

Tiên đề của Bohr

Các tiên đề Bohr là các điều kiện cần để giải thích các hiện tượng vật lý trong mô hình Bohr, ví dụ như công thức Rydberg về dải phổ của nguyên tử hydro. Mô hình Bohr duy trì mô hình hành tinh nguyên tử của Rutherford, bổ sung thêm hai điều kiện cần:

1. Tiên đề về trạng thái cân bằng.
2. Tiên đề về bức xạ và hấp thụ năng lượng.

Tiên đề của Einstein

Trong lý thuyết tương đối hẹp, Einstein đưa ra hai tiên đề:

1. Nguyên lý tương đối.
2. Tiên đề về tốc độ ánh sáng không đổi.

Trong lý thuyết tương đối rộng, ông đưa ra:

1. Nguyên lý tương đương giữa gia tốc và trường hấp dẫn.

• Định nghĩa.

• Mendelson, Elliot (1987). Giới thiệu về logic toán học. Belmont, California: Wadsworth & Brooks. ISBN 0-534-06624-0
• Wilson, John Cook (1889). Về một lý thuyết tiến hóa về các tiên đề. Oxford: Clarendon Press

Liên kết ngoài

• Các tiên đề vật lý tại Nature
• Khi các tiên đề đã bị sai tại Tia sáng