Tiếp tuyến

Một tiếp tuyến của đường cong tại một điểm trên nó là một đường thẳng chỉ 'chạm' vào đường cong ở điểm đó. Leibniz mô tả tiếp tuyến là đường thẳng nối hai điểm cực kỳ gần nhau trên đường cong. Cụ thể, một đường thẳng là tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x = c nếu đường thẳng đó đi qua điểm (c, f (c)) trên đường cong và có độ dốc là f '(c), với f ' là đạo hàm của f. Định nghĩa tương tự áp dụng cho các đường cong trong không gian và không gian Euclid n-chiều.

Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của nó với đường cong, điểm đó được gọi là tiếp điểm. Đường tiếp tuyến 'hướng theo' đường cong, do đó là đường thẳng xấp xỉ chính xác nhất tại điểm tiếp xúc.

Tương tự, mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm cụ thể là mặt phẳng 'chỉ chạm vào' mặt cong tại điểm đó. Khái niệm tiếp tuyến là một trong những khái niệm cơ bản trong hình học vi phân và đã được mở rộng rất nhiều.

Lịch sử

Euclid đã nhắc đến tiếp tuyến (ἐφαπτομένη) của đường tròn nhiều lần trong quyển III của Elements (khoảng năm 300 TCN). Trong tác phẩm Conics (khoảng năm 225 TCN), Apollonius định nghĩa tiếp tuyến là một đường thẳng mà không có đường thẳng nào khác có thể nằm giữa nó và đường cong.

Archimedes (khoảng 287 - 212 TCN) đã tìm ra tiếp tuyến cho đường xoắn ốc của mình bằng cách phân tích chuyển động của một điểm dọc theo đường cong.

Vào thập niên 1630, Fermat phát triển kỹ thuật adequality để tính toán tiếp tuyến và các vấn đề khác trong vi phân, sử dụng phương pháp này để tìm tiếp tuyến cho parabol. Kỹ thuật adequality giống như việc tính toán sự khác biệt giữa $f(x+h)$ và $f\left(x\right)$ và chia cho $h$. Đồng thời, Descartes cũng sử dụng phương pháp chuẩn hóa dựa trên việc bán kính của vòng tròn luôn chuẩn hóa với đường tròn.

Những phương pháp này dẫn đến sự phát triển của vi phân trong thế kỷ 17. Nhiều nhà toán học đã đóng góp, và Roberval đã phát hiện ra phương pháp tổng quát để vẽ tiếp tuyến bằng cách coi đường cong như một điểm di chuyển, với chuyển động là kết quả của một số chuyển động đơn giản. René-François de Sluse và Johannes Hudde đã phát triển thuật toán đại số để xác định các đường tiếp tuyến. Những đóng góp sau này của John Wallis và Isaac Barrow đã dẫn đến lý thuyết của Isaac Newton và Gottfried Leibniz.

Định nghĩa tiếp tuyến vào năm 1828 là 'đường thẳng chạm vào đường cong mà không cắt nó'. Định nghĩa này dẫn đến việc không có tiếp tuyến tại điểm uốn của đường cong. Định nghĩa cũ này đã được thay thế và hiện nay định nghĩa tiếp tuyến tương đương với định nghĩa của Leibniz, người đã xác định tiếp tuyến là đường thẳng nối hai điểm gần nhau vô hạn trên đường cong.

Tiếp tuyến của đường tròn

Khái niệm trực quan về tiếp tuyến 'chạm vào' đường cong có thể được hiểu rõ hơn qua việc xét các đường thẳng đi qua hai điểm, A và B, nằm trên đường tròn. Tiếp tuyến tại A là giới hạn khi điểm B tiến dần về A. Sự tồn tại và tính duy nhất của tiếp tuyến phụ thuộc vào độ trơn của đường cong, gọi là 'tính khả vi'. Ví dụ, nếu hai vòng cung tròn gặp nhau tại một điểm nhọn, không có tiếp tuyến duy nhất tại điểm đó, vì giới hạn của các đường AB phụ thuộc vào hướng mà B tiếp cận điểm nhọn.

Ở hầu hết các điểm, tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong mà không cắt qua nó (mặc dù có thể cắt ở những điểm xa hơn). Điểm mà tiếp tuyến cắt qua đường cong được gọi là điểm uốn. Các hình như đường tròn, parabol, hyperbol và hình bầu dục không có điểm uốn, nhưng những đường cong phức tạp hơn như đồ thị của hàm bậc ba có thể có một điểm uốn, hoặc một đường sinusoid có thể có hai điểm uốn cho mỗi giai đoạn của hàm sine.

Ngược lại, đường cong có thể nằm hoàn toàn ở một bên của một đường thẳng đi qua điểm trên nó, và đường thẳng này không phải là tiếp tuyến. Ví dụ, nếu đường thẳng đi qua đỉnh của một tam giác mà không cắt tam giác, thì đó không phải là tiếp tuyến. Trong hình học lồi, các đường như vậy được gọi là đường hỗ trợ.