Buzz
1. Phương pháp giải bài toán tìm tham số m để phương trình có nghiệm theo đúng điều kiện
Phương pháp giải cho phương trình bậc hai dạng: ax² + bx + c = 0 (với a khác 0), nhằm tìm giá trị m sao cho phương trình thỏa mãn các điều kiện cho trước.
Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm thỏa mãn các điều kiện về dấu hoặc các liên hệ đẳng thức, bất đẳng thức giữa các nghiệm.
- Bước 1: Xác định điều kiện a khác 0 nếu cần và các điều kiện để phương trình có nghiệm.
- Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét để tính tổng S và tích P của hai nghiệm.
- Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp với biến đổi đẳng thức và bất đẳng thức để tìm giá trị của tham số.
- Bước 4: So sánh với điều kiện và rút ra kết luận.
Xác định tham số m để phương trình có một nghiệm x0.
- Bước 1: Xác định các điều kiện để phương trình có nghiệm.
- Bước 2: Tìm nghiệm chung và các tham số: Giả sử x0 là nghiệm chung, thiết lập hệ phương trình với hai ẩn (x0 và tham số) rồi giải hệ phương trình đó.
- Bước 3: So sánh kết quả với điều kiện đã đặt ra và đưa ra kết luận.
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = p x2 (với p là một số thực)
+ Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
+ Bước 2: Áp dụng định lý Vi - ét.
+ Bước 3: Kết hợp phương trình (1) với ( * ) để giải hệ phương trình.
+ Bước 4: Thay x1 và x2 vào phương trình (2) để tìm giá trị của tham số.
Tìm giá trị của tham số m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
- Bước 1: Xác định điều kiện để các phương trình có nghiệm.
- Bước 2: Tìm nghiệm chung và tham số m: Giả sử x0 là nghiệm chung, thiết lập hệ phương trình hai ẩn (x0 và m), rồi giải hệ này.
- Bước 3: So sánh với điều kiện và rút ra kết luận.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện |x1 - x2| = k (k thuộc R) thì thực hiện các bước sau:
+ Bình phương hai vế của phương trình: (x1 - x2)² = k² ⇔ (x1 - x2)² - 4x1x2 = k²
+ Sử dụng định lý Viète để tính x1 + x2 và x1x2, sau đó thay vào biểu thức và rút ra kết luận.
- So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cụ thể:
Thay biểu thức Viète vào hệ (*) để xác định m
+ Đối với bài toán: Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm.
+ Đối với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho x1 < a < x2.
Có (x1 - a) (x2 - a) < 0 (*). Thay biểu thức Viète vào (*) để xác định m.
2. Các bài tập ôn luyện dạng toán tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 1: Xét phương trình x² - (2m - 1)x + m² - 1 = 0 (với x là ẩn số).
a. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b. Xác định giá trị của m sao cho hai nghiệm x1 và x2 của phương trình thỏa mãn (x1 - x2)² = x1 - 3x2.
Giải quyết bài toán.
Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi m ≤ 5/4.
Theo đề bài: (x1 - x2)² = x1 - 3x2
⇔ (x1 + x2)² - 4(m² - 1) = x1 - 3x2
⇔ (2m - 1)² - 4(m² - 1) = x1 - 3x2
⇔ x1 - 3x2 = 5 - 4m (**).
Từ (*) và (**) ta thiết lập hệ phương trình như sau:
Bài 2: Xét phương trình x² - 10mx + 9m = 0 (với m là tham số).
a. Giải phương trình khi m = 1.
b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x1 - 9x2 = 0.
Lời giải:
a. Khi m = 1, phương trình chuyển thành x² - 10x + 9 = 0.
Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 9.
Kết luận: Với m = 1, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2, trong đó x1 = 9 và x2 thoả mãn
Bài 3: Xem xét phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (với m là tham số)
a. Chứng minh rằng phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt cho mọi giá trị của m.
b. Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x1 < 1 < x2
Giải thích:
= (2m)^2 - 2 cdot 2 cdot m cdot 3 + 9 + 13 = (2m - 3)^2 + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m)
Thay (I) vào (II) ta có (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m)
Với mọi giá trị của m, phương trình này luôn có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x1 < 1 < x2, như yêu cầu trong đề bài
Bài 4: Xét phương trình x2 + 2x - m2 - 1 = 0 (m là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình này có hai nghiệm x1 và x2, trong đó x1 = -3
Giải chi tiết:
Do đó, phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt cho mọi giá trị của m
Thay vào biểu thức x1 . x2 = -m2 - 1, ta có: (-3) . 1 = -m2 - 1 <=> m2 = 2 <=> m = ±√2
Vậy các giá trị của m cần tìm là ±√2
