Tính chất của trực tâm trong tam giác: Lý thuyết và các dạng bài tập Ôn tập Toán lớp 7

Tính chất trực tâm trong tam giác là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 7 và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và thi cấp THCS.

Trực tâm trong tam giác tổng hợp toàn bộ lý thuyết, tính chất và cách xác định trực tâm kèm theo ví dụ và các dạng bài tập và tự luyện. Điều này giúp học sinh hệ thống kiến thức và giải nhanh các bài tập về trực tâm của tam giác. Ngoài ra, họ cũng có thể tham khảo tài liệu về tam giác vuông cân và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tính chất trực tâm trong tam giác

• 1. Khái niệm về Trực tâm 
• 2. Khái niệm về đường cao của một tam giác 
• 3. Tính chất của trực tâm trong tam giác
• 4. Cách xác định trực tâm của tam giác
• 5. Bài tập thực hành có đáp án
• 6. Bài tập tự luyện

1. Ý nghĩa của Trực tâm

Trong tam giác, trực tâm là điểm giao nhau của ba đường cao. Tuy nhiên, để xác định trực tâm không cần phải vẽ ba đường cao. Khi đã có hai đường cao, ta có thể xác định được trực tâm của tam giác.

Cho các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn, tù hay cân, cách xác định trực tâm là giống nhau. Kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác đến hai cạnh đối diện. Điểm giao nhau của hai cạnh đó là trực tâm của tam giác. Đường cao còn lại cũng chắc chắn đi qua trực tâm dù không cần vẽ.

Trong một tam giác, nếu ba đường cao giao nhau tại một điểm thì đó chính là trực tâm. Điều này không phụ thuộc vào quan sát mắt thường mà dựa vào các dấu hiệu nhận biết.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm trong tam giác

+ Với tam giác vuông: Trực tâm trùng với đỉnh góc vuông

+ Trong tam giác tù: Trực tâm nằm bên ngoài tam giác

2. Ý nghĩa của đường cao trong tam giác

Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác, và mỗi tam giác đều có ba đường cao.

3. Tính chất của trực tâm trong tam giác

Trực tâm của tam giác là một điểm đặc biệt và có một số đặc điểm sau:

- Đặc điểm 1: Trực tâm là điểm giao của ba đường trung trực và ba đường phân giác trong tam giác, bao gồm:

+ Đường trung trực: Đường thẳng kết hợp trực tâm và đỉnh của mỗi cạnh.

+ Đường phân giác: Đường chia góc thành hai phần bằng nhau, kết hợp với trực tâm.

+ Đường cao: Đường thẳng từ một đỉnh của tam giác vuông góc với cạnh đối diện, cắt nhau tại trực tâm.

- Đặc điểm 2: Trực tâm chia đường trung trực của hai cạnh thành hai đoạn bằng nhau, tức là trực tâm cách các đỉnh của tam giác một cách đồng đều.

- Đặc điểm 3: Trực tâm là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tức là nếu ta vẽ một đường tròn qua ba đỉnh của tam giác, trực tâm sẽ nằm trên đường tròn đó và là tâm của nó.

- Đặc điểm 4: Trực tâm của tam giác nhọn nằm trong tam giác, còn trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.

- Đặc điểm 5: Trực tâm của tam giác vuông nằm trên cạnh huyền và chính giữa hai đỉnh vuông góc của tam giác.

- Đặc điểm 6: Trực tâm là điểm duy nhất trong tam giác mà nếu vẽ các đường từ trực tâm đến các đỉnh, tổng độ dài các đoạn đó là nhỏ nhất. Điều này có nghĩa là trực tâm nằm gần nhất với các đỉnh của tam giác so với bất kỳ điểm nào khác.

- Đặc điểm 7: Trực tâm cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, tức là đường tròn lớn nhất có thể vẽ qua ba đỉnh của tam giác.

=> Trực tâm của tam giác đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các đường thẳng và đường tròn liên quan đến tam giác, cũng như các tính chất đặc biệt của tam giác. Nó được sử dụng trong các bằng chứng và bài toán hình học liên quan đến tam giác.

4. Phương pháp xác định trực tâm của tam giác

a. Trực tâm của tam giác nhọn

 Đầu tiên, kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện. Đường cao là đoạn thẳng vuông góc với cạnh tương ứng và đi qua đỉnh không nằm trên cạnh đó. Hai đường cao này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất, đó chính là trực tâm của tam giác. Trực tâm nằm trong tam giác nhọn và có vị trí gần trung điểm của các cạnh.

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm bên trong tam giác.

b. Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông. Điều này bắt nguồn từ việc hai cạnh tạo thành góc vuông cũng là đường cao của tam giác. Vì vậy, ta không cần phải kẻ thêm đường cao hoặc tìm điểm giao khác, trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

c. Trực tâm của tam giác tù

 Tương tự như tam giác nhọn, ta kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện. Tuy nhiên, trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác. Để xác định trực tâm, ta cần vẽ thêm một đường cao từ điểm đỉnh góc tù xuống cạnh đối diện. Đường cao này cắt đường cao khác tại một điểm, đó chính là trực tâm của tam giác tù. Trực tâm nằm ở bên ngoài miền tam giác và nằm gần trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm chân của hai đường cao cắt nhau.

Trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở bên ngoài tam giác

5. Bài tập thực hành có đáp án

A. Trắc nghiệm

Câu 1.

A. 30⁰
B. 45⁰
C. 60⁰
D. 90⁰

Đáp án: D

Câu 2

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm I. Tia AI cắt BC tại điểm M. Khi đó tam giác MED là tam giác gì?

A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều.

Đáp án: A

A. Tam giác cân tại F
B. Tam giác vuông tại D
C. Tam giác cân tại D
D. Tam giác cân tại C

Đáp án: A

Bài 3: Cho tam giác ABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:

A. BM = MC
B. ME = MD
C. DM = MB
D. M không thuộc đường trung trực của DE

Giải

Vì M là trung điểm của BC (gt) nên BM = MC (tính chất của trung điểm), loại đáp án A.

Xét tam giác BCE có M là trung điểm của BC (gt), suy ra EM là trung tuyến

⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh đó)

Xét tam giác BCD có M là trung điểm của BC (gt), suy ra DM là trung tuyến

⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh đó), loại đáp án C

Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M nằm trên đường trung trực của DE. Loại đáp án B, chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. ΔABO = ΔCOE
B. ΔBOA = ΔCOE
C. ΔAOB = ΔCOE
D. ΔABO = ΔCEO

Xét tam giác ΔAOB và ΔCOE có

+ OA = OC (do O thuộc đường trung trực của AC )

+ OB = OE (do O thuộc đường trung trực của BE )

+ AB = CE (theo giả thiết)

Do đó ΔAOB = ΔCOE (c-c-c)

Chọn đáp án C

B, Phần tự luận

Bài 1

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

GIẢI

+ Xét tam giác ABC vuông tại đỉnh A

AB ⏊ AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

Do đó, AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại điểm A

⇒ A là trung tâm của tam giác vuông ABC.

Do đó: trung tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông.

+ Xét tam giác ABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trung tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

Do đó E nằm ngoài đoạn thẳng AB.

⇒ Tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ Tia CE nằm bên ngoài tam giác ABC.

+ Tương tự, ta có tia BF nằm bên ngoài tam giác ABC.

+ Trung tâm H là giao điểm của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài tam giác ABC.

Vậy: trung tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác.

Bài 2: Cho bức tranh

GIẢI

a) Trong tam giác MNL, ta có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của tam giác MNL.

MQ vuông góc với NL nên MQ là đường cao của tam giác MNL.

Mà LP, MQ giao nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất của ba đường cao trong tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của tam giác MNL.

hay SN vuông góc với ML.

b)

+ Trong tam giác vuông, hai góc nhọn bổ sung nhau nên:

Tam giác NMQ vuông tại Q có:

Bài 3:

Trên đường thẳng d, chọn ba điểm phân biệt I, J, K (J nằm giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l, chọn điểm M khác với J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh rằng KN ⊥ IM.

GIẢI 

Hình minh họa được vẽ như sau:

Trong một tam giác, ba đường cao gặp nhau tại một điểm được gọi là trực tâm của tam giác đó.

Đường thẳng l vuông góc với d tại J, và M, J thuộc l ⇒ MJ vuông góc với IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN vuông góc với MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của tam giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN vuông góc với MI.

Do đó KN ⏊ IM

Bài 4:

Giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Gợi ý đáp án 

+ Trong tam giác ABC, xét ΔABC vuông tại A

AB vuông góc AC ⇒ AB là đường cao tương ứng với cạnh AC và AC là đường cao tương ứng với cạnh AB

nên AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy, trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét tam giác tù ABC có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

Vậy, E nằm ngoài A và B

⇒ Tia CE nằm ngoài hai tia CA và CB ⇒ Tia CE nằm bên ngoài tam giác ABC.

+ Tương tự, ta có tia BF cũng nằm bên ngoài tam giác ABC.

+ Trực tâm H là điểm giao nhau của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài tam giác ABC.

Vậy: Trực tâm của tam giác tù cũng nằm bên ngoài tam giác.

Bài 5: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS vuông góc với LM

b) Khi góc LNP = 50^o, tính góc MSP và góc PSQ.

Gợi ý đáp án

a) Trong tam giác MNL, có:

LP vuông góc với MN, do đó LP là đường cao của tam giác MNL.

MQ vuông góc với NL, do đó MQ là đường cao của tam giác MNL.

Vì LP và MQ cắt nhau tại điểm S

Nên theo tính chất ba đường cao của tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ Đường thẳng SN là đường cao của tam giác MNL.

hay SN vuông góc với ML.

b)

+ Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

ΔNMQ vuông tại Q có:

Bài 7:

Trên đường thẳng d, chọn ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l chọn điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

Gợi ý đáp án

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của tam giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 8: 

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

a) Chỉ ra các đường cao của tam giác HBC và từ đó xác định trực tâm của tam giác đó.

b) Tương tự, xác định trực tâm của tam giác HAB và HAC.

Gọi D, E, F là đỉnh các đường vuông góc tạo từ A, B, C của tam giác ABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

a) Trong tam giác HBC có :

AD ⟘ BC nên AD là chiều cao từ H xuống BC.

BA ⟘ HC tại F nên BA là chiều cao từ B xuống HC.

CA ⟘ BH tại E nên CA là chiều cao từ C xuống HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HCB.

b) Tương tự :

+ Trực tâm của tam giác HAB là C (C là điểm giao của ba đường cao : CF, AC, BC)

+ Trực tâm của tam giác HAC là B (B là điểm giao của ba đường cao : BE, AB, CB)

Bài 9

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Gợi ý đáp án:

+ Xét ∆ ABE vuông tại E và ∆ AFC vuông tại F có:

BE = CF

+ Xét ∆CDA vuông tại D và ∆ AFC vuông tại F có:

AC chung

AD = CF

=> AB = BC (2)

Từ (1), (2) suy ra: AB = AC = BC

Bài 10 

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB chọn điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC.

b) BE vuông góc với DC.

Gợi ý đáp án:

a) Chọn F là điểm giao nhau của DE và BC

+ AD = AE => ∆ADE cân tại A

∆ABC vuông cân tại A => BA ⊥ AC hay EA ⊥ AD

=> ∆ ADE cũng cân tại A

+ ∆ ABC cũng vuông cân tại A

=> EF vuông góc với BC hay DE vuông góc với BC.

b) Trong tam giác BCD: CA vuông góc với BD => CA là đường cao của ∆ BCD

DE vuông góc với BC => DE là đường cao của ∆ BCD

Mà DE cắt CA tại điểm E

=> E là trực tâm của ∆ BCD

=> BE vuông góc với CD.

Bài 11 

Trong tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M trên tia BA sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Gợi ý đáp án:

Gọi MH giao với BC tại điểm I.

+ Trong ∆MBH và ∆CBH có:

MB = MC

BH chung

=> ∆MBH = ∆CBH (c.g.c)

=> MI ⊥ BC hay MH vuông góc với BC.

Bài 12

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của tam giác ABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

Tam giác HBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC.

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HCB.

Bài tập 13:

Cho tam giác ABC có các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.

Giải

a) Áp dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác vuông, ta có:

FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ

Do đó, IJ là đoạn thẳng trung trực của EF

b)

c)Tứ giác BFHD và ABDE đều nội tiếp (đpcm)

d) H là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác EFD

Góc PFB bằng góc BFD

Góc DFH bằng góc EFH

Tổng của 4 góc này là 2 * 90 = 180 => P, E, F thẳng hàng

Tương tự, ta cũng có F, E, Q thẳng hàng.

6. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó, chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Bài 2: Cho đường tròn (O, R), gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

Bài 3: Cho △ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: IJ ⊥ EF

b) Chứng minh: IE ⊥ JE

Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT ⊥ EF

b) Chứng minh: IE ⊥ JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).

Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H. DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.