Tính chất đơn điệu của hàm số

Hàm số có thể có các tính chất đồng biến (tăng) và nghịch biến (giảm). Những hàm số tăng hoặc giảm liên tục trên một đoạn được gọi là đơn điệu trong đoạn đó. Nếu hàm số chỉ tăng hoặc giảm mà không thay đổi hướng, thì gọi là đơn điệu nghiêm ngặt.

Để xác định tính chất đơn điệu của hàm số, thường người ta sẽ tính đạo hàm của hàm số đó. Nếu đạo hàm dương trong một khoảng, hàm số đồng biến trong khoảng đó; nếu đạo hàm âm, hàm số nghịch biến.

Định nghĩa và tính chất của hàm số đơn điệu

Kí hiệu K được sử dụng để chỉ khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Khái niệm

Giả sử hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng K. Ta định nghĩa rằng:

• Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến nghiêm ngặt (tăng liên tục) trên K nếu với mọi cặp $x_1$,$x_2$ thuộc K, nếu $x_1$ nhỏ hơn $x_2$, thì $f\left(x_1\right)$ phải nhỏ hơn $f\left(x_2\right)$, nghĩa là:
• Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến nghiêm ngặt (giảm liên tục) trên K nếu với mọi cặp $x_1$,$x_2$ thuộc K, nếu $x_1$ nhỏ hơn $x_2$, thì $f\left(x_1\right)$ phải lớn hơn $f\left(x_2\right)$, nghĩa là:

Các tính chất 1

Cho hàm số y = f(x) được xác định và có đạo hàm trên khoảng K.

• Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->K$ thì hàm số y=f(x) là đồng biến trên K
• Nếu thì hàm số y=f(x) là nghịch biến trên K

Các tính chất 2

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge <!--\; \ge \; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->K$ và f'(x)=0 chỉ tại một số điểm hữu hạn, thì hàm số y=f(x) là đồng biến trên K

Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\le <!--\; \le \; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->K$ và f'(x)=0 chỉ tại một số điểm hữu hạn, thì hàm số y=f(x) là nghịch biến trên K

• Phan Đức Chính và các cộng sự, Sách giáo khoa Toán lớp 9, tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.
• Trần Văn Hạo và các cộng sự, Sách giáo khoa Đại số lớp 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2010.
• Trần Văn Hạo và các cộng sự, Sách giáo khoa Giải tích lớp 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam