Tính chất giao hoán

Trong toán học, một phép toán hai ngôi được coi là có tính giao hoán khi việc thay đổi thứ tự của hai toán hạng không làm thay đổi kết quả. Đây là một đặc điểm cơ bản của nhiều phép toán hai ngôi và nhiều chứng minh toán học dựa vào tính chất này. Ví dụ điển hình của tính chất này là '3 + 4 = 4 + 3' hay '2 × 5 = 5 × 2'. Việc nhận biết tính giao hoán là quan trọng vì một số phép toán như phép chia và phép trừ không có tính chất này (ví dụ, '3 − 5 ≠ 5 − 3'); những phép toán này không có tính giao hoán, và thường được gọi là phép toán không giao hoán. Do tính giao hoán của các phép toán đơn giản như phép nhân và phép cộng với số thực thường được mặc định, phải đến thế kỷ 19, toán học mới chính thức đặt tên cho tính chất này. Tính chất tương tự dành cho quan hệ hai ngôi là tính đối xứng; một quan hệ hai ngôi được gọi là đối xứng nếu quan hệ vẫn đúng bất kể thứ tự của các phần tử; ví dụ, quan hệ bằng nhau là đối xứng vì hai đối tượng toán học bằng nhau bất kể thứ tự của chúng.

Định nghĩa

Một phép toán hai ngôi $\ast <!--\; \ast \; -->$ trên tập S được xem là giao hoán nếu $x\ast <!--\; \ast \; -->y=y\ast <!--\; \ast \; -->x\text{với mọi }x,y\in <!--\; \in \; -->S.$ Phép toán không thỏa mãn tính chất này được gọi là phép toán không giao hoán.

Có thể nói x giao hoán với y hoặc x và y giao hoán theo phép toán $\ast <!--\; \ast \; -->$ nếu $x\ast <!--\; \ast \; -->y=y\ast <!--\; \ast \; -->x.$ Tức là, một phép toán hai ngôi có tính giao hoán khi mọi cặp phần tử đều giao hoán dưới phép toán đó.

Điều cần lưu ý

Tính chất giao hoán chỉ cho phép thay đổi thứ tự các toán hạng trong một cặp phần tử cụ thể. Chúng ta chỉ có thể thay đổi thứ tự các toán hạng trong biểu thức có nhiều hơn hai toán hạng nếu phép toán hai ngôi đang xét vừa có tính kết hợp vừa có tính giao hoán. Ví dụ, trong biểu thức a * b * c, nếu ta muốn nhân a với c trước rồi mới nhân b, việc thực hiện phép toán theo thứ tự như vậy sẽ không chính xác vì

$a\ast <!--\; \ast \; -->b\ast <!--\; \ast \; -->c=(a\ast <!--\; \ast \; -->b)\ast <!--\; \ast \; -->c=(b\ast <!--\; \ast \; -->a)\ast <!--\; \ast \; -->c\ne <!--\; \ne \; -->b\ast <!--\; \ast \; -->(a\ast <!--\; \ast \; -->c)$

và $a\ast <!--\; \ast \; -->b\ast <!--\; \ast \; -->c\ne <!--\; \ne \; -->a\ast <!--\; \ast \; -->(b\ast <!--\; \ast \; -->c)=a\ast <!--\; \ast \; -->(c\ast <!--\; \ast \; -->b)$

Ví dụ minh họa

Phép toán có tính giao hoán

• Phép cộng và phép nhân có tính giao hoán trong hầu hết các hệ thống số, bao gồm số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực và số phức. Tính chất này đúng trong tất cả các trường học.
• Phép cộng trong mọi không gian vectơ và đại số cũng có tính giao hoán.
• Phép hợp và phép giao trên các tập hợp cũng có tính giao hoán.
• Phép toán logic 'hội' và 'tuyển' đều có tính giao hoán.

Phép toán không có tính giao hoán

Các phép toán không có tính giao hoán gồm:

Phép chia không có tính giao hoán, như chứng minh bởi $1÷<!--\; ÷\; -->2\ne <!--\; \ne \; -->2÷<!--\; ÷\; -->1$.

Phép trừ cũng không có tính giao hoán, ví dụ như $0-<!--\; -\; -->1\ne <!--\; \ne \; -->1-<!--\; -\; -->0$

Phép mũ không có tính giao hoán, ví dụ như $2^3\ne <!--\; \ne \; -->3^2$.

Có một số hàm chân lý không tuân theo tính giao hoán, vì bảng chân lý của chúng thay đổi khi thứ tự toán hạng bị thay đổi. Ví dụ, bảng chân lý của (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) và (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) là

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

Phép hợp các hàm tuyến tính từ tập số thực vào tập số thực thường không có tính giao hoán. Chẳng hạn, xét hai hàm $f\left(x\right)=2x+1$ và $g\left(x\right)=3x+7$. Khi đó

$(f\circ <!--\; \circ \; -->g)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)=2(3x+7)+1=6x+15$

và

$(g\circ <!--\; \circ \; -->f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right)=3(2x+1)+7=6x+10$

Điều này cũng đúng cho các phép biến đổi tuyến tính và biến đổi affine từ một không gian vectơ đến chính nó (xem phần biểu diễn ma trận dưới đây).

Phép nhân ma trận vuông gần như luôn không có tính giao hoán, chẳng hạn như:

Tích vectơ của hai vectơ trong không gian ba chiều không có tính giao hoán; tức là b × a = −(a × b).

Lịch sử và từ nguyên học

Tính giao hoán đã được ghi nhận từ thời cổ đại. Người Ai Cập cổ đại đã áp dụng tính giao hoán của phép nhân để đơn giản hóa các phép tính tích. Euclid đã mặc định tính chất giao hoán của phép nhân trong tác phẩm nổi tiếng Elements của mình. Việc sử dụng tính chất này theo cách chính thức bắt đầu vào cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, khi các nhà toán học nghiên cứu lý thuyết về các hàm số. Hiện nay, tính giao hoán được công nhận rộng rãi và được ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực toán học.

Thuật ngữ commutative (giao hoán) lần đầu tiên xuất hiện trong hồi ký của François Servois vào năm 1814. Ông đã dùng từ commutatives để chỉ các hàm số có tính giao hoán. Từ này kết hợp từ commuter, nghĩa là 'thay đổi' và hậu tố -ative, nghĩa là 'dẫn đến', nên tổng thể có nghĩa là 'dẫn đến việc thay đổi'. Thuật ngữ này được đưa vào tiếng Anh vào năm 1838, trong bài viết của Duncan Farquharson Gregory có tiêu đề 'Về các tính chất tự nhiên của đại số ký hiệu', và sau đó được xuất bản vào năm 1840 trong các kỷ yếu của Hiệp hội Hoàng gia Edinburgh.

Logic mệnh đề

Quy tắc thay thế

Trong logic mệnh đề, Giao hoán hoặc tính giao hoán thường đề cập đến hai quy tắc thay thế hợp lệ. Đây là các quy tắc cho phép thay đổi vị trí của các biến mệnh đề trong các công thức mệnh đề khi chứng minh logic. Các quy tắc thay thế như sau:

$(P\vee <!--\; \vee \; -->Q)\iff <!--\; \iff \; -->(Q\vee <!--\; \vee \; -->P)$

và

$(P\wedge <!--\; \wedge \; -->Q)\iff <!--\; \iff \; -->(Q\wedge <!--\; \wedge \; -->P)$

Ở đây, ký hiệu '$\iff <!--\; \iff \; -->$' được dùng để biểu thị 'có thể thay thế trong chứng minh bằng'.

Các liên kết trong logic mệnh đề

Tính giao hoán là đặc tính của một số liên kết logic trong logic mệnh đề. Những ví dụ sau đây minh họa cho các liên kết có đặc tính giao hoán.

Giao hoán trong phép hội

$(P\wedge <!--\; \wedge \; -->Q)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->(Q\wedge <!--\; \wedge \; -->P)$

Giao hoán trong phép tuyển

$(P\vee <!--\; \vee \; -->Q)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->(Q\vee <!--\; \vee \; -->P)$

Giao hoán trong phép kéo theo (hay còn gọi là phép kéo theo, hoặc luật hoán vị)

$(P\to <!--\; \to \; -->(Q\to <!--\; \to \; -->R\left)\right)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->(Q\to <!--\; \to \; -->(P\to <!--\; \to \; -->R\left)\right)$

Giao hoán trong phép tương đương (hay còn gọi là luật tương đương)

$(P\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->Q)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->(Q\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->P)$

Các lý thuyết về tập hợp

Trong lý thuyết nhóm và lý thuyết tập hợp, nhiều cấu trúc đại số được gọi là giao hoán nếu phép toán của chúng thỏa mãn tính chất giao hoán. Ở những lĩnh vực toán học nâng cao như giải tích hay đại số tuyến tính, tính giao hoán của phép cộng và phép nhân trên tập số thực và số phức thường được coi là mặc định và không được nhắc lại trong các chứng minh.

Giao hoán trong các cấu trúc toán học

• Nửa nhóm giao hoán là một tập hợp với phép toán đóng, giao hoán và kết hợp.
• Thêm phần tử đơn vị vào nửa nhóm giao hoán sẽ tạo thành monoid giao hoán.
• Nhóm Abel, hay còn gọi là nhóm giao hoán, là nhóm trong đó phép toán nhóm thỏa mãn tính chất giao hoán.
• Vành giao hoán là vành mà trong đó phép nhân có tính chất giao hoán (mặc dù phép cộng trong vành luôn có tính giao hoán).
• Trong trường, cả hai phép cộng và phép nhân đều thỏa mãn tính giao hoán.

Các tính chất liên quan

Tính kết hợp

Tính kết hợp liên quan chặt chẽ với tính giao hoán. Tính kết hợp trong các biểu thức với hai hoặc nhiều phép toán giống nhau cho biết rằng thứ tự thực hiện phép toán không ảnh hưởng đến kết quả cuối, miễn là thứ tự các toán hạng không thay đổi. Ngược lại, tính giao hoán cho biết thay đổi thứ tự các toán hạng trong một cặp sẽ không thay đổi kết quả cuối.

Các phép toán giao hoán thường cũng có tính kết hợp. Tuy nhiên, tính giao hoán không tự động dẫn đến tính kết hợp. Một ví dụ phản chứng là hàm số dưới đây

Hàm số này có tính giao hoán (hoán đổi x và y không làm thay đổi kết quả), nhưng không có tính kết hợp (chẳng hạn như $f(-<!--\; -\; -->4,f(0,+4\left)\right)=-<!--\; -\; -->1$ trong khi $f\left(f\right(-<!--\; -\; -->4,0),+4)=+1$). Có nhiều ví dụ khác về magma giao hoán không kết hợp. Ngược lại, tính kết hợp không tự động dẫn đến tính giao hoán. Ví dụ, phép nhân ma trận luôn kết hợp nhưng không nhất thiết giao hoán.

Tính phân phối

Tính đối xứng

Một số loại đối xứng có thể liên quan chặt chẽ với tính giao hoán. Khi một phép toán hai ngôi được biểu diễn dưới dạng hàm nhị phân $z=f(x,y),$, hàm đó được gọi là hàm đối xứng, và đồ thị của nó trong không gian ba chiều sẽ đối xứng qua mặt phẳng $y=x$. Ví dụ, nếu hàm f được định nghĩa là $f(x,y)=x+y$, thì $f$ là hàm đối xứng.

Trong đại số quan hệ, quan hệ đối xứng tương tự như tính giao hoán, nghĩa là nếu quan hệ R đối xứng thì $aRb\iff <!--\; \iff \; -->bRa$.

Các toán tử không giao hoán trong cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử theo Schrödinger, các biến vật lý được thay thế bằng các toán tử tuyến tính như $x$ (tức là nhân bởi $x$), và . Hai toán tử này không giao hoán khi xét kết quả hợp của chúng và (còn gọi là tích các toán tử) trên hàm sóng một chiều $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\left(x\right)$:

$x\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{d}{dx}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=x\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}+x\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }=\frac{d}{dx}\left(x\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\right)$

Theo nguyên lý bất định của Heisenberg, khi hai toán tử biểu thị các đại lượng không giao hoán thì các đại lượng đó sẽ bù nhau, tức là không thể đo đạc hoặc xác định chính xác đồng thời. Ví dụ, vị trí và mô men tuyến tính trong hướng $x$ của một hạt được biểu diễn bằng $x$ và , tương ứng (với $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$ là hằng số Planck rút gọn). Ví dụ này tương tự như ví dụ trên nhưng với $-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$, do đó các toán tử không giao hoán, từ góc độ vật lý, có nghĩa là vị trí và mô men tuyến tính theo hướng cụ thể sẽ bù nhau.

• Tính chất phản giao hoán
• Tâm hóa và chuẩn hóa
• Biểu đồ giao hoán
• Giao hoán trong sinh lý học thần kinh
• Toán tử giao hoán
• Luật hình bình hành
• Tính chất tương đương giao hoán
• Monoid vết
• Xác suất giao hoán

Chú giải

Sách tham khảo

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.

  Lý thuyết đại số trừu tượng. Đề cập đến tính giao hoán trong bối cảnh đó. Sử dụng thuộc tính này xuyên suốt cuốn sách.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (ấn bản 12). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra . Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

  Lý thuyết đại số tuyến tính. Giải thích về tính giao hoán trong chương 1 và sử dụng nó xuyên suốt.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry . Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

  Lý thuyết đại số trừu tượng. Sử dụng thuộc tính giao hoán xuyên suốt cuốn sách.

• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (ấn bản 12). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.

• Lumpkin, B. (1997). “Di Sản Toán Học Của Ai Cập Cổ Đại — Phản Hồi Đối Với Robert Palter” (PDF) (Tài liệu chưa công bố). Bản sao (PDF) lưu trữ ngày 13 tháng 7 năm 2007.

  Bài viết này mô tả khả năng toán học của các nền văn minh cổ đại.

• Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). Giấy Toán Rhind: Một Văn Bản Toán Học Ai Cập Cổ Đại. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4.

  Dịch và giải thích cuốn Giấy Toán Rhind.

Nguồn trực tuyến

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Tính Giao Hoán”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Krowne, Aaron, Tính Giao Hoán trên PlanetMath.org., Truy cập ngày 8 tháng 8 năm 2007.

  Định nghĩa về tính giao hoán cùng với các ví dụ về phép toán giao hoán

• Weisstein, Eric W., 'Commute' từ MathWorld., Truy cập ngày 8 tháng 8 năm 2007.

  Giải thích thuật ngữ commute

• “Yark”. Các Ví Dụ Về Các Phép Toán Không Giao Hoán trên PlanetMath.org., Truy cập ngày 8 tháng 8 năm 2007

  Các ví dụ chứng minh một số phép toán không giao hoán

• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. “Lịch sử Các Số Thực”. MacTutor. Truy cập ngày 8 tháng 8 năm 2007.

  Bài viết về lịch sử các số thực

• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. “Những Sử Dụng Sớm Nhất Của Các Thuật Ngữ Toán Học”. Truy cập ngày 22 tháng 11 năm 2008.

  Trang web về những lần đầu tiên sử dụng các thuật ngữ toán học

• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. “Tiểu sử François Servois”. MacTutor. Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 9 năm 2009. Truy cập ngày 8 tháng 8 năm 2007.

  Tiểu sử François Servois, người đầu tiên sử dụng thuật ngữ này