Tính chất phân phối

Trong toán học, tính chất phân phối của các phép toán nhị phân mở rộng định luật phân phối từ đại số Bool và đại số cơ bản. Trong logic mệnh đề, phân phối đề cập đến hai quy tắc thay thế hợp lệ, cho phép tái cấu trúc các liên từ và phép nối trong các chứng minh logic.

Ví dụ trong số học là:

$2\times <!--\; \times \; -->(1+3)=2\times <!--\; \times \; -->1+2\times <!--\; \times \; -->3$, nhưng $2:(1+3)\ne <!--\; \ne \; -->2:1+2:3$.

Trong phương trình đầu tiên, bên trái là 2 nhân với tổng của 1 và 3; bên phải là 2 nhân riêng lẻ với 1 và 3, sau đó cộng các kết quả lại. Vì cả hai phương pháp này đều cho kết quả cuối cùng giống nhau (8), nên phép nhân với 2 được coi là phân phối trên phép cộng giữa 1 và 3. Bởi vì ta có thể thay thế 2, 1, 3 bằng bất kỳ số thực nào khác mà vẫn giữ đúng phương trình, nên phép nhân với số thực phân phối đối với phép cộng của các số thực.

Định nghĩa

Xét một tập hợp S và hai phép toán nhị phân ∗ và + trên S, phép toán ∗:

được gọi là phân phối trái đối với phép + nếu với bất kỳ phần tử x, y và z trong S,

$x\ast <!--\; \ast \; -->(y+z)=(x\ast <!--\; \ast \; -->y)+(x\ast <!--\; \ast \; -->z),$

được gọi là phân phối phải với phép + nếu, với bất kỳ phần tử x, y và z thuộc S,

$(y+\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>z)\ast <!--\; \ast \; -->x=(y\ast <!--\; \ast \; -->x)+(z\ast <!--\; \ast \; -->x),$ và

được coi là phân phối với phép + nếu nó thỏa mãn tính phân phối cả bên trái và bên phải.

Chú ý rằng khi * có tính giao hoán, ba điều kiện trên là tương đương về mặt logic.

Ý nghĩa

Các phép toán được sử dụng trong các ví dụ ở phần này là phép cộng ($+$) và phép nhân ($\cdot <!--\; \cdot \; -->$) thông thường.

Nếu phép toán ký hiệu $\cdot <!--\; \cdot \; -->$ không có tính giao hoán, thì phân phối trái và phân phối phải sẽ được phân biệt:

$a\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(b\pm <!--\; \pm \; -->c\right)=a\cdot <!--\; \cdot \; -->b\pm <!--\; \pm \; -->a\cdot <!--\; \cdot \; -->c$   (phân phối trái)

$(a\pm <!--\; \pm \; -->b)\cdot <!--\; \cdot \; -->c=a\cdot <!--\; \cdot \; -->c\pm <!--\; \pm \; -->b\cdot <!--\; \cdot \; -->c$   (phân phối phải)

Trong cả hai trường hợp, tính chất phân phối có thể được diễn đạt bằng những từ như: Khi nhân một tổng (hoặc hiệu) với một số, mỗi thành phần của tổng (hoặc số bị trừ và số trừ) sẽ được nhân với số đó, và các tích thu được sẽ được cộng (hoặc trừ) lại với nhau.

Ngược lại, phép chia chỉ có tính phân phối phải mà không có tính phân phối trái:

$\frac{a_1\pm <!--\; \pm \; -->a_2\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->a_n}{b}=\frac{a_1}{b}\pm <!--\; \pm \; -->\frac{a_2}{b}\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->\frac{a_n}{b}(b\ne <!--\; \ne \; -->0)$

tuy nhiên $\frac{b}{a_1\pm <!--\; \pm \; -->a_2\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->a_n}\ne <!--\; \ne \; -->\frac{b}{a_1}\pm <!--\; \pm \; -->\frac{b}{a_2}\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->\frac{b}{a_n}$. Ví dụ $\frac{12}{2+4}=\frac{12}{6}=2$, nhưng $\frac{12}{2}+\frac{12}{4}=6+3=9$.