Tính đồng dạng

Tính đồng dạng là khái niệm trong hình học biểu thị việc các hình có hình dáng và cấu trúc tương tự nhau nhưng khác kích thước. Cụ thể, hai hoặc nhiều hình đồng dạng là kết quả của các phép biến hình hình học. Ví dụ, tất cả các hình tròn, hình vuông, hay tam giác đều đồng dạng với nhau, nhưng hình elip, hình chữ nhật, và các tam giác không đồng dạng với nhau.

Hai tam giác có tính đồng dạng

Khái niệm

$\iff <!--\; \iff \; -->$ ; $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{A}^{\prime },\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{B}^{\prime },\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}C=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{C}^{\prime }$

Kí hiệu ᔕ dùng để biểu thị tính đồng dạng, giống như một dấu ngã ngược. Về thực chất, nó là chữ S nằm ngang, nhưng nếu viết đứng thì dễ nhầm với các ký hiệu khác, vì vậy người ta chọn làm ngang.

Để gõ ký hiệu này, bạn có thể sử dụng ký tự ᔕ trong các phần mềm soạn thảo văn bản như Word,...

Các trường hợp đồng dạng được xác định dựa trên định nghĩa cụ thể.

Các cách nhận diện tam giác đồng dạng

Hai tam giác bất kỳ và được gọi là đồng dạng nếu chúng thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

nếu các cạnh tương ứng của hai tam giác với $k$ là hệ số tỉ lệ

nếu các cạnh tương ứng của hai tam giác và có góc giữa hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau, chẳng hạn như góc $B$ và góc $B{}^{\prime }$.

nếu có $A=A^{\prime }$ và $B=B{}^{\prime }$, thì hai tam giác là đồng dạng. Do theo Định lý tổng ba góc của tam giác, góc còn lại $C=C{}^{\prime }$ cũng phải bằng nhau.

Các điều kiện để nhận diện tam giác vuông đồng dạng

Đối với tam giác vuông, có những trường hợp sau:

Nếu hai tam giác vuông có hai góc nhọn tương ứng bằng nhau, thì chúng là đồng dạng. Điều này bởi vì ngoài góc vuông đã có sẵn, các góc nhọn còn lại cũng phải tương ứng với nhau.

Nếu tỷ lệ giữa hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tương ứng với tỷ lệ giữa hai cạnh của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó là đồng dạng. Nguyên nhân là do góc vuông giữa hai cạnh luôn bằng nhau.

Nếu tỷ lệ giữa một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tương ứng với tỷ lệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó là đồng dạng. Định lý này có thể được chứng minh thông qua định lý Pythagoras.

Các đặc điểm của tam giác đồng dạng:

Hai tam giác nếu có kích thước giống hệt nhau thì chúng là đồng dạng, nhưng điều này không hoàn toàn ngược lại: hai tam giác đồng dạng chưa chắc đã có kích thước giống nhau. Một cách khác để diễn đạt tính chất này là bất kỳ tam giác nào cũng đồng dạng với chính nó.

,

Nếu hai tam giác đồng dạng có các đường trung tuyến, phân giác, đường cao, và chu vi tương ứng tỷ lệ với nhau bằng tỷ số đồng dạng thì tỷ số diện tích của hai tam giác đó sẽ là bình phương của tỷ số đồng dạng. Đường trung trực không liên quan đến tính đồng dạng của tam giác.

Các tam giác đồng dạng có những định lý sau đây:

Định lý Ta-lét: Nếu vẽ một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó sẽ tạo ra một tam giác mới trong tam giác ban đầu, tam giác mới này đồng dạng với tam giác đã cho.

Tất cả các kiến thức trên đều được trình bày trong sách giáo khoa Toán lớp 8, tập 2.

Ứng dụng của tam giác đồng dạng

Tam giác đồng dạng có thể được áp dụng để đo chiều cao của một vật hoặc khoảng cách mà ta không thể tiếp cận trực tiếp, đồng thời cũng có thể dùng để thiết kế các dụng cụ đo độ dày.

Hình đồng dạng

Đa giác đều với n cạnh

Tất cả các đa giác có số cạnh bằng nhau, ký hiệu là $\text{n}$, đều là đồng dạng vì theo công thức $(n-<!--\; -\; -->2){180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$, các đa giác này có số đo góc giống nhau và các cạnh của chúng luôn tỉ lệ, do đó chúng luôn đồng dạng.

Các đường cong tương đồng

Một số loại đường cong có thuộc tính đồng nhất trong mọi ví dụ thuộc loại đó. Bao gồm:

• Vòng kết nối
• Parabol
• Hyperbol với độ lệch tâm
• Elip với độ lệch tâm cụ thể
• Catenaries
• Đồ thị của hàm logarit cho các cơ số khác nhau
• Đồ thị của hàm mũ cho các cơ số khác nhau
• Vòng xoắn logarit

Tính đồng dạng trong không gian Euclidean

Một sự tương đồng (hay còn gọi là chuyển đổi tương tự hoặc biến hình) trong không gian Euclide là một ánh xạ $\text{f}$ từ không gian vào chính nó, sao cho tất cả các khoảng cách đều được nhân bởi cùng một số thực dương $\text{r}$. Điều này có nghĩa rằng đối với bất kỳ hai điểm $\text{x}$ và $\text{y}$, ta có

$d\left(f\right(x),f(y\left)\right)=rd(x,y)$

Trong đó $d\left(f\right(x),f(y\left)\right)$ là khoảng cách Euclide giữa $\text{x}$ và $\text{y}$. Các hằng số $\text{r}$ có nhiều tên gọi khác nhau như tỷ lệ giống nhau, yếu tố kéo dài, hoặc hệ số tương tự. Khi $r=1$, sự tương đồng được gọi là phép đo đẳng độ (hoặc chuyển động cứng). Hai hình được coi là tương tự nếu một là hình ảnh của hình kia qua một sự tương đồng.

Một ánh xạ $\text{f}$: Sự tương đồng với tỷ lệ r có dạng

$f\left(x\right)=rAx+t$

Trong đó Một ∈ O n (ℝ) là một ma trận trực giao kích thước n × n và t ∈ ℝ là một vector dịch.

Các phép biến đổi tương tự bảo toàn các mặt phẳng, đường thẳng, các góc vuông, điểm giữa, khoảng cách giữa các điểm và các đoạn thẳng. Chúng bảo vệ các góc nhưng không nhất thiết bảo toàn định hướng; các mô hình trực tiếp bảo toàn định hướng trong khi các mô hình tương phản có thể thay đổi định hướng.

Nhóm các điểm tương đồng trong không gian Euclide hình thành một nhóm dưới phép toán được gọi là nhóm điểm tương đồng S. Các mô hình trực tiếp tạo thành một phân nhóm bình thường của S, và nhóm E ( n ) Euclidean của đồng vị cũng tạo thành một phân nhóm bình thường. Nhóm tương tự S là một phân nhóm của nhóm affine, vì vậy mỗi sự tương đồng có thể được coi là một chuyển đổi affine.

Có thể coi các mặt phẳng Euclide như các mặt phẳng phức tạp, nghĩa là, một không gian hai chiều đối với các số thực. Các phép biến đổi tương tự 2D có thể được biểu diễn bằng số học phức tạp và được biểu diễn bởi f ( z ) = az + b (tương tự trực tiếp) và f ( z ) = a z + b (ngược lại giả thuyết), trong đó a và b là các số phức, với a ≠ 0. Khi | A | = 1, các điểm tương đồng này là đẳng số.

Tính tương tự trong không gian số liệu nói chung.

Tam giác Sierpiński có một chiều không gian tương tự nhau với log 3/log 2 = log₂ 3, khoảng 1,58 (theo kích thước Hausdorff).

Trong một không gian metric (X, d), một phép biến đổi chính xác được gọi là một hình trạng là một hàm f từ không gian metric X vào chính nó mà nhân tất cả các khoảng cách bởi một số dương r, được gọi là yếu tố co của f. Vì vậy, với bất kỳ hai điểm x và y, ta có

$d\left(f\right(x),f(y\left)\right)=rd(x,y)$

Một ví dụ về biến đổi yếu tương tự là hàm f có thể là một hàm Lipschitz và số dương r là giới hạn.

Phiên bản yếu hơn này được áp dụng khi chỉ số này phản ánh hiệu quả một bộ tự tương tự.

Một tập con tương tự trong không gian số liệu (X, d) là tập K mà có thể tìm thấy một tập hữu hạn {f s}_{s ∈ S} với các yếu tố co từ 0 ≤ r s < 1, sao cho K là tập con nhỏ gọn duy nhất của X trong đó

Các bộ tự tương tự có một phép đo tương tự μ với kích thước D được tính theo công thức

$\underset{s\in <!--\; \in \; -->S}{\sum <!--\; \sum \; -->}(r_s{)}^D=1$

Thông thường (nhưng không phải lúc nào cũng vậy) bằng kích thước Hausdorff của tập và kích thước đóng gói. Nếu sự chồng chéo giữa f s (K) là 'nhỏ', chúng ta có công thức đơn giản sau đây để tính các biện pháp:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^D(fs1\circ <!--\; \circ \; -->fs2\circ <!--\; \circ \; -->...\circ <!--\; \circ \; -->fsn(K\left)\right)=(rs1\cdot <!--\; \cdot \; -->rs2\cdot <!--\; \cdot \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->rsn{)}^D$

Tô pô học

Trong tô pô học, một không gian số liệu có thể được xây dựng bằng cách xác định một điểm tương đồng thay vì khoảng cách. Sự tương đồng là một chức năng mà giá trị của nó tăng lên khi hai điểm gần nhau hơn (ngược lại với khoảng cách, nơi mà giá trị giảm khi điểm gần nhau).

Khái niệm về sự tương đồng có thể thay đổi tùy theo các tác giả và những thuộc tính mong muốn. Những thuộc tính cơ bản chung bao gồm:

1. Được xác định dương:

   Được biết bởi sự tương đồng của một phần tử với chính nó ( tự đối xứng ):

2. $S(a,b)\le <!--\; \le \; -->S(a,a)$ $and$

Ngoài ra, có thể thêm các thuộc tính khác như độ đối xứng () hoặc độ hoàn chỉnh (). Các giá trị này thường được thiết lập ở mức 1 (giúp dễ dàng liên hệ với xác suất của sự tương đồng).

Tâm lý học

Trực giác về đồng dạng hình học thường xuất hiện ở trẻ em qua các bức tranh của chúng.

Đại số

Hai đơn thức được coi là đồng dạng khi chúng có cùng phần biến. Ví dụ, $x^{2}y$ là đồng dạng với ; trong khi $2x\nsim <!--\; \nsim \; -->2y$ không đồng dạng.

Sách tham khảo

• Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Trải nghiệm Hình học/Euclid và Phi-Euclid với Lịch sử (ấn bản 3), Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143748-7
• Jacobs, Harold R. (1974), Hình học, W.H. Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Hình học/Course Toàn diện, Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Sibley, Thomas Q. (1998), Quan điểm Hình học/Khảo sát các Hình học, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
• Smart, James R. (1998), Hình học Hiện đại (ấn bản 5), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Stahl, Saul (2003), Hình học/Từ Euclid đến Nút, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-032927-1
• Venema, Gerard A. (2006), Cơ sở của Hình học, Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5
• Yale, Paul B. (1968), Hình học và Đối xứng, Holden-Day