Tính tích phân

Vi tích phân (hoặc vi tích phân của những yếu tố vô cùng nhỏ, tiếng Anh: Calculus - Infinitesimal Calculus) là một lĩnh vực toán học nghiên cứu sự biến đổi liên tục, tương tự như hình học nghiên cứu các hình dạng hay đại số khám phá các phép toán tổng quát.

Vi tích phân bao gồm hai lĩnh vực chính: vi phân và tích phân. Vi phân tập trung vào việc nghiên cứu tốc độ thay đổi tức thì và hệ số góc của các đường cong, trong khi tích phân chú trọng đến lượng và diện tích được giới hạn bởi các đường cong. Hai lĩnh vực này liên kết chặt chẽ với nhau qua định lý cơ bản của giải tích, đồng thời sử dụng các khái niệm về sự hội tụ của chuỗi hoặc dãy vô hạn được xác định bởi giới hạn.

Vi tích phân được phát triển độc lập vào giữa thế kỷ 17 bởi Isaac Newton và Gottfried Leibniz. Sau này, khái niệm giới hạn đã giúp định hình nền tảng vững chắc hơn cho sự phát triển của lĩnh vực này. Ngày nay, vi tích phân đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như khoa học, kỹ thuật và các ngành khoa học xã hội.

Nguyên từ

Trong giáo dục toán học, vi tích phân là nền tảng cơ bản để nghiên cứu giải tích toán học, đặc biệt là các hàm số và giới hạn. Từ vi tích phân trong tiếng Anh là Calculus, xuất phát từ tiếng Latinh calx (có nghĩa là hòn sỏi, từ này vẫn được dùng trong y học như calculus để chỉ sỏi muối khoáng trong cơ thể). Trong quá khứ, những hòn sỏi nhỏ được dùng để đo đạc, kiểm phiếu và làm các bàn tính số học, vì vậy calculus đã được sử dụng để chỉ phương pháp tính toán. Từ calculus được dùng sớm nhất trong tiếng Anh vào năm 1762, trước các công trình nổi tiếng của Leibniz và Newton.

Trong tiếng Việt, thuật ngữ vi tích phân là sự kết hợp của hai từ vi phân ((微分, vi phân với từ 'vi' chỉ sự nhỏ, và 'phân' chỉ sự phân chia)) và tích phân ((積分, tích phân với từ 'tích' chỉ sự tích lũy, chồng chất)), đồng thời cũng là hai lĩnh vực chính trong ngành vi tích phân.

Định hình lịch sử

Vi tích phân hiện đại được phát triển vào thế kỷ 17 tại châu Âu bởi Isaac Newton và Gottfried Leibniz (hai nhà toán học phát triển độc lập và công bố gần như đồng thời), nhưng những nguyên lý cơ bản đã xuất hiện từ Hy Lạp cổ đại, tiếp theo là Trung Quốc, Trung Đông, châu Âu thời Trung Cổ và Ấn Độ.

Cơ sở cổ đại

Các phép tính về thể tích và diện tích - mục tiêu chính của tích phân - đã được ghi nhận trong các tài liệu giấy cói của người Ai Cập cổ đại vào khoảng năm 1820 trước Công nguyên. Tuy nhiên, các công thức chỉ được ghi chép một cách đơn giản mà không có bằng chứng chứng minh kèm theo.

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Eudoxus xứ Cnidus (390 - 337 TCN) đã phát triển phương pháp vét cạn để chứng minh công thức tính thể tích của hình nón và hình chóp, mở đường cho các nghiên cứu về tích phân sau này. Phương pháp này cũng góp phần hình thành khái niệm giới hạn.

Trong thời kỳ Hy Lạp hóa, Archimedes (287 - 212 TCN) đã mở rộng phương pháp này và giới thiệu khái niệm không thể chia - nền tảng cho khái niệm vô cùng nhỏ - giúp ông giải quyết các bài toán mà hiện nay được giải bằng tích phân. Trong tác phẩm Phương pháp các Định luật Cơ học (tiếng Anh: The Method of Mechanical Theorems), Archimedes đã mô tả cách tính toán và xác định khối tâm của hình cầu đặc, hình chảo parabol cụt, và hình phẳng giới hạn bởi một parabol và cát tuyến của nó.

Phương pháp vét cạn cũng được phát triển độc lập tại Trung Quốc bởi Lưu Huy vào thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên để tính diện tích hình tròn. Đến thế kỷ thứ 5, Tổ Hằng cùng cha Tổ Xung Chi đã công bố một phương pháp, sau này gọi là nguyên lý Cavalieri, để tính thể tích khối cầu.

Thời kỳ Trung Cổ

Ứng dụng thực tiễn

Tài nguyên bên ngoài

• Vi phân tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Tích phân tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Calculus tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)