Tính toán giải tích

Giải tích toán học, hay còn gọi tắt là giải tích (Tiếng Anh: analysis), là một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm liên tục, giới hạn và các lý thuyết liên quan như đạo hàm, tích phân, đo lường, chuỗi vô hạn và các hàm giải tích.

Các lý thuyết này thường được khám phá trong trường số thực và số phức. Giải tích phát triển từ vi tích phân và mở rộng ra các khái niệm và kỹ thuật cơ bản. Mặc dù giải tích và hình học là hai lĩnh vực riêng biệt, nhưng giải tích có thể áp dụng cho bất kỳ không gian nào với định nghĩa lân cận (không gian tôpô) hoặc khoảng cách cụ thể giữa các đối tượng (không gian metric).

Quá trình phát triển

Giải tích toán học chính thức được phát triển vào thế kỷ 17 trong cuộc Cách mạng khoa học, nhưng nhiều ý tưởng đã xuất hiện trước đó. Các khái niệm liên quan đến giải tích đã được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại, chẳng hạn như chuỗi vô hạn trong nghịch lý phân đôi của Zeno, điều này cho thấy sự phủ định của vô hạn trong chuỗi phép tính. Các nhà toán học Hy Lạp như Eudoxus và Archimedes đã sử dụng khái niệm giới hạn và hội tụ, tuy không chính thức, khi áp dụng phương pháp vét kiệt để tính diện tích và thể tích. Sự sử dụng rõ ràng các số ít vô cực xuất hiện trong công trình của Archimedes được phát hiện lại vào thế kỷ 20. Ở châu Á, nhà toán học Trung Quốc Lưu Huy đã sử dụng phương pháp vét kiệt vào thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên để tính diện tích hình tròn, còn Tổ Xung Chi đã phát triển nguyên lý Cavalieri để tìm thể tích của hình cầu vào thế kỷ thứ 5. Vào thế kỷ 12, nhà toán học Ấn Độ Bhāskara II đã đưa ra ví dụ về đạo hàm và sử dụng định lý mà hôm nay được gọi là định lý Rolle.

Vào thế kỷ 14, Madhava của Sangamagrama đã phát triển các chuỗi vô hạn mở rộng, giống như chuỗi lũy thừa và chuỗi Taylor, cho các hàm như sin, cosin, tan và arctan. Ông cũng ước lượng sai số bằng cách cắt ngắn chuỗi và đưa ra giá trị xấp xỉ hợp lý cho chuỗi vô hạn. Các học trò của ông ở Trường phái Thiên văn và Toán học Kerala đã mở rộng công trình của ông cho đến thế kỷ 16.

Các nền tảng hiện đại của giải tích toán học đã được thiết lập ở châu Âu vào thế kỷ 17. Descartes và Fermat phát triển hình học giải tích một cách độc lập, sau đó Newton và Leibniz độc lập phát triển vi tích phân. Vi tích phân sau đó được phát triển thêm với các ứng dụng kéo dài đến thế kỷ 18, bao gồm tính toán các biến phân, phương trình vi phân và giải tích Fourier. Trong thời kỳ này, các kỹ thuật giải tích được áp dụng cho các bài toán rời rạc thông qua việc thay thế gần đúng bằng các bài toán với các hàm liên tục.