Toán học

Toán học hay còn được gọi là toán (Tiếng Anh: mathematics hoặc Math) là ngành nghiên cứu về những vấn đề trừu tượng như: số lượng (các số), cấu trúc (tập hợp, phép toán, nhóm, vòng, ...), không gian (hình học, hệ tọa độ, vector, ...), khả năng (xác suất, biến ngẫu nhiên, ...) và sự thay đổi (hàm số, giới hạn, đạo hàm, vi phân, tích phân, ...). Các nhà toán học và triết gia có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học.

Các nhà toán học tìm kiếm các mô hình và sử dụng chúng để phát triển những giả thuyết mới. Họ phân tích tính chính xác hoặc không chính xác của các giả thuyết bằng cách sử dụng chứng minh toán học. Khi những cấu trúc toán học phản ánh tốt hiện thực, suy luận toán học có thể mang đến sự hiểu biết sâu sắc hoặc những dự đoán về tự nhiên. Thông qua việc sử dụng phương pháp trừu tượng và logic, toán học đã phát triển từ việc đếm, tính toán, đo lường đến việc nghiên cứu hệ thống hóa các hình thái và phương thức di chuyển của các đối tượng vật lý. Con người đã áp dụng toán học trong cuộc sống từ xa xưa. Việc tìm giải pháp cho các vấn đề toán học có thể mất nhiều năm, thậm chí hàng thế kỷ.

Lập luận chặt chẽ đã xuất hiện đầu tiên trong nền toán học cổ Hy Lạp, đặc biệt là trong tác phẩm Nguyên Lý của Euclid. Từ những công trình tiên phong của Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943), và các nhà toán học khác trong thế kỷ 19 về hệ thống tiền đề, nghiên cứu toán học đã trở thành việc thiết lập sự chân thực thông qua suy luận logic từ các tiền đề và định nghĩa phù hợp. Toán học phát triển khá chậm cho đến thời kỳ Phục hưng, khi sự tương tác giữa những phát minh toán học và các khám phá khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng trong các phát minh toán học, và điều này vẫn tiếp tục đến ngày nay.

Toán học đóng vai trò quan trọng trên toàn cầu trong nhiều lĩnh vực như khoa học, kỹ thuật, y học và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh của toán học liên quan đến việc áp dụng kiến thức toán học vào các lĩnh vực khác, khuyến khích và sử dụng những đổi mới toán học mới, từ đó đã dẫn đến sự phát triển của các ngành toán học hoàn toàn mới như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay còn gọi là toán học vị toán học. Không có ranh giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tế thường được phát hiện từ những gì ban đầu được coi là toán học thuần túy.

Lịch sử

Từ 'mathematics' trong tiếng Anh bắt nguồn từ μάθημα (máthēma) trong tiếng Hy Lạp cổ, có nghĩa là 'thứ học được', 'những gì cần biết', và cũng có nghĩa là 'học' và 'khoa học'; trong tiếng Hy Lạp hiện đại, nó chỉ đơn giản là 'bài học.' Từ máthēma xuất phát từ μανθάνω (manthano), từ tương đương trong tiếng Hy Lạp hiện đại là μαθαίνω (mathaino), cả hai đều có nghĩa là 'học.' Trong tiếng Việt, 'toán' có nghĩa là tính; 'toán học' là môn học về số. Trong các ngôn ngữ sử dụng từ Hán, môn học này còn được gọi là số học.

Sự phát triển của toán học có thể thấy qua sự gia tăng liên tục của những khái niệm trừu tượng và sự mở rộng của phạm vi của ngành này. Những khái niệm trừu tượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được, có thể là về các con số, khi nhận thức rằng, ví dụ, một nhóm hai quả táo và một nhóm hai quả cam có điểm chung nào đó, đó là số lượng quả trong mỗi nhóm.

Các bằng chứng khảo cổ học cho thấy rằng, ngoài việc biết đếm các vật thể vật lý, con người thời tiền sử có thể đã biết đếm các khái niệm trừu tượng như thời gian - ngày, mùa và năm.

Vào khoảng năm 3000 trước Công nguyên, toán học phức tạp hơn bắt đầu xuất hiện khi người Babylon và người Ai Cập sử dụng số học, đại số và hình học trong việc tính thuế, tài chính, xây dựng và quan sát thiên văn. Toán học được áp dụng sớm nhất trong thương mại, đo đạc đất đai, hội họa, dệt và ghi nhớ thời gian.

Các phép tính số học cơ bản của toán học Babylon (cộng, trừ, nhân và chia) đã xuất hiện từ lâu trong các tài liệu khảo cổ. Từ năm 600 đến 300 trước Công nguyên, người Hy Lạp cổ bắt đầu nghiên cứu toán học một cách có hệ thống, hình thành nên toán học Hy Lạp. Từ đó, toán học đã phát triển mạnh mẽ; sự tương tác giữa toán học và khoa học đã mang lại nhiều thành tựu và lợi ích cho cả hai lĩnh vực. Ngày nay, những đổi mới toán học tiếp tục ra đời, làm cho toán học ngày càng phong phú hơn.

Cảm hứng, ứng dụng thuần túy và vẻ đẹp

Toán học xuất hiện từ nhiều loại vấn đề khác nhau. Đầu tiên là các vấn đề thương mại, đo đạc đất đai, kiến trúc, và sau này là thiên văn học; ngày nay, mọi ngành khoa học đều đưa ra các vấn đề để các nhà toán học nghiên cứu, cùng với những bài toán tự nảy sinh từ chính ngành toán học. Ví dụ, nhà vật lý Richard Feynman đã phát minh lộ trình tích phân đường cho cơ học lượng tử bằng cách kết hợp suy luận toán học với hiểu biết sâu sắc về mặt vật lý, và lý thuyết dây - một lý thuyết khoa học vẫn đang phát triển với mục tiêu thống nhất hóa tất cả các tương tác cơ bản trong tự nhiên - tiếp tục là nguồn cảm hứng cho những lý thuyết toán học mới. Một số lý thuyết toán học chỉ có ích trong lĩnh vực đã tạo ra chúng, nhưng thường thì toán học sinh ra trong một lĩnh vực có thể hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác và đóng góp vào bộ sưu tập các khái niệm toán học.

Các nhà toán học phân biệt hai loại toán học là toán học thuần túy và toán học ứng dụng. Tuy nhiên, nhiều chủ đề toán học thuần túy lại có thể tìm thấy ứng dụng, ví dụ như lý thuyết số trong mật mã học. Việc ngay cả những phần toán học 'thuần túy nhất' lại có ứng dụng thực tế là điều mà Eugene Wigner đã gọi là 'hiệu quả đến mức khó tin của toán học'. Như trong hầu hết các ngành học thuật, sự phát triển tri thức trong thời kỳ khoa học đã dẫn đến sự chuyên môn hóa: hiện nay có hàng trăm lĩnh vực toán học chuyên biệt và bảng phân loại các chủ đề toán học dài tới 46 trang. Một số lĩnh vực toán học ứng dụng đã trở thành những ngành độc lập, bao gồm xác suất, vận trù học và khoa học máy tính.

Những người yêu thích ngành toán thường cảm nhận được vẻ đẹp đặc biệt của nó. Nhiều nhà toán học nhấn mạnh về 'tinh tế' của toán học, tính thẩm mỹ nội tại và vẻ đẹp bên trong của nó. Họ đánh giá cao sự đơn giản và tính tổng quát. Vẻ đẹp của nó nằm ẩn trong những chứng minh toán học đơn giản và gọn nhẹ, ví dụ như chứng minh vô hạn số số nguyên tố của Euclid, và trong các phương pháp số giúp tăng tốc các phép tính, như phép biến đổi Fourier nhanh. Trong cuốn sách Lời biện hộ của một nhà toán học (A Mathematician's Apology) của mình, G. H. Hardy cho rằng những lý do về mặt thẩm mỹ này là đủ để biện minh cho việc nghiên cứu toán học thuần túy. Ông nhận thấy rằng những tiêu chuẩn sau đây đóng góp vào vẻ đẹp của toán học: tính quan trọng, tính không lường trước, tính không thể tránh được và sự ngắn gọn. Sự phổ biến của toán học trong mục đích giải trí là một dấu hiệu khác cho thấy nhiều người tìm thấy niềm vui khi giải các bài toán...

Các biểu tượng, ngôn ngữ, và tính chặt chẽ

Hầu hết các ký hiệu toán học hiện đại được sử dụng ngày nay chỉ mới được phát minh từ thế kỷ 16. Trước đây, toán học thường được viết bằng chữ, điều này đã làm chậm quá trình phát triển của nó. Euler (1707–1783) đã đóng góp rất nhiều vào việc tạo ra những ký hiệu quan trọng này. Các ký hiệu hiện đại đã làm cho toán học trở nên dễ dàng hơn đối với những chuyên gia, nhưng đối với những người mới học toán thì có thể cảm thấy rất khó khăn. Những biểu tượng này vô cùng ngắn gọn nhưng lại chứa đựng rất nhiều thông tin, giống như ký hiệu âm nhạc. Cú pháp của ký hiệu toán học hiện đại rất chặt chẽ và bao quát.

Ngôn ngữ toán học có thể gây khó khăn cho những người mới bắt đầu. Những từ như hoặc và chỉ có ý nghĩa chính xác hơn so với trong ngôn ngữ hàng ngày. Ngoài ra, những thuật ngữ như mở và trường đã được định nghĩa riêng trong toán học. Các thuật ngữ kỹ thuật như phép đồng phôi và khả tích mang ý nghĩa cụ thể trong lĩnh vực này. Ngoài ra, những cụm từ như nếu và chỉ nếu cũng được sử dụng trong ngôn ngữ chuyên môn toán học. Điều này là cần thiết vì toán học yêu cầu sự chính xác cao hơn so với ngôn ngữ thông thường. Các nhà toán học gọi tính chính xác này của ngôn ngữ và logic là 'tính chặt chẽ.'

Các lĩnh vực toán học

Trước thời kỳ Phục Hưng, toán học chỉ được chia thành hai lĩnh vực chính là số học - nghiên cứu về các phép tính số và hình học - nghiên cứu về các hình dạng. Ngay cả những lĩnh vực như thần số học và thiên văn học cũng chưa được phân biệt rõ ràng với toán học.

Trong thời kỳ Phục Hưng, xuất hiện hai lĩnh vực mới. Các ký hiệu toán học đã thúc đẩy sự phát triển của đại số, nơi mà nghiên cứu tập trung vào các công thức. Giải tích, với việc nghiên cứu về giới hạn và tích phân, tập trung vào các hàm liên tục và sự biến đổi của chúng theo các biến số cho trước. Một số lĩnh vực như cơ học thiên thể hoặc cơ học vật rắn đã được nghiên cứu bởi toán học, nhưng hiện nay lại là những phân ngành chính của vật lý học. Tổ hợp cũng được nghiên cứu nhiều trong lịch sử, nhưng chỉ trở thành một lĩnh vực độc lập từ thế kỷ XVII.

Cuối thế kỷ XIX, các nghiên cứu triết học về nguồn gốc của toán học và kết quả của sự hệ thống hóa các tiên đề đã dẫn đến sự ra đời của nhiều ngành toán học mới. Phân loại các lĩnh vực toán học (Mathematics Subject Classification - MSC) năm 2020 cho thấy có ít nhất sáu mươi ba lĩnh vực toán học độc lập, trong đó một số chỉ xuất hiện từ thế kỷ XX như logic toán học và nguồn gốc của toán học.

Nền tảng và triết học

Để làm sáng tỏ nền tảng của toán học, các lĩnh vực logic toán học và lý thuyết tập hợp đã được phát triển. Logic toán học nghiên cứu về logic và ứng dụng của logic trong các lĩnh vực toán học khác. Lý thuyết tập hợp là một nhánh toán học nghiên cứu về các tập hợp hay các tập hợp các đối tượng. Lý thuyết phạm trù, liên quan đến việc xử lý các cấu trúc và mối quan hệ giữa chúng bằng phương pháp trừu tượng, vẫn đang tiếp tục phát triển. Thuật ngữ 'khủng hoảng nền tảng' ám chỉ quá trình tìm kiếm một nền tảng toán học chặt chẽ từ khoảng năm 1900 đến 1930. Mâu thuẫn về nền tảng toán học vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay, trong đó có tranh luận về lý thuyết tập hợp của Cantor và cuộc tranh luận giữa Brouwer và Hilbert.

Khoa học máy tính lý thuyết bao gồm các lĩnh vực như lý thuyết khả tính, lý thuyết độ phức tạp tính toán, và lý thuyết thông tin. Lý thuyết khả tính nghiên cứu các giới hạn của các mô hình lý thuyết máy tính khác nhau, bao gồm cả mô hình máy Turing nổi tiếng. Lý thuyết độ phức tạp tập trung vào khả năng giải quyết bài toán bằng máy tính; một số bài toán, mặc dù trong lý thuyết có thể giải quyết được, nhưng về thực tế lại yêu cầu quá nhiều thời gian hoặc không gian tính toán, làm cho việc tìm lời giải gần như không thể, ngay cả với sự tiến bộ nhanh chóng của phần cứng máy tính. Một ví dụ là câu hỏi nổi tiếng 'P = NP?'.

$p\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->q$
Logic toán học	Lý thuyết tập hợp	Lý thuyết phạm trù	Lý thuyết tính toán

Toán học thuần túy

Số lượng

Nghiên cứu về số lượng bắt đầu từ các con số, đặc biệt là số tự nhiên và số nguyên và các phép biến đổi số, nổi bật trong lĩnh vực số học. Các tính chất sâu hơn về số nguyên được khám phá trong lý thuyết số, bao gồm định lý Fermat lớn. Trong lý thuyết số, giả thiết về số nguyên tố sinh đôi và giả thiết Goldbach là hai bài toán chưa có lời giải.

Khi hệ thống số học được phát triển, các số nguyên được coi là một tập con của các số hữu hạn. Các số này lại được bao gồm trong số thực, mà lại là để biểu diễn những đại lượng liên tục. Số thực đã được tổng quát hóa thành số phức. Đây là những bước đầu tiên trong việc phân loại các số, sau đó là các quaternion (mở rộng của số phức) và octonion. Sự nghiên cứu về các số tự nhiên cũng đã dẫn đến các số vô hạn, từ đó đã hình thành khái niệm 'vô hạn'. Một lĩnh vực nghiên cứu khác là kích cỡ, với sự ra đời của số đếm và khái niệm về vô hạn khác: số aleph, cho phép so sánh kích cỡ của các tập hợp lớn vô hạn.

$0,1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$	$0,1,-<!--\; -\; -->1,2,-<!--\; -\; -->2,3,-<!--\; -\; -->3,\dots <!--\; \dots \; -->$	$-<!--\; -\; -->2,\frac{1}{4},0.37,\dots <!--\; \dots \; -->$	$-<!--\; -\; -->e,\sqrt{2},3,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\dots <!--\; \dots \; -->$	$-<!--\; -\; -->1,i,$$2+3i,2e^{i\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}},\dots <!--\; \dots \; -->$	${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0.{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1,{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},\dots <!--\; \dots \; -->$
Số tự nhiên	Số ***yên	Số hữu tỉ	Số thực	Số phức	Số vô hạn

Cấu trúc

Nhiều đối tượng toán học như các tập hợp số và các hàm số, thể hiện cấu trúc bên trong từ những phép biến đổi toán học hay các mối quan hệ được định nghĩa trên tập hợp. Toán học nghiên cứu tính chất của các tập hợp có thể được mô tả dưới dạng các cấu trúc này; ví dụ như lý thuyết số nghiên cứu tính chất của các tập hợp số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng các phép biến đổi số học. Ngoài ra, các tập hợp có cấu trúc khác nhau thường thể hiện những tính chất tương tự nhau, điều này cho phép xây dựng các tiên đề cho một lớp cấu trúc, và sau đó nghiên cứu toàn bộ lớp cấu trúc này dựa trên các tiên đề đó. Do đó, ta có thể nghiên cứu về nhóm, vòng, trường và các hệ phức tạp khác; các nghiên cứu như vậy (về các cấu trúc được định nghĩa bởi các phép biến đổi đại số) tạo nên lĩnh vực đại số trừu tượng. Với mức độ tổng quát cao, đại số trừu tượng thường có thể được áp dụng vào những bài toán có vẻ như không liên quan gì nhau.

Toán học tổ hợp	Lý thuyết số	Lý thuyết nhóm	Lý thuyết đồ thị	Lý thuyết trật tự	Đại số

Không gian

Nghiên cứu về không gian bắt đầu từ hình học Euid. Hình học lượng giác là một lĩnh vực toán học nghiên cứu về mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác, kết hợp cả không gian và các con số, bao gồm cả định lý Pythagore nổi tiếng. Các phương pháp hiện đại trong không gian tổng quát hóa những ý tưởng này để bao gồm hình học đa chiều hơn, hình học phi Euid (quản lý quan trọng trong lý thuyết tương đối tổng quát) và hình học điểm. Cả lượng và không gian đều đóng vai trò trong hình học giải tích, hình học vi phân và hình học đại số. Hình học lồi và hình học rời rạc đã được phát triển để giải các vấn đề trong lý thuyết số và giải tích phiếm hàm, và hiện nay đang được nghiên cứu để ứng dụng vào tối ưu hóa và khoa học máy tính. Trong hình học vi phân, các khái niệm như bó sợi và vi tích phân trên các đa tạp, đặc biệt là vi tích phân vectơ và vi tích phân tensor. Hình học đại số mô tả các đối tượng hình học như lời giải bao gồm các tập hợp phương trình đa thức, cùng với các khái niệm về lượng và không gian, cũng như nghiên cứu về các nhóm tô pô kết hợp cấu trúc và không gian. Các nhóm Lie được sử dụng để nghiên cứu không gian, cấu trúc và các biến đổi. Tô pô trong tất cả các khía cạnh có thể là một lĩnh vực phát triển lớn nhất của toán học thế kỷ 20; nó bao gồm tô pô tập hợp điểm, tô pô lý thuyết tập hợp, tô pô đại số và tô pô vi phân. Các chủ đề hiện đại của tô pô bao gồm lý thuyết không gian mêtric hóa, lý thuyết tập hợp tiên đề, lý thuyết đồng luân và lý thuyết Morse. Tô pô cũng bao gồm giả thuyết Poincaré đã được giải và giả thuyết Hodge vẫn chưa được giải.

Sự biến đổi

Hiểu và miêu tả sự biến đổi là một chủ đề phổ biến trong các ngành khoa học tự nhiên. Vi tích phân đã được phát triển như một công cụ hiệu quả để nghiên cứu sự thay đổi này. Hàm số ra đời như một khái niệm trung tâm mô tả một đại lượng đang biến đổi. Nghiên cứu cặn kẽ về các số thực và hàm số của biến thực được gọi là giải tích thực, và với số phức là giải tích phức. Giải tích phiếm hàm tập trung vào các không gian thường là vô hạn chiều của hàm số. Một trong các ứng dụng của giải tích phiếm hàm là trong cơ học lượng tử (ví dụ như lý thuyết mật độ của phiếm hàm). Nhiều bài toán tự nhiên dẫn đến các mối quan hệ giữa lượng và tốc độ biến đổi, được nghiên cứu dưới dạng các phương trình vi phân. Nhiều hiện tượng trong tự nhiên có thể được mô tả bằng các hệ thống động lực; lý thuyết hỗn độn nghiên cứu cách thức các hệ thống động lực này thể hiện những hành vi không thể dự đoán trước nhưng vẫn có tính chắc chắn.

Toán học ứng dụng

Toán học ứng dụng tập trung vào các phương pháp toán học thường được áp dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh doanh và công nghiệp. Thuật ngữ 'toán học ứng dụng' chỉ đơn giản là một lĩnh vực toán học với các kiến thức cụ thể. Nó cũng đề cập đến lĩnh vực chuyên nghiệp, nơi mà các nhà toán học giải quyết các bài toán thực tế. Toán học ứng dụng tập trung vào việc thiết lập, nghiên cứu và sử dụng các mô hình toán học trong khoa học, kỹ thuật và các lĩnh vực khác của toán học thực tiễn. Các ứng dụng thực tế đã thúc đẩy sự phát triển các lý thuyết toán học, rồi sau đó trở thành các đề tài nghiên cứu trong toán học thuần túy, nơi mà toán học phát triển với mục đích chính là nghiên cứu toán học về chính nó.

Thống kê và các lĩnh vực liên quan

Toán học ứng dụng có nhiều điểm chung với thống kê, đặc biệt là với lý thuyết xác suất. Các nhà thống kê, khi tham gia vào một dự án nghiên cứu, 'tạo ra dữ liệu có ý nghĩa' bằng cách sử dụng phương pháp mẫu ngẫu nhiên và thực nghiệm ngẫu nhiên; thiết kế thực nghiệm hoặc mẫu thống kê xác định phương pháp phân tích dữ liệu (trước khi dữ liệu được tạo ra). Khi xem lại dữ liệu từ các thực nghiệm và mẫu, hay khi phân tích dữ liệu từ các nghiên cứu bằng cách quan sát, các nhà thống kê 'làm nổi bật ý nghĩa của dữ liệu' sử dụng phương pháp mô phỏng và suy luận – qua việc lựa chọn mẫu và ước tính; những ước tính mẫu và dự đoán từ đó cần được kiểm chứng với dữ liệu mới.

Lý thuyết thống kê nghiên cứu các vấn đề liên quan đến quyết định, như giảm thiểu nguy cơ (tổn thất kỳ vọng) trong các hành động thống kê, ví dụ như sử dụng phương pháp thống kê để ước tính tham số, kiểm định giả thuyết và lựa chọn tham số tối ưu cho kết quả tốt nhất. Trong các lĩnh vực truyền thống của thống kê toán học, bài toán quyết định-thống kê được xây dựng bằng cách tối thiểu hóa một hàm mục tiêu (objective function), như chi phí hay sự mất mát kỳ vọng, dưới điều kiện nhất định. Với việc áp dụng lý thuyết tối ưu hóa, lý thuyết toán học về thống kê có chung quan tâm với các ngành khoa học khác nghiên cứu về quyết định, như vận trù học, lý thuyết điều khiển và kinh tế học toán.

Toán học tính toán

Toán học tính toán giới thiệu và nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán toán học mà con người thường không thể giải bằng phương pháp số học. Giải tích số nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán trong giải tích sử dụng giải tích phiếm hàm và lý thuyết xấp xỉ; giải tích số bao gồm việc nghiên cứu xấp xỉ và rời rạc hóa theo nghĩa rộng, với sự quan tâm đặc biệt đến sai số làm tròn. Giải tích số và mở rộng ra tính toán khoa học cũng nghiên cứu các chủ đề phi giải tích như khoa học toán học, đặc biệt là thuật toán ma trận và lý thuyết đồ thị. Các lĩnh vực khác của toán học tính toán bao gồm đại số máy tính và tính toán biểu tượng.

Giải thưởng toán học và những bài toán chưa được giải quyết

Có thể nói giải thưởng toán học danh giá nhất là Huy chương Fields, được thiết lập từ năm 1936 và được trao từ 2 đến 4 lần mỗi 4 năm cho các nhà toán học dưới 40 tuổi. Huy chương Fields thường được xem như tương đương với Giải Nobel trong các lĩnh vực khác (Giải Nobel không trao giải cho lĩnh vực toán học). Một số giải thưởng quốc tế quan trọng khác bao gồm Giải Wolf về Toán học (thiết lập từ năm 1978) để ghi nhận các đóng góp suốt đời; Giải Abel (thiết lập từ năm 2003) dành cho những nhà toán học xuất sắc; và Huy chương Chern (thiết lập từ năm 2010) để ghi nhận thành tựu trọn đời.

Năm 1900, nhà toán học người Đức David Hilbert biên soạn một danh sách gồm 23 bài toán chưa có lời giải (còn được gọi là Các bài toán của Hilbert). Danh sách này rất nổi tiếng trong cộng đồng các nhà toán học, và ngày nay đã có ít nhất chín bài được giải. Một danh sách mới gồm bảy bài toán quan trọng, được gọi là 'Các bài toán của giải thiên niên kỷ' (Millennium Prize Problems), đã được công bố vào năm 2000, và ai giải được một trong số này sẽ nhận được giải thưởng một triệu đô-la. Chỉ có một bài toán từ danh sách của Hilbert (cụ thể là giả thuyết Riemann) trong danh sách mới này. Hiện nay, một trong bảy bài toán này (giả thuyết Poincaré) đã có lời giải.

Mối quan hệ giữa toán học và khoa học

Gauss coi toán học là 'hoàng tử của các ngành khoa học'. Trong cụm từ La-tinh Regina Scientiarum và cụm từ tiếng Đức Königin der Wissenschaften (cả hai đều có nghĩa là 'nữ hoàng của các ngành khoa học'), từ 'khoa học' có nghĩa là 'lĩnh vực tri thức,' và đây cũng là nguyên gốc của từ science (khoa học) trong tiếng Anh; do đó, toán học là một lĩnh vực tri thức. Sự chuyên biệt này hạn chế ý nghĩa của 'khoa học' thành 'khoa học tự nhiên' theo phương pháp luận của Bacon, ngược lại với phương pháp của Aristotle, làm nổi bật lý thuyết này từ những lý thuyết cơ bản. So với các ngành khoa học tự nhiên như sinh học hay vật lý, thực nghiệm và quan sát thực tế không có nhiều ảnh hưởng trong toán học. Albert Einstein từng nói rằng 'khi các định luật toán học còn phù hợp với thực tế, chúng không chắc chắn; và khi chúng chắc chắn, chúng không còn phù hợp với thực tế.' Mới đây hơn, Marcus du Sautoy đã mô tả toán học là 'nữ hoàng của các ngành khoa học;... động lực thúc đẩy chính đằng sau những phát kiến khoa học.'

Nhiều triết gia cho rằng, trong toán học, tính có thể chứng minh (falsifiability) không thể được thực hiện bằng phương pháp thực nghiệm, do đó toán học không phải là một ngành khoa học theo định nghĩa của Karl Popper. Tuy nhiên, trong những năm 1930, các định lý về tính không đầy đủ (incompleteness theorems) của Gödel đã gợi ý rằng toán học không thể bị giới hạn bởi logic mà thôi, và Karl Popper kết luận rằng 'hầu hết các lý thuyết toán học, giống như lý thuyết vật lý và sinh học, đều mang tính giả thuyết-suy diễn: do đó, toán học thuần túy trở nên gần gũi hơn với các ngành khoa học tự nhiên nơi giả định thường được sử dụng để suy đoán hơn so với mức mà người ta nghĩ.'

Một quan điểm khác cho rằng một số lĩnh vực khoa học cụ thể (như vật lý lý thuyết) được coi là toán học với các giả định được xây dựng để kết nối với thực tại. Thực sự, nhà vật lý lý thuyết J. M. Ziman đã cho rằng khoa học là 'tri thức tổng hợp' bao gồm cả toán học. Dù vậy, toán học có nhiều điểm chung với nhiều lĩnh vực trong ngành khoa học vật lý, đặc biệt là khảo sát hệ quả logic của các giả định. Trực giác và thực nghiệm cũng đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các giả thuyết toán học và trong các ngành khoa học khác. Toán học thực nghiệm ngày càng được chú ý nhiều hơn trong ngành toán học và vai trò của tính toán và mô phỏng ngày càng lớn trong khoa học và toán học.

Ý kiến của các nhà toán học về vấn đề này không nhất quán. Một số cho rằng việc gọi toán học là khoa học làm giảm giá trị của khía cạnh thẩm mỹ của nó và lịch sử phát triển của nó trong bảy môn tự do; trong khi đó, một số khác cho rằng việc bỏ qua mối quan hệ giữa toán học và các ngành khoa học là lờ đi thực tế về tương tác giữa toán học và ứng dụng của nó trong khoa học và kỹ thuật đã là động lực chính cho sự phát triển của toán học. Sự khác biệt quan điểm này thể hiện rõ trong cuộc tranh luận triết học về tính 'sáng tạo' (như nghệ thuật) hay 'khám phá' (như khoa học) trong toán học. Các trường đại học thường có khoa 'khoa học và toán học' hoặc chuyên ngành tương tự, ngụ ý rằng khoa học và toán học gần gũi nhau nhưng không hoàn toàn giống nhau.