Toán tử Laplace

Trong toán học và vật lý, toán tử Laplace hay còn gọi là Laplacian, ký hiệu là $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$  hoặc ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2$  được đặt theo tên của Pierre-Simon de Laplace. Đây là một toán tử vi phân quan trọng, đặc biệt trong các toán tử elliptic, và có nhiều ứng dụng. Trong vật lý, nó xuất hiện trong mô tả các hiện tượng như truyền sóng, truyền nhiệt và được dùng trong phương trình Helmholtz. Toán tử này cũng đóng vai trò quan trọng trong tĩnh điện và cơ học chất lưu, và là thành phần chủ yếu trong các phương trình Laplace và Poisson. Trong cơ học lượng tử, nó thể hiện động năng trong phương trình Schrödinger. Trong toán học, hàm số mà toán tử Laplace áp dụng cho ra giá trị bằng không được gọi là hàm điều hòa, và nó là trung tâm của lý thuyết Hodge cũng như các kết quả của de Rham cohomology.

Định nghĩa

Toán tử Laplace là một toán tử vi phân bậc 2 trong không gian Euclid n-chiều, được định nghĩa bằng div ($\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->$) của gradient ($\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f$). Vì vậy, nếu f là một hàm số thực có đạo hàm bậc 2, thì Laplacian của f được định nghĩa bởi

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}f=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f,$   (1)

Nói cách khác, Laplacian của f chính là tổng hợp các đạo hàm riêng bậc 2 thuần túy trong hệ tọa độ Descartes $x_i$:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i^2}.$   (2)

Biểu diễn trong các hệ tọa độ khác

Trong không gian hai chiều

Toán tử Laplace trong không gian hai chiều có dạng như sau

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}$

với x và y là các tọa độ Descartes trong mặt phẳng xy.

Trong hệ tọa độ cực

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left(r\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}.$

Trong không gian ba chiều

Trong không gian ba chiều, toán tử Laplace có thể được biểu diễn dưới nhiều hệ tọa độ khác nhau.

Trong tọa độ Descartes,

Trong tọa độ trụ,

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f=\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\right)+\frac{1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2}$

∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {displaystyle Delta f={1 over ho }{partial over partial ho }left( ho {partial f over partial ho } ight)+{1 over ho ^{2}}{partial ^{2}f over partial heta ^{2}}+{partial ^{2}f over partial z^{2}}.}

Trong tọa độ cầu:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f=\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left(r^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\right)+\frac{1}{r^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\left(\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2}.$

($\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$ là góc đo từ cực Bắc và $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$ là kinh độ). Biểu thức $\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left(r^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\right)$ có thể được thay bằng biểu thức tương đương $\frac{1}{r}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{f}$

Trong tọa độ hình chóp:

mà ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{S^{N-<!--\; -\; -->1}}$ là toán tử Laplace–Beltrami trên mặt cầu trong không gian $N-<!--\; -\; -->1$ (còn được gọi là Laplacian trên mặt cầu). Người ta cũng có thể viết một cách tương đương như là

Các hằng đẳng thức

• Nếu f và g là hai hàm số, thì Laplacian của tích fg sẽ được tính như sau

Khi f là một hàm chỉ phụ thuộc vào bán kính $f\left(r\right)$ và g là một hàm cầu điều hòa $Y_{lm}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$, chúng ta thường gặp trường hợp này trong các mô hình vật lý. Gradient của $f\left(r\right)$ tạo thành vectơ hướng bán kính, trong khi gradient của hàm chỉ phụ thuộc vào góc sẽ vuông góc với vectơ bán kính, do đó

$2\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f\right(r\left)\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{Y}_{lm}\right(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\left)\right)=0.$

Hàm cầu điều hòa còn có một đặc điểm nổi bật là nó là eigenfunction của toán tử Laplacian trong hệ tọa độ cầu.

Vì vậy,

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\left(f\right(r\left)Y_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}m}\right(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\left)\right)=\left(\frac{d^{2}f\left(r\right)}{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{df\left(r\right)}{dr}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}+1)}{r^2}f\left(r\right)\right)Y_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}m}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}).$

• Feynman, R, Leighton, R, và Sands, M (1970). “Chương 12: Các tương tự tĩnh điện”. Giảng bài của Feynman về Vật lý. 2. Addison-Wesley-Longman.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
• Gilbarg, D và Trudinger, N (2001). Các phương trình vi phân elliptic bậc hai. Springer. ISBN 978-3540411604.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
• Schey, H. M. (1996). Div, grad, curl, và tất cả những điều đó. W W Norton & Company. ISBN 978-0393969979.

Liên kết ngoài

• M.A. Shubin (2001), “Toán tử Laplace”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., 'Laplacian' từ MathWorld.
• Sự suy diễn của Laplacian trong tọa độ cầu bởi Swapnil Sunil Jain