Tổng hai lập phương: Công thức và bài tập - Hằng đẳng thức số 6

Công thức Tổng hai lập phương được áp dụng để giải quyết các bài toán phức tạp một cách rất hiệu quả. Do đó, trong bài học này, Mytour sẽ giới thiệu công thức Tổng hai lập phương cùng ví dụ minh họa và các bài tập có đáp án giải chi tiết. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm tài liệu về bài tập hằng đẳng thức, bài tập bình phương của tổng, và bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

1. Tổng hai lập phương là gì?

Tổng hai lập phương được tính bằng tổng của hai số, sau đó nhân bình phương của mỗi số và trừ đi tích của hai số đó cộng với bình phương của số thứ hai.

2. Công thức tính tổng hai lập phương

A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

3. Bài tập về tổng hai lập phương

Bài 1: Rút gọn biểu thức

a) (x + 3)(x² - 3x + 9) - (54 + x³)

b) (x + 4)(x² - x + 7) - (x³ + 3x² + 3x + 1³) - 26

c) (a - b + 1)[a² + b² + ab - (a + 2b) + 1] - (a³ + 1)

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a) (4x - 2)³ + 8

b) a⁶ - b⁶

c) (a + b)³ + (a - b)³

Bài 3: Cho x, y, a và b sao cho x + y = a + b (1) và x² + y² = a² + b² (2)

Chứng minh rằng : x³ + y³ = a³ + b³

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì ta có đẳng thức a ³ + b ³ + c ³ = 3abc

Bài 5: Cho các biến x, y sao cho x+y =1. Tính giá trị biểu thức: B = x³ + y³ + 3xy

4. Đáp án cho bài tập về tổng hai lập phương

Bài 1 

a) (x + 3)(x ² - 3x + 9) - (54 + x ³ )

= (x+3)(x ² - 3x + 3 ² ) - (54 + x ³ )

= (x ³ + 3 ³ ) - (54 + x ³

= 3 ³ - 54

= 27 - 54 = -27

b) (x + 4)(x² - x + 7) - (x³ + 3x² + 3x + 1³) - 26

= ((x +1 ) + 3)[(x + 1)² - 3(x + 1) + 3² ] - (x +1)³ - 26

= [(x + 1)³ + 3³] - (x +1)³ - 26

= 3³ - 26 = 27 - 26

=1

c) (a - b + 1)[a² + b² + ab - (a + 2b) + 1] - (a³ + 1)

= [a+(1 - b)][a² - a(1 - b) + (1 - b)² ] - (a³ + 1)

= [a³ + (1 - b)³] - (a³ + 1)

= (1 - b)³ - 1

Bài 2 

a) (4x - 2)³ + 8 = (4x - 2)³ + 2³

= [(4x - 2) + 2][(4x - 2)² - 2(4x - 2)+ 2²]

= 4x[(4x - 2)² - 2(4x - 2)+ 4]

= 16x[(2x - 1)² - 2x +2]

b) a⁶ - b⁶

= (a²)³ - (b²)³

= (a² - b² )(a⁴ - a²b² + b⁴)

= (a - b)(a + b)(a⁴ - a²b² + b⁴)

c) (a + b)³ + (a - b)³

= [(a + b) + (a - b)][(a + b)² - (a + b)(a - b) + (a - b)²]

= 2a[(a² + 2ab + b²) - (a² - b²) + (a² - 2ab +b²)]

= 2a( a² + 3b²)

Bài 3 

Ta có:

x + y = a + b ⇒ ( x + y)² = (a + b)²

⇔ x² + 2xy + y² = a² + 2ab + b²

Mà từ (2) ta có : x² + y² = a² + b² ⇒ 2xy = 2ab ⇔ xy = ab.

Bài 4

Ta có:

a³ + b³ + c³ - 3abc

= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³ - 3abc

= (a + b)³ + c³ - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)((a + b)² - c(a + b) + c²) -3ab(a + b + c)

= (a+b+c)( a² + 2ab + b² - (ac + bc) + c² - 3ab)

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)

Vậy suy ra : a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)

Mà theo giả thuyết : a + b +c = 0

Do đó : a³ + b³ + c³ = 3abc (điều phải chứng minh)

* Chú ý: đẳng thức a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac) có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng.

Bài 5

Ta có :

x³ + y³ + 3xy

= (x + y)(x² - xy + y²) + 3xy

= 1.(x² - xy + y² ) + 3xy

= x² + 2xy + y²

= (x+y) ²

= 1