Tổng hợp lý thuyết và công thức Hình học lớp 11

1. Chương trình môn Toán hình học lớp 11

Chương 1: Phép dời hình

- Phép đồng dạng trong mặt phẳng: Chương học này yêu cầu học sinh nắm vững phép đồng dạng và phép dời hình, cùng với mối quan hệ giữa các phép này.

- Trong phép dời hình, bao gồm các phép cơ bản như phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và quay. Trong phép đồng dạng, có thêm phép vị tự. Các phép biến hình này có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.

Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

- Quan hệ song song: Đây là phần mở đầu về hình học không gian. Chương học này cung cấp cho học sinh các tính chất và định lý liên quan đến hình học không gian.

- Học sinh cũng sẽ được học cách xác định các điều kiện để xác định mặt phẳng và mở rộng kiến thức với các hình không gian như hình chóp, hình tứ diện.

- Thêm vào đó, học sinh cần nắm vững vị trí của các đường thẳng, các tính chất của hai đường thẳng song song và điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng, v.v.

Chương 3: Vector trong không gian và các quan hệ vuông góc

- Trong chương này, học sinh sẽ được tìm hiểu về vector, các vector cùng hướng, và sự đồng nhất của hai vector, cùng nhiều kiến thức liên quan.

- Bên cạnh định nghĩa các khái niệm cơ bản, học sinh còn học về điều kiện đồng phẳng, điều kiện ba vector bằng nhau, cũng như các định lý, tính chất và nhận xét liên quan.

Chương 6: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

- Các định lý về phép biến hình

- Phép tịnh tiến: Phương pháp giải và bài tập liên quan

- Phép đối xứng trục: Các phương pháp giải và dạng bài tập

- Phép đối xứng tâm: Phương pháp giải và bài tập có đáp án

- Phép quay: Phương pháp giải các dạng bài tập

- Khái niệm về phép dời hình: Các phương pháp giải bài tập và hai hình bằng nhau

- Vị tự và các phương pháp giải các bài tập có lời giải

- Phép đồng dạng và các bài tập có lời giải

Chương 7. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, các mối quan hệ song song

- Tổng quan về Hình học không gian lớp 11

- Hình chóp, hình tứ diện và các bài tập có lời giải

- Các đường thẳng song song và bài tập liên quan

- Đường thẳng và mặt phẳng song song (Lý thuyết và bài tập có lời giải)

- Hai mặt phẳng song song (lý thuyết và bài tập có lời giải). Chương VIII. Vectơ trong không gian và các quan hệ vuông góc

- Vecto trong không gian và các loại bài tập

- Lý thuyết và bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Chủ đề 36. Hai mặt phẳng vuông góc và bài tập đi kèm

2. Tóm tắt lý thuyết Hình học lớp 11

Chương 1. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

A. Phép biến hình

Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc xác định một điểm duy nhất M' cho mỗi điểm M thuộc mặt phẳng. Điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình.

Khi điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F, ta viết: M' = F(M) hoặc F(M) = M'

Để chứng minh hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta cần chỉ ra rằng với bất kỳ điểm M thuộc H, thì điểm M' = F(M) sẽ thuộc H'.

Phép biến hình mà biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

B. Phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình giữ nguyên khoảng cách giữa bất kỳ hai điểm nào.

Phép dời hình chuyển ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng mà không làm thay đổi thứ tự của chúng, chuyển một đường thẳng thành đường thẳng, một tia thành tia, một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tròn cùng bán kính, và một góc thành góc bằng nó.

Khi thực hiện liên tiếp hai phép dời hình, kết quả sẽ là một phép dời hình duy nhất.

Chương 2.

A. Tổng quan về đường thẳng và mặt phẳng

I. Giới thiệu về hình học không gian

1. Mặt phẳng

- Mặt hồ phẳng lặng như một chiếc gương, gần như hòa vào mặt phẳng của bảng

- Để thể hiện một phần của mặt phẳng, người ta thường sử dụng hình bình hành.

- Để ký hiệu mặt phẳng, người ta dùng một chữ cái đặt trong dấu ngoặc (): mặt phẳng (P) hoặc mp (P) hoặc mp (ABC) hoặc đơn giản là (P)

2. Mối quan hệ cơ bản giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng

3. Phương pháp xác định mặt phẳng

Một mặt phẳng được xác định khi biết ít nhất một trong những yếu tố sau:

1) Ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng

2) Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó

3) Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm

4) Hai đường thẳng song song với nhau

II. Các định lý cơ bản của hình học không gian

1. Các định lý cơ bản của hình học không gian

a) Định lý 1. Chỉ có một đường thẳng duy nhất đi qua hai điểm phân biệt đã cho.

b) Định lý 2. Chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng đã cho.

c) Định lý 3. Có tồn tại bốn điểm không nằm trên cùng một mặt phẳng.

d) Định lý 4. Nếu hai mặt phẳng khác nhau có một điểm chung, thì chúng sẽ có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của chúng.

e) Định lý 5. Các định lý của hình học phẳng đều áp dụng đúng trong mỗi mặt phẳng.

2. Một số định lý trong hình học không gian

a) Định lý 1: (Giao tuyến giữa hai mặt phẳng)

Khi hai mặt phẳng khác nhau có một điểm chung, chúng sẽ có một đường thẳng chung duy nhất chứa toàn bộ các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

b) Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và đi qua hai điểm phân biệt, thì tất cả các điểm của đường thẳng đó cũng nằm trong mặt phẳng đó.

B. Các đường thẳng song song

I. Mối quan hệ giữa hai đường thẳng trong không gian

Xét hai đường thẳng a và b trong không gian. Có hai trường hợp có thể xảy ra:

1) a và b không nằm chung trên bất kỳ mặt phẳng nào. Trong trường hợp này, a và b được gọi là chéo nhau.

2) a và b cùng nằm trong một mặt phẳng. Trong trường hợp này, a và b được gọi là đồng phẳng. Theo lý thuyết hình học phẳng, nếu a và b đồng phẳng, có thể xảy ra một trong ba tình huống sau:

a) a và b cắt nhau tại một điểm duy nhất

b) a và b song song: nằm trong cùng một mặt phẳng mà không có điểm chung

c) a và b trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt

3. Công thức hình học lớp 11

Định lý Menelaus: Xét đường thẳng d cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài của các cạnh) BC, CA, AB tại các điểm A', B', C' tương ứng, ta có: A'B/A'C . B'C/B'A . C'A/C'B = 1

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho điểm M và đường thẳng d, với H là hình chiếu của M lên d. Đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ M đến d. Đây là khoảng cách nhỏ nhất so với mọi điểm trên d. Nếu MH = 0 thì M nằm trên d.

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Cho điểm O và mặt phẳng P, với H là hình chiếu của O lên P. Đoạn thẳng OH gọi là khoảng cách từ O đến mặt phẳng P. Đây là khoảng cách nhỏ nhất so với mọi điểm trên P. Nếu OH = 0 thì O nằm trên P.

- Khoảng cách giữa một đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng P song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của a đến mặt phẳng P. Nếu a // P thì khoảng cách từ điểm A đến P bằng khoảng cách từ điểm B đến P.

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Nếu mặt phẳng P // mặt phẳng Q, thì khoảng cách giữa P và Q bằng khoảng cách từ một điểm trên P đến Q, cũng bằng khoảng cách từ một điểm trên Q đến P.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Khoảng cách này được xác định bởi độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau, thì khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung của a và b, ký hiệu là d(a; b), và cũng bằng khoảng cách từ a đến mặt phẳng chứa b và từ b đến mặt phẳng chứa a. (IJ là đoạn vuông góc chung của a và b).