Trung bình nhân

Trung bình nhân (trong toán học) hay Giá trị trung bình nhân (trong thống kê) là một trong ba loại trung bình của Pythagoras, bên cạnh trung bình cộng và trung bình điều hòa.

Khái niệm

Trung bình nhân của n số thực dương x₁, x₂,..., x_n > 0 được định nghĩa như sau:

$\sqrt[n]{x_1\cdot <!--\; \cdot \; -->x_2\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n}=(\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{x}_i{)}^{1/n}$

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{1/n}}

Trung bình nhân luôn nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng.

Logarit của trung bình nhân chính là trung bình cộng của các logarit.

$\ln <!--\; \; -->\left[(\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{x}_i{)}^{1/n}\right]=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\ln <!--\; \; -->x_i}{n}$

Trung bình nhân có hệ số

Trong trung bình nhân có hệ số, các giá trị x₁, x₂,..., x_n không chỉ đơn thuần được nhân với nhau (tức là lũy thừa bằng 1) mà còn được nâng lên lũy thừa theo các hệ số tương ứng và căn bậc tổng các hệ số. Cụ thể là:

Với các hệ số α₁, α₂,..., α_n > 0.

Xác định $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$.

Trung bình nhân của các giá trị x₁,..., với các hệ số α₁,..., được tính như sau:

$\sqrt[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}]{x_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{x}_2^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}}$