Tứ diện là gì? Tứ diện đều có điểm gì đặc biệt? Tìm hiểu về tính chất, công thức và bài tập liên quan.

Buzz

Nội dung bài viết

1. Tứ diện là gì?

2. Tứ diện đều là gì?

3. Các đặc điểm, cách vẽ và một số công thức liên quan đến tứ diện

3.1. Tứ diện đều có những đặc điểm sau đây

3.2. Phương pháp vẽ tứ diện đều

3.3. Công thức tính thể tích của tứ diện

4. Một số bài tập ứng dụng trong toán học

Xem thêm

Tứ diện là một khái niệm hình học cơ bản và quan trọng trong lĩnh vực khối đa diện. Để nắm rõ hơn về hình tứ diện, đặc biệt là tứ diện đều, cũng như các tính chất và bài tập ứng dụng, hãy cùng Mytour theo dõi bài viết dưới đây.

1. Tứ diện là gì?

Tứ diện là một hình khối có bốn đỉnh, được cấu thành từ 4 điểm không nằm trên cùng một mặt phẳng, ký hiệu là A, B, C, D. Mỗi đỉnh trong số này được gọi là đỉnh của tứ diện, và mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.

Ví dụ: Nếu chọn đỉnh A, mặt đáy sẽ là mặt phẳng chứa ba đỉnh còn lại, cụ thể là mặt phẳng (BCD).

Nếu có 4 điểm không nằm trên cùng một mặt phẳng, ví dụ như A, B, C, D, thì khối đa diện với các đỉnh A, B, C, D sẽ được gọi là tứ diện, ký hiệu là ABCD.

2. Tứ diện đều là gì?

Tứ diện đều là một trong năm khối đa diện đều. Đây là hình tứ diện có tất cả các mặt bên là tam giác đều.

Tóm gọn, tứ diện đều là loại tứ diện có cả bốn mặt đều là tam giác đều.

Tứ diện đều có thể được coi là hình chóp với đáy là tam giác đều và tất cả các cạnh bên cũng bằng nhau. Do đó, nếu một hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng cạnh đáy, thì đó là tứ diện đều.

3. Các đặc điểm, cách vẽ và một số công thức liên quan đến tứ diện

3.1. Tứ diện đều có những đặc điểm sau đây

- Bốn mặt của tứ diện đều là các tam giác đều có kích thước giống nhau.

- Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc nhọn đều.

- Tổng các góc tại một đỉnh bất kỳ của tứ diện là 180 độ.

- Hai cặp cạnh đối diện của tứ diện có độ dài tương đương nhau.

- Mọi mặt của tứ diện đều giống nhau về hình dạng.

- Các đường cao của tứ diện đều có chiều dài đồng đều.

- Trung tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng với tâm của tứ diện.

- Hình hộp bao quanh tứ diện là hình hộp chữ nhật.

- Các góc phẳng nhị diện tương ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện đều bằng nhau.

- Đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện tạo thành một đường thẳng đứng vuông góc với cả hai cạnh đó.

- Một tứ diện đều có ba trục đối xứng.

- Tổng các cosin của các góc phẳng nhị diện nằm trên cùng một mặt của tứ diện là 1.

3.2. Phương pháp vẽ tứ diện đều

Để giải quyết bất kỳ bài toán hình học không gian, đặc biệt là liên quan đến tứ diện đều, bước đầu tiên là vẽ hình. Việc vẽ chính xác tứ diện đều rất quan trọng để có cái nhìn tổng thể và áp dụng phương pháp giải chính xác nhất. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết để vẽ hình tứ diện đều:

Bước 1: Xem tứ diện đều như một hình chóp với đáy là tam giác đều BCD và đỉnh là A.
Bước 2: Vẽ mặt đáy của tứ diện, ví dụ như tam giác BCD.
Bước 3: Xác định trọng tâm G của tam giác BCD.
- Vẽ các đường trung trực của các cạnh đáy của tam giác BCD, chẳng hạn như đường trung tuyến BM.
- Trọng tâm G là điểm giao nhau của ba đường trung trực trong tam giác BCD.
Bước 5: Vẽ đường cao của tứ diện đều. Đường cao là đoạn thẳng từ đỉnh tứ diện vuông góc với mặt đáy. Trong tứ diện đều, đường cao đi qua trọng tâm của mặt đáy BCD, vì vậy bạn cần vẽ một đường thẳng vuông góc với mặt đáy qua trọng tâm G.
Bước 6: Xác định điểm A (đỉnh tứ diện) trên đường thẳng vừa vẽ và nối các đỉnh còn lại để hoàn thành hình tứ diện đều.

3.3. Công thức tính thể tích của tứ diện

Tứ diện đều có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt là tam giác đều. Công thức tính thể tích của nó như sau:

- Thể tích của tứ diện ABCD được tính bằng một phần ba tích của diện tích mặt đáy và chiều cao từ đỉnh tới mặt đáy tương ứng.

$V = rac{1}{3}.S_{BCD}.AH$

Công thức tính nhanh thể tích của tứ diện đều có cạnh a

Với tứ diện đều ABCD có cạnh a, vẽ AH là đường cao từ A xuống mặt đáy BCD. Điểm H thuộc mặt đáy BCD và là trung điểm của tam giác đều BCD. Do đó:

- Thể tích của một khối tứ diện đều có cạnh a là:

Chứng minh:

Xem xét tứ diện đều ABCD với cạnh a, G là trọng tâm của tam giác BCD (như hình vẽ). Chúng ta có:

$rac{a^{2}sqrt{3}}{4}$ $AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}}$ $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Thể tích của một khối tứ diện đều có cạnh a là:

$\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

4. Một số bài tập ứng dụng trong toán học

Bài tập 1: Tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD với các thông số sau:

a) Cạnh AB = 4 cm

b) Cạnh CD = 6 cm

c) Cạnh BD = 3 cm

Hướng dẫn giải chi tiết

$V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

a) Vì ABCD là một khối tứ diện đều nên tất cả các cạnh đều có độ dài giống nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm, vì vậy a = 4 (cm). Thể tích của khối tứ diện này là: V = 7,54 cm³

b) Trong tứ diện đều, các cạnh đều bằng nhau: AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm, do đó a = 6 (cm). Khi đó, thể tích của tứ diện ABCD là: V = 25,46 cm³

c) Tương tự, trong một khối tứ diện đều, các cạnh đồng đều: AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm, vậy a = 3 (cm). Thể tích của tứ diện này là: V = 3,18 cm³

Bài tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD với đáy là hình vuông và đường SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Xác định các mặt phẳng đối xứng của hình chóp này.

Hướng dẫn giải:

Chúng ta có BD vuông góc với AC và BD cũng vuông góc với SA.

Từ đây suy luận rằng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC), vì vậy (SAC) chính là mặt phẳng trung trực của BD.

Do đó, (SAC) là mặt phẳng đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng đối xứng duy nhất.

Bài tập 3: Xác định số lượng mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải:

Hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng, mỗi mặt phẳng này chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện.

Các bài tập tự giải:

Câu hỏi 1: Khối chóp tứ diện đều có cạnh a có thể tích bằng:

$\frac{a^{3}}{3}$ $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$ $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$ $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

Câu hỏi 2: Số mặt phẳng đối xứng của một hình tứ diện đều là:

A. 4 mặt phẳng

B. Sáu mặt phẳng

C. Tám mặt phẳng

D. Mười mặt phẳng

Câu hỏi số 3: $\frac{a\sqrt{21}}{6}$ $V = rac{a^{3}sqrt{3}}{6}$ $V = rac{a^{3}sqrt{3}}{8}$ $V = rac{a^{3}sqrt{3}}{12}$ $V = rac{a^{3}sqrt{3}}{24}$

Câu hỏi 4: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích là 12, và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích của khối chóp A.GBC.

A. V = 4

B. V = 5

C. V = 3

D. V = 6

Câu hỏi 5: Khi nối các trung điểm của các cạnh trong một tứ diện đều, ta sẽ được hình gì?

A. Các đỉnh của hình hai mươi mặt đều.

B. Các đỉnh của hình mười hai mặt đều.

C. Các đỉnh của hình bát diện đều.

D. Các đỉnh của hình tứ diện đều.

Câu hỏi 6: Cho tứ diện đều ABCD với cạnh a. Tính góc tạo bởi đoạn thẳng AB và CD?

Câu hỏi 7: Xét tứ diện đều ABCD với cạnh a. Kéo dài đoạn BC thêm một đoạn CE = a và kéo dài BD thêm đoạn DF = a. M là trung điểm của AB.

a. Xác định mặt cắt của tứ diện với mặt phẳng (MEF).

b. Tính diện tích của mặt cắt này theo a.

Câu hỏi 8: Xét tứ diện đều ABCD với cạnh 2a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a.

$V = rac{8a^{3}}{3}$ $V = rac{a^{3}sqrt{2}}{3}$ $V = rac{2a^{3}sqrt{2}}{3}$ $V = rac{2a^{3}}{3}$

Câu hỏi 10: Cho tứ diện đều ABCD với thể tích là 1. Xác định độ dài của các cạnh của tứ diện.

Trên đây là tổng hợp kiến thức về tứ diện đều cùng với các bài tập hỗ trợ. Hy vọng bài viết sẽ hữu ích cho các bạn và nhận được sự ủng hộ của các bạn trong các bài viết tiếp theo từ Mytour.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Tứ diện là gì và có những đặc điểm gì nổi bật?

Tứ diện là một hình khối có bốn đỉnh và được cấu thành từ bốn điểm không nằm trên cùng một mặt phẳng. Nó có các mặt là tam giác và tổng các góc tại mỗi đỉnh là 180 độ.

Tứ diện đều có những tính chất gì mà người học nên biết?

Tứ diện đều có tất cả các mặt là tam giác đều, có ba trục đối xứng và các cạnh đối diện có độ dài tương đương nhau. Tổng các cosin của các góc phẳng nhị diện trên cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

Cách vẽ tứ diện đều như thế nào để chính xác nhất?

Để vẽ tứ diện đều, đầu tiên hãy vẽ mặt đáy là tam giác đều, sau đó xác định trọng tâm của tam giác và vẽ đường cao từ đỉnh xuống mặt đáy. Kết nối các đỉnh để hoàn thiện hình tứ diện.

Làm thế nào để tính thể tích của một khối tứ diện đều?

Thể tích của tứ diện đều được tính bằng một phần ba tích của diện tích mặt đáy và chiều cao từ đỉnh tới mặt đáy. Công thức cụ thể là V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao.

Số lượng mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là bao nhiêu?

Hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng. Mỗi mặt phẳng này chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện, tạo nên các sự đối xứng thú vị.