Tứ giác nội tiếp là gì? Khám phá các tính chất và cách nhận diện tứ giác nội tiếp trong chương trình Toán lớp 9

1. Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn.

Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Trong hình vẽ, tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn (I), và (I) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

2. Đặc điểm của tứ giác nội tiếp

• Trong một tứ giác nội tiếp, tổng của hai góc đối diện luôn bằng 180°
• Nếu tổng của hai góc đối diện trong một tứ giác bằng 180°, thì tứ giác đó có thể nội tiếp một đường tròn.

3. Cách nhận diện tứ giác nội tiếp

• Tứ giác có tổng của hai góc đối diện bằng 180°
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng tạo thành một góc a với cạnh chứa hai đỉnh còn lại

* Lưu ý: Trong các hình học đã học, hình chữ nhật, hình vuông, và hình thang cân đều có thể nội tiếp một đường tròn.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với hai đường cao BB', CC'. Chứng minh rằng tứ giác BCB'C' là tứ giác nội tiếp.

Đáp án

Phương pháp 1. Chứng minh rằng bốn điểm đều cách xa một điểm cố định

Gọi O là trung điểm của đoạn BC.

Xem xét tam giác BB'C với góc ở B'C bằng 90° (theo giả thiết)

OB' là đường trung tuyến tương ứng với cạnh huyền

=> OB' = OB = OC = r (1)

Xem xét tam giác BC'C với các điều kiện sau:

góc BC'C = 90° (theo giả thiết)

Tương tự như trên, suy ra OC' = OB = OC = r (2)

Dựa vào (1) và (2), ta có B, C', B', C đều thuộc đường tròn (O, r)

Do đó, tứ giác BC'B'C là tứ giác nội tiếp đường tròn

Phương pháp 2. Một tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng tạo thành một góc bằng nhau với cạnh chứa hai đỉnh còn lại sẽ là tứ giác nội tiếp

Chúng ta có: BB' vuông góc với AC (theo giả thiết), do đó góc BB'C = 90°

CC' vuông góc với AB (theo giả thiết), dẫn đến góc BC'C = 90°

Vì vậy, B' và C' cùng nhìn thấy cạnh BC dưới một góc vuông

Do đó, B' và C' nằm trên đường tròn có đường kính BC

Tứ giác BC'B'C là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính BC

4. Bài tập liên quan đến tứ giác nội tiếp

4.1. Loại 1. Chứng minh rằng một tứ giác là tứ giác nội tiếp

Phương pháp giải: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp, có thể áp dụng các cách sau đây:

- Cách 1. Chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện trong tứ giác bằng 180°

- Cách 2. Chứng minh rằng tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng a

- Cách 3. Chứng minh rằng tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- Cách 4. Xác định một điểm mà từ đó khoảng cách đến tất cả bốn đỉnh của tứ giác là bằng nhau

Bài 1. Cho tam giác ABC với các đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng các tứ giác AMHN và BNMC là tứ giác nội tiếp.

Đáp án

Xem xét tứ giác AMHN với các điều kiện sau:

Tổng của góc AMH và góc ANH bằng 90° + 90° + 180° => Do đó, tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (điều này cần chứng minh)

Xem xét tứ giác BNMC với các điều kiện sau:

Góc BNC = góc BMC = 90° => Do đó, tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp (điều này cần chứng minh)

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm của cung AB. Nối M với D và M với C, các đoạn này cắt AB lần lượt tại E và P. Chứng minh rằng tứ giác PEDC là tứ giác nội tiếp.

Đáp án

Ta có: góc AED = 1/2 (số đo cung AD + số đo cung MB)

= 1/2 số đo cung DM = góc MCD

=> góc DEP + góc PCD = 180°

=> tứ giác PECD là tứ giác nội tiếp

Bài 3. Cho hình thang ABCD với AB // CD và AB < CD, có góc C = góc D = 60°, CD = 2AD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D đều nằm trên cùng một đường tròn

Đáp án

Gọi I là trung điểm của đoạn CD

Chúng ta có: IC = AB và IC // AB => Tứ giác ICBA là hình bình hành => Do đó, BC = AI (1)

Tương tự, AD = IB (2)

Vì ABCD là hình thang với góc C = góc D = 60°, nên ABCD là hình thang cân (3)

Dựa vào (1), (2) và (3), ta có hai tam giác ICb và IAD là đồng dạng, suy ra IA = IB = IC = ID, do đó bốn điểm A, B, C, D đều nằm trên cùng một đường tròn.

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên đường tròn, vẽ đoạn MH vuông góc với BC tại H và đoạn MI vuông góc với AC. Chứng minh rằng tứ giác MIHC là tứ giác nội tiếp.

Đáp án

Ta có: góc MIC = góc CHM = 90°

=> Tứ giác MIHC là tứ giác nội tiếp (vì hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông)

Bài 5. Cho nửa đường tròn với tâm O và đường kính AB = 2R. Tia tiếp tuyến Ax nằm cùng phía với nửa đường tròn so với AB. Từ điểm M trên Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). Đoạn AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B)

a. Chứng minh rằng các tứ giác AMCO và AMDE đều là tứ giác nội tiếp đường tròn

b. Chứng minh rằng tứ giác MBCD là tứ giác nội tiếp

Đáp án

Vì MA và MC đều là tiếp tuyến, nên góc MAO = góc MCO = 90°

Tứ giác AMCO có

Tổng của góc MAO và góc MCO = 180°

=> Tứ giác AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn với đường kính MO

Ta có: góc ABD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => góc ADM = 90° (1)

Hơn nữa, OA = OC = R

MA = MC (do tính chất của tiếp tuyến)

=> OM là đường trung trực của đoạn AC

=> góc AEM = 90° (2)

Kết hợp (1) và (2) => góc ADM = góc AEM = 90°

Tứ giác AMDE có hai đỉnh kề nhau là A và E, cùng nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi.

Do đó, tứ giác AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn với đường kính MA.

4.2. Dạng 2. Áp dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc, đoạn thẳng, đường thẳng song song hoặc đồng quy, và các tam giác đồng dạng...

Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp

Bài 1. Cho đường tròn (O) với đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC, chọn điểm E và kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đoạn DE cắt CK tại F. Chứng minh:

a. Tứ giác AKCH là một tứ giác nội tiếp.

b. Đoạn AD² = AH × AB

c. Tam giác ACE là tam giác cân

Đáp án

a. Góc AKC cộng với góc CHA bằng 180°

=> Tứ giác AKCH là một tứ giác nội tiếp (theo định lý DHNB)

b. Trong tam giác ADB vuông tại D với đường cao DH, ta có AD² = AH × AB

c. Góc EAC = góc EDC = 1/2 sđ cung EC và góc EAC = góc KHC (do tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp)

=> Góc EDC = góc KHC, từ đó DF // HK (vì H là trung điểm của DC nên K là trung điểm của FC)

=> Đã chứng minh xong

Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Đường thẳng OA cắt các đường tròn (O) và (O') lần lượt tại các điểm C và D. Đường thẳng O'A cắt các đường tròn (O) và (O') lần lượt tại các điểm E và F.

a. Chứng minh rằng ba đường thẳng AB, CE và DF cắt nhau tại một điểm I

b. Chứng minh rằng tứ giác BEIF có thể nội tiếp trong một đường tròn

Đáp án

a. Có: góc ABC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

góc ABF = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) do đó B, C, F nằm trên cùng một đường thẳng.

Các đường AB, CE và DF là ba đường cao của tam giác ACF, vì vậy chúng đồng quy tại một điểm.

b. Vì góc IEF = góc IBM = 90° => tứ giác BEIF có thể nội tiếp trong một đường tròn

Bài 3. Cho nửa đường tròn có tâm O và đường kính AB. Chọn điểm M trên đoạn OA, điểm N trên nửa đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến Ax từ A và By từ B. Đường thẳng đi qua N và vuông góc với NM cắt Ax và By lần lượt tại C và D.

a. Chứng minh rằng các tứ giác ACNM và BDNM đều nội tiếp đường tròn

b. Chứng minh rằng tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD, từ đó suy ra tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp.

Đáp án

a. Xét tứ giác ACNM có các yếu tố sau:

góc MNC = 90° (tính chất của tiếp tuyến)

=> góc MNC cộng góc MAC bằng 180° => tứ giác ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính MC.

Tương tự, tứ giác BDNM cũng nội tiếp đường tròn có đường kính MD

b. Tam giác ANB và tam giác CMD có các tính chất sau:

góc ABN = góc CDM (vì tứ giác BDNM nội tiếp)

góc BAN = góc DCM (vì tứ giác ACNM nội tiếp)

=> tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD (do góc góc)

c. Vì tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD nên góc CMD = góc ANB = 90° (góc ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

=> góc IMK = góc INK = 90° => tổng hai góc INK và IMK bằng 180°

Như vậy, tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính IK

Bài 4. Xét tam giác vuông ABC tại đỉnh A. Trên cạnh AC, chọn điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, và điểm F là ảnh đối xứng của E qua BD. Chứng minh rằng năm điểm A, B, E, D, F đều nằm trên một đường tròn và xác định tâm O của đường tròn đó

Đáp án

Vì DE vuông góc với BC nên góc DBE bằng 90°

Do E và F là ảnh đối xứng qua BD nên BD là đường trung trực của EF, từ đó ta có BF = BE và DF = DE

Trong tam giác BFD và tam giác BED, chúng ta có các cạnh tương ứng bằng nhau, vì vậy góc BFD bằng góc BED và đều bằng 90°

Gọi O là trung điểm của đoạn BD

Trong tam giác vuông ABD với góc vuông tại A, AO là đường trung tuyến nên AO = 1/2 BD, đồng thời AO = OB = OD (1)

Trong tam giác vuông BDE với góc vuông tại E, OE là đường trung tuyến nên EO = 1/2 BD, đồng thời EO = OB = OD (2)

Trong tam giác vuông BFD với góc vuông tại F, OF là đường trung tuyến nên FO = 1/2 BD, và FO = OB = OD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra rằng OA = OB = OD = OE = OF

Do đó, năm điểm A, B, E, D, và F nằm trên một đường tròn với tâm O, trong đó O là trung điểm của BC