Tương đồng biểu thức

Trong toán học, một tương đồng biểu thức, còn gọi là hằng đẳng thức, là một mối quan hệ đẳng thức A = B, trong đó A và B chứa các biến và có cùng giá trị với nhau bất kể giá trị (thường là số) được thay thế cho các biến. Nói cách khác, A = B là một tương đồng biểu thức nếu A và B có cùng định nghĩa hàm số giống nhau. Điều này có nghĩa là một tương đồng biểu thức là một đẳng thức giữa các hàm số khác nhau. Ví dụ, (a+b)= a + 2ab + b và cos(x) + sin(x) = 1 là các tương đồng biểu thức. Tương đồng biểu thức đôi khi được biểu thị bằng ký hiệu thanh ba ≡ thay vì dấu bằng =.

Tương đồng biểu thức thông thường

Tương đồng biểu thức lượng giác

Trong hình học, đây là những tương đồng biểu thức liên quan đến các hàm góc cụ thể. Chúng khác biệt với tương đồng biểu thức tam giác, là các tương đồng biểu thức liên quan đến góc và cạnh của tam giác. Chỉ có tương đồng biểu thức góc được đề cập trong bài viết này.

Những tương đồng biểu thức này rất hữu ích khi cần đơn giản hóa các biểu thức liên quan đến hàm lượng giác. Một ứng dụng quan trọng là tích phân các hàm lượng giác: một kỹ thuật phổ biến là sử dụng quy tắc thay thế bằng hàm lượng giác, sau đó đơn giản hóa tích phân với các nhận dạng hàm lượng giác.

Một ví dụ là ${\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1,$mà là đúng với mọi số phức $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$ (vì các số phức $C$ là kết quả của sin và cos), ngược lại với

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1,$

mà chỉ đúng với một số giá trị $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$, chứ không phải tất cả. Ví dụ kết quả chỉ đúng khi $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=0,$ sai khi $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=2$.

Quy tắc lũy thừa

Những quy tắc lũy thừa sau đây đúng cho tất cả các số mũ nguyên:

Phép lũy thừa không có tính chất giao hoán. Điều này khác biệt so với phép cộng và phép nhân, ví dụ như: 2 + 3 = 3 + 2 = 5 và 2 · 3 = 3 · 2 = 6, nhưng 2 = 8, trong khi 3 = 9.

Lũy thừa cũng không có tính chất kết hợp. Trong khi phép cộng và phép nhân có tính chất này, ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 và (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, nhưng 2 mũ 4 là 8 hoặc 4.096, trong khi 2 mũ 3 là 2 hoặc 2,417,851,639,229,258,349,412,352. Không có dấu ngoặc đơn để sửa đổi thứ tự tính toán, theo quy ước, thứ tự tính toán là từ trên xuống, không phải từ dưới lên:

$b^{p^q}=b^{\left(p^q\right)}\ne <!--\; \ne \; -->(b^p{)}^q=b^{(p\cdot <!--\; \cdot \; -->q)}=b^{p\cdot <!--\; \cdot \; -->q}.$