Tuyến thẳng

Tuyến thẳng là một khái niệm cơ bản không định nghĩa, dùng làm nền tảng cho các khái niệm toán học khác. Tuyến thẳng được coi là một đối tượng hình học không có bề rộng (không gian một chiều) và không cong tại mọi điểm, nhưng đây không phải là một định nghĩa.

Khái niệm cơ bản

Một tuyến thẳng được hiểu như là một đường dài (vô tận), mỏng (vô cùng) và thẳng tuyệt đối. Trong hình học Euclide, chỉ có một và duy nhất một tuyến thẳng đi qua hai điểm bất kỳ khác nhau. Tuyến thẳng này tạo ra đoạn nối ngắn nhất giữa hai điểm đó.

Hai hay ba điểm nằm trên cùng một tuyến thẳng được gọi là cộng tuyến. Trong một mặt phẳng, hai tuyến thẳng khác nhau hoặc là song song không bao giờ gặp nhau, hoặc giao nhau tại một và chỉ một điểm. Hai mặt phẳng giao nhau nhiều nhất là một tuyến thẳng.

Tuyến thẳng trong mặt phẳng Descartes có thể được mô tả bằng phương trình và hàm tuyến tính.

Khái niệm trực quan về đường thẳng có thể được hình thức hóa bằng nhiều cách. Nếu hình học được phát triển theo phương pháp tiên đề (như trong tác phẩm Các phần tử của Euclid hay Cơ sở của hình học của David Hilbert), thì đường thẳng chỉ được đặc trưng bởi các tính chất trong hệ tiên đề. 'Bất kỳ thứ gì thỏa mãn các tiên đề của đường thẳng thì đó chính là đường thẳng.'. Mặc dù Euclide định nghĩa đường thẳng là cái gì đấy 'có chiều dài mà không có bề dày', thực ra ông chưa bao giờ dùng định nghĩa mơ hồ này trong các chứng minh của mình.

Trong không gian Euclide R (và cũng như trong mọi không gian vector khác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang xét và có dạng

$L=\{a+tb\mid <!--\; \mid \; -->t\in <!--\; \in \; -->R\}$

với a và b là hai vector xác định trong R, với b phải khác 0. Vector b định hướng đường thẳng, còn a là một điểm nằm trên đường đó. Sử dụng các vector a và b khác nhau vẫn có thể xác định cùng một đường thẳng.

Trong không gian hai chiều, như trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt hoặc là song song hoặc cắt nhau tại một điểm duy nhất. Tuy nhiên, trong không gian ba chiều, hai đường thẳng có thể không song song cũng không cắt nhau, và chúng được gọi là hai đường thẳng chéo nhau.

Trong R, mọi đường thẳng đều được biểu diễn bằng một phương trình tuyến tính dạng

$L=\left\{\right(x,y)\mid <!--\; \mid \; -->ax+by=-<!--\; -\; -->c\}$

với a, b và c là các hệ số thực cố định, trong đó a và b không đồng thời bằng 0. Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều bao gồm độ dốc, giao điểm với trục Ox và giao điểm với trục Oy.

Một cách trừu tượng hơn, trục số thực thường được coi là một mô hình chuẩn mực cho đường thẳng, và mỗi điểm trên đường thẳng tương ứng một-một với một số thực trên trục số. Tuy nhiên, ta cũng có thể sử dụng số siêu thực và đường thẳng dài trong lý thuyết topo như những mô hình cho đường thẳng.

Tính chất 'thẳng' của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất giúp cực tiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm, có thể được mở rộng thành khái niệm đường trắc địa trong đa tạp khả vi.

Phương trình của đường thẳng

Trong hệ tọa độ Descartes Oxy, phương trình đường thẳng có dạng $y=ax+b$ trong đó a là hệ số góc. Hoặc tổng quát hơn là phương trình $Ax+By+C=0$.

Tia

Trong hình học Euclid, với một đường thẳng l và hai điểm A và B, một tia hoặc nửa-đường thẳng có gốc tại A và đi qua B là tập hợp các điểm C trên l, sao cho A và B đều thuộc tập hợp này và A không nằm giữa C và B. Nghĩa là, trong hình học, một tia xuất phát từ một điểm và kéo dài mãi theo một hướng.

Trong quang học, đặc biệt là quang hình, đường truyền của ánh sáng hoặc bức xạ điện từ trong môi trường đồng nhất là một đường thẳng, gọi là tia sáng hay quang tuyến. Tia này vuông góc với mặt sóng trong lý thuyết quang sóng.

• Đoạn thẳng
• Hình học affine
• Quang tuyến
• Phương trình tuyến tính
• Hàm tuyến tính
• Sự nhiễu xạ
• Không-thời gian
• Hình học phi Euclide
• Lý thuyết tương đối

Liên kết ngoài liên quan

• Đường thẳng trong Từ điển Bách khoa Việt Nam
• Weisstein, Eric W., 'Đường' từ MathWorld.