Tỷ lệ axit béo

Trong toán học và lượng giác, hàm lượng giác là các hàm toán học liên quan đến góc, thường được áp dụng khi phân tích tam giác hoặc các hiện tượng có chu kỳ. Các hàm lượng giác của một góc thường được xác định bởi tỷ lệ giữa các cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Các định nghĩa hiện đại hơn thường xem hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc nghiệm của các phương trình vi phân, cho phép hàm lượng giác có đối số là số thực hoặc số phức.

Các hàm lượng giác không thuộc loại hàm số đại số và có thể được phân loại là hàm siêu việt.

Các hàm lượng giác cơ bản

Hiện tại, chúng ta thường sử dụng sáu hàm lượng giác cơ bản, như được trình bày trong bảng dưới đây, cùng với các mối liên hệ toán học giữa các hàm này.

Trong quá khứ, một số hàm lượng giác khác cũng đã được đề cập, nhưng hiện tại ít được sử dụng hơn:

Lịch sử

Những nghiên cứu hệ thống và việc lập bảng các hàm lượng giác lần đầu tiên được thực hiện bởi Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN), người đã lập bảng độ dài của các cung tròn (tính bằng góc, A, nhân với bán kính, r) và chiều dài dây cung tương ứng (2r sin(A/2)). Sau đó, Ptolemy (thế kỷ II) đã phát triển công trình này trong tác phẩm Almagest, phát hiện công thức cộng và trừ cho sin(A + B) và cos(A + B). Ptolemy cũng đã suy ra công thức nửa-góc sin(A/2) = (1 − cos(A))/2, cho phép ông lập bảng tính với bất kỳ độ chính xác nào cần thiết. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy hiện nay đã bị mất.

Các tiến triển trong lượng giác sau đó diễn ra ở Ấn Độ, trong tác phẩm Siddhantas (khoảng thế kỷ IV–V), định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Tác phẩm Siddhantas cũng bao gồm bảng tính hàm sin cổ xưa nhất còn tồn tại (cùng với các giá trị 1 − cos), cho các góc từ 0 đến 90 độ cách nhau 3.75 độ.

Công trình Ấn Độ sau đó được dịch và mở rộng bởi các nhà học giả Ả Rập. Vào thế kỷ X, người Ả Rập đã sử dụng tất cả sáu hàm lượng giác cơ bản (như trong tác phẩm Abu'l-Wefa), với bảng tính hàm sin cho các góc cách nhau 0.25 độ, đạt độ chính xác lên đến 8 chữ số thập phân và bảng tính hàm tan.

Tên gọi sin mà chúng ta sử dụng hiện nay xuất phát từ từ Latin sinus ('vịnh' hay 'gập'), được dịch sai từ chữ Phạn jiva (hoặc jya). Jiva (hoặc ardha-jiva, 'nửa-dây cung', trong tác phẩm Aryabhatiya thế kỷ VI) được chuyển tự sang tiếng Ả Rập thành jiba (جب), nhưng bị nhầm thành từ khác, jaib (جب) ('vịnh'), bởi các dịch giả châu Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona trong tác phẩm Toledo (thế kỷ XII). Sự nhầm lẫn này có thể do jiba (جب) và jaib (جب) có cách viết giống nhau trong tiếng Ả Rập (vì hầu hết nguyên âm bị lược bỏ trong bảng chữ cái Ả Rập).

Các nghiên cứu ban đầu về hàm lượng giác chủ yếu được phát triển trong lĩnh vực thiên văn học. Có thể quyển sách đầu tiên chỉ nghiên cứu về lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của Regiomontanus (1436–1476). Tác phẩm Tabulae directionum tập trung vào hàm tang.

Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, học trò của Copernicus, là công trình đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tam giác vuông thay vì vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính cho 6 hàm lượng giác cơ bản. Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin Otho vào năm 1596.

Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung vào cách tiếp cận giải tích đối với các hàm lượng giác, định nghĩa chúng bằng các chuỗi vô tận và giới thiệu 'Công thức Euler' e = cos(x) + i sin(x). Euler đã sử dụng các ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. như ngày nay.

Định nghĩa qua tam giác vuông

Các hàm lượng giác của góc A có thể được định nghĩa bằng cách dựng một tam giác vuông với góc A. Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:

• Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất trong tam giác vuông, ký hiệu h trên hình vẽ.
• Cạnh đối là cạnh đối diện với góc A, ký hiệu a trên hình vẽ.
• Cạnh kề là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, ký hiệu b trên hình vẽ.

Theo hình học Ơclit, tổng các góc trong tam giác bằng pi radian (hoặc 180⁰). Do đó:

Định nghĩa qua vòng tròn đơn vị

Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa qua vòng tròn đơn vị, một vòng tròn với bán kính 1 và tâm trùng với hệ tọa độ. Định nghĩa qua vòng tròn đơn vị dựa trên tam giác vuông, nhưng cho phép định nghĩa cho mọi góc thực, không chỉ giới hạn trong khoảng từ 0 đến Pi/2 radian. Các góc vượt quá 2π hoặc nhỏ hơn −2π sẽ quay vòng trên đường tròn.

Sử dụng đại số

Vòng tròn đơn vị bao gồm tất cả các điểm (x, y) trên mặt phẳng mà thỏa mãn:

x + y = 1

Giả sử góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ với điểm (x,y) trên vòng tròn và trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có thể được định nghĩa như sau:

Khi góc quay quanh vòng tròn, các hàm sin, cos, sec và csc đều trở thành hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hoặc 360 độ:

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k\right)$

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k\right)$

Ở đây θ là góc bất kỳ, còn k là một số nguyên bất kỳ.

Tan và Cot có chu kỳ tuần hoàn là π radian hoặc 180 độ.

Áp dụng hình học

Hình dưới đây minh họa cách xác định các hàm lượng giác cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị với tâm tại O. Với θ là nửa cung AB:

Theo hình vẽ, dễ nhận thấy rằng sec và tang sẽ tăng vô hạn khi θ tiến gần đến π/2 (90 độ), trong khi csc và cot tăng vô hạn khi θ tiến gần đến 0. Có thể thực hiện nhiều phương pháp tương tự trên vòng tròn đơn vị để chứng minh các tính chất của hàm lượng giác bằng hình học.

Định nghĩa qua chuỗi

Sử dụng hình học và tính chất của giới hạn hàm số, ta có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos, trong khi đạo hàm của hàm cos là âm của hàm sin. Chuỗi Taylor cho phép phân tích hàm sin và cos thành chuỗi số, áp dụng cho mọi góc x dưới dạng radian thực. Từ hai hàm này, ta có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng giác khác.

Các đẳng thức dưới đây biểu diễn chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể được sử dụng như định nghĩa cho các hàm lượng giác. Chúng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, như chuỗi Fourier, vì lý thuyết chuỗi vô hạn có thể được phát triển từ hệ thống số thực, không phụ thuộc vào hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ dựa vào định nghĩa chuỗi.

Trong bảng dưới đây, chúng ta quy ước rằng:

E_n là số Euler thứ n

U_n là số lên/xuống thứ n

Trên mặt phẳng số phức

Từ định nghĩa bằng chuỗi có thể chứng minh rằng hàm sin và cos tương ứng với phần ảo và phần thực của hàm mũ với số ảo:

$e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$

Trong đó i là đơn vị ảo, tức là căn bậc hai của -1.

Phát hiện đầu tiên về mối liên hệ này là của Euler, và công thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, khi vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng số phức với các điểm z = e, mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ, các quá trình mô tả bằng hàm mũ phức có đặc tính tuần hoàn.

Công thức trên còn giúp mở rộng hàm lượng giác cho biến phức z:

$\sin <!--\; \; -->z=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}=\frac{e^{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}z}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}z}}{2\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}}=-<!--\; -\; -->\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}\sinh <!--\; \; -->\left(\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}z\right)$

$\cos <!--\; \; -->z=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{\left(2n\right)!}{z}^{2n}=\frac{e^{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}z}+e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}z}}{2}=\cosh <!--\; \; -->\left(\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}z\right)$

Khi z = x, là một số thực, công thức trở thành dạng quen thuộc.

$\cos <!--\; \; -->x=\text{Re }\left(e^{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}x}\right)$

$\sin <!--\; \; -->x=\text{Im }\left(e^{\mathrm{ı<!--\; ı\; -->}x}\right)$

Định nghĩa thông qua phương trình vi phân

Hàm sin và cos đều giải quyết được phương trình vi phân

$y{}^{″}=-<!--\; -\; -->y$

Các hàm này là hàm đối ngẫu của đạo hàm bậc hai của chính chúng.

Trong không gian vectơ hai chiều V, nơi chứa tất cả nghiệm của phương trình vi phân này, hàm sin là duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, trong khi hàm cos thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này là các hàm độc lập tuyến tính trong V và chúng tạo thành một hệ cơ sở cho V.

Trên thực tế, định nghĩa này tương đương với việc sử dụng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể chứng minh các đẳng thức lượng giác liên quan đến các hàm này.

Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến dưới đây:

$y{}^{\prime }=1+y^2$

với điều kiện biên y(0) = 0. Tham khảo tài liệu [1] Lưu trữ ngày 2004-06-02 tại Wayback Machine để xem một chứng minh cho công thức này.

Các phương trình này chỉ áp dụng khi các biến trong hàm lượng giác được tính bằng radian. Nếu sử dụng đơn vị góc khác, bạn cần nhân với một hệ số k. Ví dụ, khi x được đo bằng độ, hệ số k là:

$k=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{180}.$

Trong trường hợp đó:

$f\left(x\right)=\sin <!--\; \; -->\left(kx\right);k\ne <!--\; \ne \; -->0,k\ne <!--\; \ne \; -->1$

và đạo hàm của hàm sin cũng sẽ thay đổi theo hệ số này:

$f^{\prime }\left(x\right)=k\cos <!--\; \; -->\left(kx\right)$.

Điều này có nghĩa là hàm cần phải thỏa mãn:

$y^{″}=-<!--\; -\; -->k^{2}y$

Như ví dụ với hàm sin, điều tương tự cũng áp dụng cho các hàm lượng giác khác.

Các định nghĩa khác

Các hàm sin, cos và các hàm lượng giác khác được xây dựng từ hai hàm cơ bản này có thể được định nghĩa qua định lý dưới đây:

Miền xác định và miền giá trị

Các hàm lượng giác trên tập số thực có miền xác định và miền giá trị như được tổng hợp trong bảng dưới đây:

Phương pháp tính toán

Việc tính toán giá trị cho các hàm lượng giác có thể rất phức tạp. Ngày nay, phần lớn mọi người có thể sử dụng máy tính hoặc máy tính bỏ túi khoa học để thực hiện các phép tính này. Bài viết dưới đây sẽ trình bày về việc sử dụng bảng tính lịch sử để tra cứu giá trị của các hàm lượng giác, các kỹ thuật tính toán hiện đại trên máy tính, và một số giá trị dễ nhớ và chính xác.

Trước tiên, khi tính giá trị các hàm lượng giác, ta chỉ cần tập trung vào các góc nằm trong khoảng từ 0 đến π/2, vì giá trị của các hàm lượng giác ở các góc khác có thể được suy ra từ tính chất tuần hoàn và đối xứng của các hàm.

Trước khi máy tính được phát minh, người ta thường xác định giá trị của các hàm lượng giác bằng cách nội suy từ các bảng tính sẵn có với độ chính xác cao. Những bảng tính này thường được tạo ra bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, chẳng hạn như công thức chia đôi góc hoặc công thức cộng góc, bắt đầu từ một số giá trị chính xác (như sin(π/2)=1).

Ngày nay, các máy tính hiện đại sử dụng nhiều kỹ thuật khác nhau (Kantabutra, 1996). Một phương pháp phổ biến, đặc biệt trên các máy tính với bộ tính số thập phân, là kết hợp xấp xỉ đa thức (chẳng hạn như chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ) với các bảng tính sẵn có — đầu tiên, máy tính tra cứu giá trị từ bảng cho góc gần nhất với góc cần tính, rồi sử dụng đa thức để điều chỉnh giá trị trong bảng về mức chính xác hơn. Đối với phần cứng không có bộ số học và logic, có thể sử dụng thuật toán CORDIC (hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính toán hiệu quả hơn, vì thuật toán này chỉ cần phép toán chuyển vị và cộng. Các phương pháp này thường được tích hợp sẵn trong phần cứng máy tính để nâng cao tốc độ xử lý.

Đối với những góc đặc biệt, giá trị của các hàm lượng giác có thể dễ dàng tính toán bằng giấy và bút thông qua định lý Pythagoras. Ví dụ, giá trị của sin, cos và tang cho các góc là bội số của π/60 radian (3 độ) có thể được tính chính xác bằng phương pháp này.

Một ví dụ đơn giản là tam giác vuông đều với các góc nhọn bằng π/4 radian (45 độ). Cạnh kề b bằng với cạnh đối a và có thể chọn a = b = 1. Dùng định lý Pythagoras, ta có thể tính giá trị của sin, cos và tang cho góc π/4 radian (45 độ) như sau:

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}$

Do đó, ta có:

$\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/4\right)=\sin <!--\; \; -->\left({45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/4\right)=\cos <!--\; \; -->\left({45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/4\right)=\tan <!--\; \; -->\left({45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$

Một ví dụ khác là xác định giá trị của các hàm lượng giác tại π/3 radian (60 độ) và π/6 radian (30 độ). Bắt đầu với một tam giác đều có các cạnh bằng 1. Các góc của tam giác đều bằng π/3 radian (60 độ). Chia tam giác này thành hai tam giác vuông với góc nhọn là π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông có cạnh ngắn nhất là 1/2, cạnh huyền bằng 1 và cạnh còn lại là (√3)/2. Do đó,

$\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/6\right)=\sin <!--\; \; -->\left({30}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/3\right)=\cos <!--\; \; -->\left({60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{1}{2}$

$\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/6\right)=\cos <!--\; \; -->\left({30}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/3\right)=\sin <!--\; \; -->\left({60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos

Các hàm lượng giác ngược có thể được diễn tả qua các chuỗi vô hạn, mang lại một cách tiếp cận thú vị để tính toán chúng.

Các hàm này cũng có thể được biểu diễn thông qua những công thức sau, dựa trên việc chúng là các đạo hàm của những hàm số khác.

$\arctan <!--\; \; -->\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_0^x\frac{1}{1+z^2}dz,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->R$

Công thức này cho phép mở rộng các hàm lượng giác ngược cho các biến phức.

$\arcsin <!--\; \; -->\left(z\right)=-<!--\; -\; -->i\log <!--\; \; -->\left(i\left(z+\sqrt{1-<!--\; -\; -->z^2}\right)\right)$

Một số công thức quan trọng

$\sin <!--\; \; -->\left(x+y\right)=\sin <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y+\cos <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y$

$\sin <!--\; \; -->\left(x-<!--\; -\; -->y\right)=\sin <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y$

$\cos <!--\; \; -->\left(x+y\right)=\cos <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y$

$\cos <!--\; \; -->\left(x-<!--\; -\; -->y\right)=\cos <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y+\sin <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y$

$\sin <!--\; \; -->x+\sin <!--\; \; -->y=2\sin <!--\; \; -->\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos <!--\; \; -->\left(\frac{x-<!--\; -\; -->y}{2}\right)$

$\sin <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->y=2\cos <!--\; \; -->\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin <!--\; \; -->\left(\frac{x-<!--\; -\; -->y}{2}\right)$

$\cos <!--\; \; -->x+\cos <!--\; \; -->y=2\cos <!--\; \; -->\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos <!--\; \; -->\left(\frac{x-<!--\; -\; -->y}{2}\right)$

$\cos <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->y=-<!--\; -\; -->2\sin <!--\; \; -->\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin <!--\; \; -->\left(\frac{x-<!--\; -\; -->y}{2}\right)$

$\tan <!--\; \; -->x+\tan <!--\; \; -->y=\frac{\sin <!--\; \; -->\left(x+y\right)}{\cos <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y}$

$\tan <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\tan <!--\; \; -->y=\frac{\sin <!--\; \; -->\left(x-<!--\; -\; -->y\right)}{\cos <!--\; \; -->x\cos <!--\; \; -->y}$

$\cot <!--\; \; -->x+\cot <!--\; \; -->y=\frac{\sin <!--\; \; -->\left(x+y\right)}{\sin <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y}$

$\cot <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\cot <!--\; \; -->y=\frac{-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\left(x-<!--\; -\; -->y\right)}{\sin <!--\; \; -->x\sin <!--\; \; -->y}$

Đặc điểm và ứng dụng

Các hàm lượng giác giữ vai trò quan trọng trong lượng giác học. Ngoài lĩnh vực này, tính tuần hoàn của chúng hỗ trợ việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ và âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; đây là cơ sở của phân tích Fourier, được áp dụng trong giải quyết các bài toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng.

Ba định lý chính trong lượng giác học phản ánh những tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác:

Định lý sin

Định lý sin khẳng định đối với bất kỳ tam giác nào:

$\frac{a}{\sin <!--\; \; -->A}=\frac{b}{\sin <!--\; \; -->B}=\frac{c}{\sin <!--\; \; -->C}=2R$

Định lý này có thể được chứng minh bằng cách chia tam giác thành hai tam giác vuông và áp dụng định nghĩa hàm sin. (sinA)/a là nghịch đảo của đường kính của vòng tròn đi qua ba điểm A, B và C. Định lý sin giúp tính độ dài của một cạnh khi biết hai cạnh còn lại của tam giác. Đây là một phương pháp phổ biến trong kỹ thuật tam giác, kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo góc và các khoảng cách khác dễ đo.

Định lý cos

Định lý cos là một sự mở rộng của định lý Pythagoras:

$c^2=a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->C$

Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng cách chia tam giác thành hai tam giác vuông. Nó giúp xác định các yếu tố chưa biết của một tam giác nếu đã có hai cạnh và một góc.

Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ hơn 90°, sẽ có hai tam giác thỏa mãn định lý cos, với hai góc C nằm trong khoảng từ 0 đến 180° ứng với cùng một giá trị của cos C.

Định lý tan

Định lý tan phát biểu rằng:

$\frac{a+b}{a-<!--\; -\; -->b}=\frac{\tan <!--\; \; -->[\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan <!--\; \; -->[\frac{1}{2}(A-<!--\; -\; -->B)]}$