Buzz
1. Khái niệm về vị trí tương quan của hai đường thẳng trong không gian lớp 11
1.1. Các loại vị trí tương quan của hai đường thẳng trong không gian
Trong không gian ba chiều, hai đường thẳng có thể có các mối quan hệ như trùng nhau, song song hoặc cắt nhau. Tùy thuộc vào cách bố trí của hai đường thẳng, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp khác nhau để xác định mối quan hệ giữa chúng. Dưới đây là các trường hợp phổ biến thường gặp:
Hai đường thẳng trùng nhau:
- Hai đường thẳng hoàn toàn trùng khớp, chia sẻ cùng hướng đi và điểm khởi đầu.
- Phương trình của hai đường thẳng là giống hệt nhau.
Hai đường thẳng song song:
- Hai đường thẳng có cùng hướng nhưng không giao nhau.
- Phương trình của hai đường thẳng có cấu trúc tương đồng.
- Hai đường thẳng cắt nhau:
- Hai đường thẳng có hướng khác biệt và giao nhau tại một điểm cụ thể.
- Phương trình của hai đường thẳng có hình thức khác nhau.
- Để xác định điểm giao nhau của hai đường thẳng, ta cần giải hệ phương trình của chúng.
Hai đường thẳng không giao nhau và không song song:
- Hai đường thẳng có hướng khác nhau và không cắt nhau.
- Để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng, ta vẽ một đường thẳng vuông góc với cả hai và tính khoảng cách giữa hai điểm giao của đường vuông góc với hai đường thẳng đó.
Trong không gian ba chiều, khi làm việc với hai đường thẳng, chúng ta cần cân nhắc các tình huống sau:
Trước tiên, nếu hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng, chúng có thể ở ba vị trí tương đối khác nhau như sau:
- Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất.
- Hai đường thẳng song song không có điểm giao nhau.
- Hai đường thẳng trùng nhau, chia sẻ vô số điểm chung.
Thứ hai, nếu hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng, chúng không có điểm giao nhau và được gọi là hai đường thẳng chéo nhau.
Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, thường dựa vào hai tiêu chí: số điểm giao nhau và sự đồng phẳng. Tuy nhiên, trong hệ tọa độ Oxyz, việc áp dụng hai tiêu chí này có thể khá phức tạp và khó khăn. Thay vào đó, chúng ta có thể sử dụng đặc tính hướng và đồ thị để nhanh chóng và hiệu quả xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
1.2. Hai đường thẳng song song
Đặc điểm của hai đường thẳng song song:
Đặc điểm 1: Trong không gian, từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng duy nhất có thể song song với đường thẳng đó.
Đặc điểm 2: Hai đường thẳng khác biệt, nếu cả hai đều song song với một đường thẳng thứ ba, thì chúng cũng song song với nhau.
Định lý (về giao tuyến của ba mặt phẳng):
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt, thì ba giao tuyến đó sẽ hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả (Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng):
Nếu hai mặt phẳng khác biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song, thì giao tuyến (nếu có) của hai mặt phẳng đó sẽ hoặc song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng.
2. Một số dạng bài tập về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp giải: Áp dụng một trong các cách sau đây
- Chứng minh rằng hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng và sau đó sử dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng.
- Chứng minh rằng hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
- Sử dụng định lý về giao tuyến song song.
- Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng khác biệt chứa hai đường thẳng song song, thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ hoặc song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng.
Dạng 2: Chứng minh bốn điểm nằm trên cùng một mặt phẳng và ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Phương pháp giải:
Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một mặt phẳng, ta chọn hai đường thẳng a và b lần lượt đi qua hai trong bốn điểm này và chứng minh rằng a và b hoặc song song hoặc cắt nhau. Khi đó, bốn điểm A, B, C, D sẽ nằm trên mặt phẳng chứa a và b.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, thực hiện như sau:
Cách 1: Chứng minh rằng đường thẳng thứ nhất đi qua điểm giao của hai đường thẳng còn lại.
Cách 2: Chứng minh rằng ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và mỗi cặp đường thẳng nằm trên các mặt phẳng khác nhau.
3. Một số bài tập ứng dụng về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian lớp 11
Bài tập tự luận:
Bài 1: Trong tứ diện ABCD, gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là các trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, AD, BC, CD. Chứng minh rằng các điểm P, Q, R, S nằm trên cùng một mặt phẳng.
Bài 2: Trong hình chóp S.ABC, gọi E và F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SBC và SAB. Chứng minh rằng EF song song với AC.
Trắc nghiệm:
Bài 1: Xét tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác ABD, N là trung điểm của cạnh AD, và M là trung điểm của cạnh BC với điều kiện MB = 2MC. Khẳng định nào dưới đây là chính xác?
A. MG song song với CN
B. MG và CN cắt nhau
C. MG song song với AB
D. MG và CN không có điểm chung
Bài 2: Xét ba đường thẳng a, b, c với điều kiện b // a và c // a. Phát biểu nào dưới đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c), thì b và c chéo nhau
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c), thì ba đường thẳng a, b, c đều song song với nhau từng đôi một
(3) Bất kể mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, b vẫn luôn song song với c
A. Chỉ có (1) là sai.
B. Chỉ có (2) là sai.
C. Chỉ có (3) là sai.
D. (1), (2) và (3) đều sai.
Bài 3: Trong tứ diện ABCD, với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. MN // BD và MN = 1/2 BD
B. MN // PQ và MN = PQ
C. MNPQ là hình bình hành
D. MP và NQ cắt nhau
Bài 4: Trong hình chóp S.ABCD, với A’, B’, C’, D’ là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Đường thẳng nào không song song với A’B’?
A. AB
B. CD
C. SC
D. C’D’
Bài 5: Trong số các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Hai đường thẳng được coi là chéo nhau khi chúng không cắt nhau tại bất kỳ điểm nào
B. Hai đường thẳng không cắt nhau có thể là song song hoặc chéo nhau
C. Hai đường thẳng song song nằm trong cùng một mặt phẳng
D. Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng khác nhau thì chúng sẽ chéo nhau
Bài 6: Trong tứ diện ABCD, I và J lần lượt là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm của tam giác BCD. Đường giao của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng nào?
A. Đi qua I và song song với AB
B. Đi qua J và song song với BD
C. Đi qua G và song song với CD
D. Đi qua G và song song với BC
Bài 7: Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD. I và J là trung điểm của các cạnh AD và BC, G là trọng tâm của tam giác SAB. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG):
A. Đường thẳng song song với AB
B. Đường thẳng song song với CD
C. Đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD
D. Tất cả các đáp án A, B, C đều đúng
Bài 8: Trong hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành ABCD, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD):
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AB, CD
B. Đường thẳng đi qua điểm S
C. Điểm S
D. Mặt phẳng (SAD)
Ngoài ra, các bạn có thể tải và tham khảo tài liệu ôn tập chi tiết về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian tại: Tại đây
Sau buổi học về vị trí tương đối của hai đường thẳng, các bạn đã nắm vững kiến thức cơ bản. Mytour đã trình bày chi tiết và minh họa bằng các ví dụ thực tế. Hy vọng rằng những thông tin này sẽ giúp các bạn chuẩn bị tốt hơn cho môn toán lớp 11. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của quý khách đối với bài viết của Mytour.
