Vị trí (vector)

Trong hình học, một vị trí hay vector vị trí, còn gọi là tọa độ vector hoặc vector bán kính, là một vectơ thể hiện vị trí của điểm P trong không gian so với một hệ quy chiếu gốc O tùy chọn. Thường được ký hiệu bằng x, r hoặc s, vectơ này tương ứng với đoạn thẳng từ O đến P. Nói cách khác, nó biểu thị khoảng cách hoặc phép tịnh tiến từ gốc đến P:

$r=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OP}$

Thuật ngữ 'vector vị trí' thường được áp dụng trong các lĩnh vực như hình học vi phân, cơ học, và đôi khi trong tính toán vectơ.

Kỹ thuật này thường được sử dụng trong không gian hai chiều hoặc ba chiều, nhưng cũng có thể mở rộng dễ dàng cho không gian Euclide và không gian afin với bất kỳ số chiều nào.

Khái niệm

Không gian ba chiều

Trong không gian ba chiều, bất kỳ tập hợp tọa độ ba chiều và vectơ cơ sở tương ứng đều có thể được sử dụng để xác định vị trí của một điểm trong không gian. Các phương pháp đơn giản nhất có thể được áp dụng để giải quyết vấn đề.

Thông thường, chúng ta sử dụng hệ tọa độ Descartes quen thuộc, hoặc đôi khi hệ tọa độ cầu hay hệ tọa độ trụ:

$\begin{array}{cc}r\left(t\right)& \equiv <!--\; \equiv \; -->r(x,y,z)\equiv <!--\; \equiv \; -->x\left(t\right){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}_x+y\left(t\right){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}_y+z\left(t\right){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}_z\\ & \equiv <!--\; \equiv \; -->r(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})\equiv <!--\; \equiv \; -->r\left(t\right){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}_r(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\left(t\right),\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\left(t\right))\\ & \equiv <!--\; \equiv \; -->\end{array}$

r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {displaystyle {egin{aligned}mathbf {r} (t)&equiv mathbf {r} (x,y,z)equiv x(t)mathbf {hat {e}} _{x}+y(t)mathbf {hat {e}} _{y}+z(t)mathbf {hat {e}} _{z}\&equiv mathbf {r} (r, heta ,phi )equiv r(t)mathbf {hat {e}} _{r}{ig (} heta (t),phi (t){ig )}\&equiv mathbf {r} (r, heta ,z)equiv r(t)mathbf {hat {e}} _{r}{ig (} heta (t){ig )}+z(t)mathbf {hat {e}} _{z},\end{aligned}}}

Trong đó t là tham số, do sự đối xứng của tọa độ hình chữ nhật hoặc hình cầu. Các tọa độ và vectơ cơ sở khác nhau đại diện cho cùng một vectơ vị trí. Các tọa độ đường cong tổng quát hơn có thể được áp dụng thay thế trong các lĩnh vực như cơ học liên tục và thuyết tương đối rộng (trong trường hợp sau, cần thêm tọa độ thời gian).

Không gian n chiều

Đại số tuyến tính cho phép chúng ta trừu tượng hóa một vectơ vị trí trong không gian n chiều. Một vectơ vị trí có thể được diễn đạt dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở:

$r=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{e}_i=x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n{e}_n.$

Tập hợp tất cả các vectơ vị trí hình thành không gian vectơ vị trí, nơi mỗi vectơ vị trí có thể được cộng lại hoặc nhân với một hằng số để tạo ra vectơ vị trí mới trong không gian đó. Khái niệm về 'không gian' rất trực quan, vì mỗi xi (i = 1, 2,..., n) có thể nhận bất kỳ giá trị nào, và tập hợp các giá trị này xác định một điểm trong không gian.

Thứ nguyên của không gian vectơ vị trí là n (còn gọi là dim(R) = n). Các hệ tọa độ của vectơ r với các vectơ cơ sở e_i được biểu thị bằng x_i. Vectơ tọa độ được hình thành từ các tọa độ này tạo thành vectơ tọa độ hoặc n-tuple (x₁, x₂, …, xn).

Mỗi tọa độ xi có thể được tham số hóa bằng một số tham số t. Tham số xi(t) mô tả đường cong 1D, hai tham số xi(t₁, t₂) mô tả bề mặt cong 2D, ba tham số xi(t₁, t₂, t₃) mô tả thể tích cong 3D, và cứ như vậy.

Nhịp tuyến tính của tập cơ sở B = {e₁, e₂, …, e_n} chính là không gian vectơ R, với nhịp được ký hiệu là span(B) = R.

Các ứng dụng

Hình học vi phân

Các trường vectơ vị trí được sử dụng để mô tả các đường cong trong không gian, cho phép phân tích sự liên tục và tính khác biệt của chúng. Trong những trường hợp này, tham số độc lập không nhất thiết phải là thời gian; nó có thể là độ dài cung của đường cong, chẳng hạn.

Cơ học

Trong các phương trình chuyển động, vectơ vị trí r(t) thường là yếu tố quan trọng nhất vì nó xác định vị trí của một hạt (hay khối lượng chất điểm) so với hệ tọa độ đã cho tại thời điểm t.

Để mô tả chuyển động dựa trên vị trí, mỗi tọa độ có thể được tham số hóa theo thời gian. Mỗi giá trị thời gian tương ứng với một chuỗi các vị trí không gian liên tiếp được xác định bởi các tọa độ. Khi các vị trí liên tiếp này được kết nối liên tục, chúng tạo thành một đường đi của các hạt.

Trong không gian một chiều, vị trí chỉ có một thành phần, vì vậy nó thực chất trở thành một tọa độ vô hướng. Nó có thể là vectơ theo hướng x hoặc theo hướng r hướng tâm. Các ký hiệu tương đương bao gồm

$x\equiv <!--\; \equiv \; -->x\equiv <!--\; \equiv \; -->x\left(t\right),r\equiv <!--\; \equiv \; -->r\left(t\right),s\equiv <!--\; \equiv \; -->s\left(t\right).$

Đạo hàm của vị trí

Khi vectơ vị trí r phụ thuộc vào thời gian t, các đạo hàm theo thời gian có thể được xác định dựa trên t. Những đạo hàm này rất hữu ích trong các nghiên cứu về động học, lý thuyết điều khiển tự động, kỹ thuật và các lĩnh vực khoa học khác.

Vận tốc

Trong đó dr đại diện cho một vi phân cực nhỏ của vị trí (vectơ).

Gia tốc

Jerk

Các tên gọi cho đạo hàm bậc một, bậc hai và bậc ba của vectơ vị trí thường được sử dụng trong lĩnh vực động học cơ bản. Đối với các dẫn xuất bậc cao hơn, chúng có thể được tính toán theo phương pháp tương tự. Việc nghiên cứu các đạo hàm bậc cao này giúp cải thiện độ chính xác của các xấp xỉ hàm dịch chuyển ban đầu. Những thuật ngữ bậc cao này cần thiết để biểu diễn chính xác hàm dịch chuyển dưới dạng tổng của một chuỗi vô hạn, tạo điều kiện cho các kỹ thuật phân tích trong kỹ thuật và vật lý.

• Không gian affine
• Vị trí ngang
• Sáu bậc tự do
• Phần tử dòng
• Bề mặt tham số
• Vị trí đứng

Ghi chú

1. Keller, F. J., Gettys, W. E., và cộng sự. (1993). 'Vật lý: Cổ điển và hiện đại' (Tái bản lần thứ 2). Nhà xuất bản McGraw Hill