Vòng tròn đại số

Trong toán học, vòng tròn đại số là một cấu trúc nền tảng của đại số trừu tượng. Nhiều đối tượng toán học có thể được biểu diễn dưới dạng vòng tròn đại số, ví dụ như vòng các hàm liên tục trên một không gian, vòng các đa thức đơn biến với hệ số thực, hoặc vòng các ma trận thực, v.v. Vòng tròn đại số có nhiều thuộc tính phức tạp hơn nhóm, nhưng lại đơn giản hơn trường, tạo nên một vị trí độc đáo trong toán học.

Một vòng tròn đại số có thể giao hoán hoặc không giao hoán, tùy thuộc vào việc phép nhân trong đó có tính giao hoán hay không. Các vòng giao hoán đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số và hình học đại số. Nghiên cứu về các vòng giao hoán và i-đê-an của chúng được gọi là đại số giao hoán.

Vòng không giao hoán cũng là một đối tượng nghiên cứu cốt lõi trong đại số trừu tượng.

Khái niệm định nghĩa

Một tập hợp không rỗng R được gọi là vòng nếu trên đó tồn tại hai phép toán, phép cộng '+' và phép nhân '×', thoả mãn các điều kiện sau:

1. R là nhóm giao hoán đối với phép cộng:
   1. Phép cộng có tính kết hợp: ((x + y) + z = x + (y + z))
   2. Phần tử trung hoà: (0 + x = x + 0 = x)
   3. Phần tử nghịch đảo: (x + x' = x' + x = 0)
   4. Phép cộng có tính giao hoán: (x + y = y + x)
2. Phép nhân phân phối với phép cộng:
   1. (x(y + z) = xy + xz)
   2. ((x + y)z = xz + yz)
3. Phép nhân có tính kết hợp: ((xy)z = x(yz))
4. Có phần tử đơn vị trong phép nhân: (1x = x1 = x)

Có một quan điểm khác cho rằng vòng không nhất thiết phải có phần tử đơn vị. Theo trường phái này, vòng có phần tử đơn vị được gọi là vòng đơn vị.

Nhiều trường phái toán học cho rằng vòng không cần có phần tử đơn vị hoặc tính kết hợp trong phép nhân. Ví dụ, vòng Lie không có tính kết hợp. Để phân biệt, họ sử dụng thuật ngữ vòng kết hợp cho những vòng có tính kết hợp trong phép nhân và vòng không kết hợp cho những vòng không có tính kết hợp.

Một số vòng đặc biệt

• Vành giao hoán là vành R, trong đó phép nhân có tính chất giao hoán.
• Vành có đơn vị là vành mà phép nhân có phần tử đơn vị.
• Nếu trong vành R có hai phần tử a và b, với a ≠ 0 và b ≠ 0, sao cho ab = 0, thì chúng được gọi là ước của 0. Vành giao hoán có đơn vị mà không có ước của 0 được gọi là vành nguyên hoặc miền nguyên.
• Miền nguyên X là vành chính nếu mọi ideal của nó đều sinh bởi một phần tử, tức là ideal chính.
• Miền nguyên A được gọi là vành Euclid nếu có một ánh xạ f: Ā → N (với Ā là tập các phần tử khác 0 của A) thỏa mãn các tính chất sau:
  • Nếu b là ước của a và a ≠ 0, thì f(b) ≤ f(a).
  • Với bất kỳ a và b nào của A, khi b ≠ 0, tồn tại duy nhất cặp phần tử q và r sao cho a = bq + r, với f(b) ≥ f(r) nếu r ≠ 0. Ví dụ, mọi vành đa thức là vành Ơclit.
• Vành Noether: Vành giao hoán có đơn vị là vành Noether nếu mọi ideal của nó đều sinh hữu hạn. Điều này đồng nghĩa với việc tồn tại một tập sinh hữu hạn.
• Định lý - Một vành là Noether khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện dãy tăng.
• Chứng minh - Giả sử vành A thỏa mãn điều kiện dãy tăng và tồn tại một ideal I không sinh hữu hạn. Khi đó, tồn tại một dãy các phần tử x_i sao cho x_{n+1} không thuộc ideal sinh bởi các phần tử trước đó. Đây là một dãy tăng không ổn định của các ideal, mâu thuẫn. Do đó, mọi ideal của A đều sinh hữu hạn.
• Ngược lại, nếu mọi ideal của vành A đều sinh hữu hạn, xét một dãy tăng các ideal I_i. Đặt I là hợp của các I_i. Vì I sinh hữu hạn, nên tồn tại các phần tử x_1, ..., x_n sao cho I = (x_1, ..., x_n). Khi đó, tồn tại chỉ số m sao cho dãy ideal ổn định từ I_m, và A thỏa mãn điều kiện dãy tăng.
• Vành Gauss là một miền nguyên mà mọi phần tử không bằng 0 và không khả nghịch đều có thể phân tích duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy (không tính thứ tự).

Ví dụ

• Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và nhân thông thường là một vành.
• Tập các ma trận vuông cấp n với phép cộng và nhân ma trận cũng là một vành.
• Tập các đa thức có hệ số trong trường số thực là một vành.
• Tập các số dạng a + b.√3 với a, b thuộc tập số nguyên Z là một vành.
• Vành số nguyên với các phép toán cộng và nhân thông thường là một vành Euclid, vành chính, và vành Gauss.
• Các vành chính, vành Euclid, và vành đa thức trên một trường K đều là các vành Gauss.

Một số nguyên Gauss là một số phức có cả phần thực và phần ảo là các số nguyên. Các số nguyên Gauss với phép cộng và nhân tạo thành một vành, gọi là vành số nguyên Gauss, ký hiệu là Z[i].

Trong vành số nguyên Gauss, ta có các khái niệm tương tự như trong vành số nguyên: chia hết, số nguyên tố Gauss, đồng dư,... Một khái niệm quan trọng là chuẩn của số nguyên Gauss, được định nghĩa là ‖a + b.i‖ = a² + b². Có những kết quả thú vị như nếu chuẩn của Z là số nguyên tố thì Z là số nguyên tố Gauss.

Vành con

Định nghĩa

Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu A cũng là một vành với hai phép toán cộng và nhân trên R, đồng thời đảm bảo tính đóng của hai phép toán này trên A.

• Các ví dụ về vành con:
• Tập chỉ có phần tử {0} và vành R chính là vành con của R.
• Cho phần tử a thuộc R. Tập hợp các phần tử có dạng n.a, với n thuộc Z, là một vành con của R.

Các điều kiện tương đương

Cho R là một vành, tập con A thuộc R. Các mệnh đề sau là tương đương:

1. A là vành con của R;
2. Với mọi x, y thuộc A, thì x ± y, x.y, -x, và -y đều thuộc A.

Giao của các vành con

Giao của bất kỳ họ các vành con nào của R cũng là một vành con của R.

I-đê-an (Ideal)

Các khái niệm

• Một tập con A của vành R được gọi là ideal trái (hoặc phải) nếu với mọi a thuộc A và x thuộc R, ta có x.a (hoặc a.x) thuộc A.
• Nếu A là ideal trái và phải của R, thì A được gọi là ideal của R.
• Giao của các ideal bất kỳ của R cũng là ideal của R.
• Ideal nhỏ nhất của R chứa tập con X của R được gọi là ideal sinh bởi X.
• Trong một vành giao hoán có đơn vị A, ideal X là tối đại nếu mọi ideal chứa X đều hoặc là X hoặc là A.
• Ideal P của A được gọi là nguyên tố nếu uv thuộc P thì hoặc u hoặc v thuộc P.
• Mọi ideal là vành con, nhưng không phải vành con nào cũng là ideal.

Một số kết quả

Nếu R là một vành giao hoán có đơn vị, ideal sinh bởi tập con của R được định nghĩa như sau:

{a1, a2, ..., ak}

Là tập hợp các phần tử có dạng:

a₁.x₁ + a₂.x₂ + ... + aₖ.xₖ

Trong đó, x₁, x₂, ..., xₖ đều thuộc R

• Nếu R là một vành có đơn vị và A là ideal của R chứa đơn vị đó, thì A bằng R.
• Tập hợp ℕ, ℤ và các tập con của chúng không phải là ideal trong tập hợp số thực.

Vành thương

• Cho A là một ideal của vành R và phần tử x thuộc R. Tập con của R gồm các phần tử dạng x + a với mọi a thuộc A được gọi là một lớp kề của A theo x.
• Ký hiệu R/A là tập hợp tất cả các lớp kề của A với mọi x thuộc R:

R/A = {x + A | x thuộc R}

Đây được gọi là tập thương của R theo A.

• Trên tập thương R/A có thể xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:
  • (x + A) + (y + A) = (x + y) + A
  • (x + A) * (y + A) = (x * y) + A

Từ đó có thể chứng minh R/A là một vành, gọi là vành thương của R theo A.

• Ví dụ:

Cho n là một số nguyên dương. Tập n.Z là một ideal của Z. Vành thương Z/n.Z chính là vành các lớp đồng dư theo môđun n.

• Giả sử X là một vành giao hoán có đơn vị và A là một ideal của X. Khi đó:

1. X/A là miền nguyên khi và chỉ khi A là ideal nguyên tố.
2. X/A là trường khi và chỉ khi A là ideal tối đại.

Đồng cấu vành

Khái niệm

• Cho hai vành R và R'. Ánh xạ f: R → R' được gọi là đồng cấu vành nếu f bảo toàn các phép toán cộng và nhân trong R. Cụ thể, với mọi a và b trong R, có:

1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a.b) = f(a).f(b)

• Nếu đồng cấu f là đơn ánh (hoặc toàn ánh), thì nó được gọi là đơn cấu vành (hoặc toàn cấu vành).
• Nếu đồng cấu f là song ánh, thì f được gọi là đẳng cấu vành.
• Nếu R' = R, thì f được gọi là tự đồng cấu của vành R.
• Nếu có một đồng cấu (hoặc đẳng cấu) f từ vành R đến vành R, thì R được gọi là đồng cấu (hoặc đẳng cấu) với R.

Ví dụ

• Ánh xạ f: R → R' với f(x) = 0 cho mọi x trong R là một đồng cấu vành.
• Ánh xạ đồng nhất của R là một tự đồng cấu của R.
• Cho A là một vành con của R. Ánh xạ nhúng j: A → R với j(a) = a cho mọi a trong A là một đơn cấu vành. Nó được gọi là đơn cấu chính tắc từ A vào R.
• Cho A là ideal của R. Ánh xạ h: R → R/A với h(x) = x + A là một toàn cấu và được gọi là toàn cấu chính tắc.
• Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Tích của hai đẳng cấu là một đẳng cấu.

Ảnh và hạt nhân của đồng cấu

• Khái niệm
  • Cho một đồng cấu vành f: R → R'.

Tập hợp các phần tử của R mà ảnh của chúng là phần tử không thuộc R' được gọi là hạt nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Ker(f)

Ker(f) = {x ∈ R | f(x) = 0}

• • Tập f(R) được gọi là ảnh của đồng cấu f, ký hiệu là Im(f).
• Tính chất

1. Hạt nhân của đồng cấu f, Ker(f), là một ideal của R và ảnh của f, Im(f), là một vành con của R'.
2. Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f) = {0}
3. Với mọi đồng cấu f: R → R', ảnh Im(f) đẳng cấu với vành thương R/Ker(f).

Phạm trù các vành

Vành cùng với các đồng cấu vành tạo nên phạm trù các vành, ký hiệu là Ring (từ 'vành' trong tiếng Anh). Phạm trù Ring là một phạm trù rộng lớn với nhiều đặc điểm cụ thể.

Phạm trù các vành giao hoán được ký hiệu là CRing. CRing tương đương với phạm trù các lược đồ a-phin.

Đặc số của vành

• Cho một vành có đơn vị R. Nếu tồn tại một số nguyên dương m sao cho m.1 = 0, thì số m nhỏ nhất thỏa mãn điều này được gọi là đặc số của R. Nếu không tồn tại số m như vậy, thì R được gọi là có đặc số 0.
• Ví dụ: Vành số nguyên $Z$ có đặc số 0, trong khi vành thương $Z/n$ có đặc số n.

Tổng quan về lịch sử nghiên cứu vành đại số

Những nhà toán học Đức đã có ảnh hưởng lớn trong nghiên cứu về vành đại số và ideal bao gồm: E. Kummer (1810-1893), R. Dedekind (1831-1936), và đặc biệt là nhà toán học nữ E. Noether (1882-1935). Trong quá trình chứng minh bài toán Fermat lớn, E. Kummer đã thử nghiệm phương pháp xuống thang trên tập số nguyên nhưng không thành công. Để vượt qua khó khăn, ông đã xem xét bài toán trong lớp vành bao gồm cả số nguyên. Trong lớp vành này, ông đã làm việc với các số ideal, đặt nền tảng cho khái niệm ideal sau này. Dedekind đã phát triển khái niệm ideal, trong khi E. Noether đã có công lớn trong việc mở rộng lý thuyết vành và ideal trừu tượng.

Các liên kết bên ngoài