Vòng tròn

Trong hình học phẳng, vòng tròn (hoặc đường tròn) là tập hợp tất cả các điểm trên một mặt phẳng mà cách đều một điểm cho trước một khoảng cách xác định. Điểm cho trước gọi là tâm của vòng tròn, còn khoảng cách này gọi là bán kính của vòng tròn.

Vòng tròn có tâm O và bán kính R được ký hiệu là (O;R)

Vòng tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi 'vòng tròn' chỉ phần ranh giới, 'hình tròn' bao gồm cả ranh giới và phần bên trong.

Vòng tròn có thể được xem là một elíp đặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau và độ lệch tâm bằng 0. Nó cũng là hình có diện tích lớn nhất trên mỗi đơn vị chu vi.

Các thuật ngữ quan trọng

• Cung: đoạn đường bao quanh đường tròn. Cung AB được ký hiệu là $\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{AB}$
• Dây cung (hoặc dây): đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn.
• Tâm: điểm cách đều tất cả các điểm trên đường tròn.
• Chu vi: tổng chiều dài của đường biên đường tròn.
• Bán kính: đoạn thẳng (hoặc chiều dài đoạn thẳng) nối tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn, bằng một nửa đường kính. Ký hiệu $R$
• Đường kính: đoạn thẳng (hoặc chiều dài đoạn thẳng) nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm, hoặc khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất và bằng hai lần bán kính. Ký hiệu $D$
• Cát tuyến: đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm khác nhau.
• Tiếp tuyến: đường thẳng chạm vào đường tròn tại một điểm duy nhất.
• Hình tròn: phần mặt phẳng được bao quanh bởi đường tròn.
• Hình khuyên (hoặc hình nhẫn): khu vực bị bao bởi hai đường tròn đồng tâm với bán kính khác nhau.
• Hình quạt tròn: phần của hình tròn được giới hạn bởi hai bán kính và cung tròn giữa chúng.
• Hình viên phân: phần được giới hạn bởi cung tròn và dây căng cung.
• Hình bán nguyệt: cung tròn căng đường kính, thường bao gồm cả đường kính, cung và phần bên trong, tức là nửa hình tròn.
• Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Đa giác này được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
• Đường tròn nội tiếp đa giác là đường tròn chạm vào tất cả các cạnh của đa giác đó. Đa giác này được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

Cách xác định đường tròn

Một đường tròn có thể được xác định bằng cách biết tâm và bán kính của nó, hoặc bằng cách biết một đoạn thẳng là đường kính của nó.

Ba điểm không nằm trên một đường thẳng cho phép vẽ chính xác một và chỉ một vòng tròn.

Hình tròn

Trong hình học phẳng, đường tròn và hình tròn có sự khác biệt quan trọng. Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm bên trong và trên đường tròn, hoặc những điểm có khoảng cách từ tâm nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Ngược lại, đường tròn chỉ là đường bao quanh và không có diện tích như hình tròn.

Lịch sử

Từ circle bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), có nghĩa là 'vòng' hoặc 'nhẫn'.

Đường tròn đã được biết đến từ thời kỳ trước khi lịch sử được ghi chép. Các hình tròn tự nhiên như Mặt Trăng và Mặt Trời đã được quan sát từ lâu. Đường tròn đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển bánh xe và các thiết bị cơ khí hiện đại, cùng với những phát minh như bánh răng. Nghiên cứu đường tròn đã thúc đẩy sự phát triển của hình học, thiên văn học và tích phân.

Trong các lĩnh vực khoa học cổ đại như hình học, thiên văn học và chiêm tinh học, hình tròn thường được coi là biểu tượng của sự thiêng liêng và hoàn hảo. Nhiều học giả thời trung cổ đã liên kết hình tròn với các yếu tố thánh thần và thần thánh.

Một số sự kiện quan trọng trong lịch sử nghiên cứu đường tròn:

• Năm 1700 trước Công nguyên – Bản giấy cói Rhind cung cấp phương pháp tính diện tích hình tròn, đạt được giá trị gần đúng là 256/81 (3.16049...) để xấp xỉ π.
• Năm 300 trước Công nguyên – Các quyển 1 và 3 trong bộ sách Cơ sở của Euclid mô tả định nghĩa và tính chất của đường tròn.
• Trong Bức thư thứ bảy của Plato, có một định nghĩa chi tiết về đường tròn, so sánh nó với các hình vẽ và giải thích khác về đường tròn hoàn hảo.
• Năm 1880 – Lindemann chứng minh π là số siêu việt, giải quyết vấn đề của bài toán cầu phương hình tròn sau hơn một thiên niên kỷ.

Đặc điểm nổi bật

Chiều dài đường tròn (chu vi của hình tròn)

Tỉ lệ giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của nó là π (pi), một số vô tỉ có giá trị xấp xỉ 3.141592654. Do đó, chu vi của hình tròn, còn gọi là viên chu, có thể được tính bằng cách nhân pi với đường kính hoặc 2 lần pi với bán kính. Công thức tính là:

$C=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}d.$

Diện tích nội tại

Theo bản luận 'Sự đo đạc hình tròn' của Archimedes, diện tích của hình tròn A được tính bằng diện tích của một tam giác có đáy là chu vi đường tròn và chiều cao là bán kính hình tròn, tức là A bằng π nhân với bình phương bán kính:

$A=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2.$

Tương tự, ký hiệu của đường kính là d,

$A=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{d}^2}{4}\approx <!--\; \approx \; -->0.7854d^2,$

tương đương với khoảng 79% diện tích của hình vuông bao quanh đường tròn (với độ dài cạnh là d). Đường tròn cũng là hình phẳng có diện tích lớn nhất trong số các hình có chu vi cố định.

Phương trình

Trong hệ tọa độ Descartes, một đường tròn có tâm tại điểm (a, b) và bán kính r bao gồm tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn điều kiện sau đây:

${\left(x-<!--\; -\; -->a\right)}^2+{\left(y-<!--\; -\; -->b\right)}^2=r^2.$

Phương trình này, được gọi là Phương trình đường tròn, dựa trên Định lý Pythagoras áp dụng cho một điểm trên đường tròn: Như trong hình minh họa, bán kính là cạnh huyền của tam giác vuông với các cạnh góc vuông là |x − a| và |y − b|. Nếu tâm của đường tròn nằm ở gốc tọa độ (0, 0), phương trình sẽ được đơn giản hóa thành:

$x^2+y^2=r^2.$

Phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng tham số bằng các hàm lượng giác như sin và cos như sau:

$x=a+r\cos <!--\; \; -->t,$

$y=b+r\sin <!--\; \; -->t$

với t là tham số nằm trong khoảng từ 0 đến 2π, về mặt hình học, t tương ứng với góc tạo bởi tia từ điểm (a, b) đến điểm (x, y) và trục x dương.

Một cách biểu diễn tham số khác của đường tròn là:

$x=a+r\frac{1-<!--\; -\; -->t^2}{1+t^2}.$

$y=b+r\frac{2t}{1+t^2}$

Tuy nhiên, với sự tham số hóa này, t không chỉ đi qua tất cả các giá trị thực mà còn mở rộng đến vô cực, nếu không, điểm thấp nhất của đường tròn sẽ không được hiển thị đầy đủ.

Trong hệ tọa độ đồng nhất, phương trình của một đường conic dạng đường tròn có thể được viết như sau:

$x^2+y^2-<!--\; -\; -->2axz-<!--\; -\; -->2byz+c{z}^2=0.$

Trong hệ tọa độ cực, phương trình của một đường tròn được viết như sau:

$r^2-<!--\; -\; -->2r{r}_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})+r_0^2=a^2$

Với a là bán kính của đường tròn, $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$ là tọa độ cực của một điểm trên đường tròn, và $(r_0,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$ là tọa độ cực của tâm đường tròn (với r₀ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm, và φ là góc ngược chiều kim đồng hồ từ trục hoành tới đường thẳng qua tâm và gốc tọa độ). Nếu đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, tức là r₀ = 0, phương trình đơn giản thành r = a. Khi r₀ = a, tức là gốc tọa độ nằm trên đường tròn, phương trình trở thành:

$r=2a\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}).$

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cho r như sau:

$r=r_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})\pm \; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\; <!--\; \pm \; -->\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->r_0^2{\sin }^2<!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})},$

Lưu ý rằng nếu không có dấu ±, phương trình có thể chỉ mô tả nửa đường tròn trong một số trường hợp.

Trong mặt phẳng phức, một đường tròn với tâm tại c và bán kính r có phương trình là $|z-<!--\; -\; -->c|=r$. Ở dạng tham số hóa, phương trình là $z=r{e}^{it}+c$.

Phương trình tổng quát $pz\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}+gz+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{gz}=q$ với các số thực p, q và số phức g đôi khi được gọi là phương trình tổng quát của đường tròn. Phương trình này chuyển thành phương trình đường tròn với $p=1,g=-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{c},q=r^2-<!--\; -\; -->|c{|}^2$, vì $|z-<!--\; -\; -->c{|}^2=z\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{c}z-<!--\; -\; -->c\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$. Đường tròn tổng quát không phải lúc nào cũng là đường tròn thực sự: nó có thể là một đường thẳng hoặc một đường tròn thực sự.

Đường tiếp tuyến

Đường tiếp tuyến tại điểm P trên đường tròn sẽ vuông góc với đường kính đi qua P. Nếu P = (x₁, y₁) và đường tròn có tâm tại (a, b) cùng bán kính r, thì đường tiếp tuyến này vuông góc với đoạn thẳng nối tâm đường tròn và P. Phương trình của tiếp tuyến có dạng (x₁ − a)x + (y₁ − b)y = c. Với tọa độ (x₁, y₁), tính giá trị của c để xác định phương trình tiếp tuyến.

$(x_1-<!--\; -\; -->a)x+(y_1-<!--\; -\; -->b)y=(x_1-<!--\; -\; -->a)x_1+(y_1-<!--\; -\; -->b)y_1$

hay

$(x_1-<!--\; -\; -->a)(x-<!--\; -\; -->a)+(y_1-<!--\; -\; -->b)(y-<!--\; -\; -->b)=r^2.$

Nếu y₁ ≠ b, độ dốc của đường thẳng sẽ là

$\frac{dy}{dx}=-<!--\; -\; -->\frac{x_1-<!--\; -\; -->a}{y_1-<!--\; -\; -->b}.$

Kết quả này cũng có thể được tìm ra bằng cách áp dụng đạo hàm hàm ẩn.

Khi tâm của đường tròn nằm tại gốc tọa độ, phương trình của đường tiếp tuyến có dạng $x_{1}x+y_{1}y=r^2,$và độ dốc của nó là $\frac{dy}{dx}=-<!--\; -\; -->\frac{x_1}{y_1}.$

Các tính chất

Các tính chất chung

• Đường tròn là hình có diện tích lớn nhất trong tất cả các hình có chu vi cố định. (Tham khảo Bất đẳng thức đẳng chu)
• Đường tròn có tính đối xứng hoàn hảo: tâm của nó là điểm đối xứng và các đường kính là các trục đối xứng.
• Tất cả các đường tròn đều đồng dạng với nhau.
  • Chu vi của đường tròn tỷ lệ với bán kính theo hệ số 2π.
  • Diện tích của đường tròn tỷ lệ với bình phương bán kính theo hệ số π.
• Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 1 được gọi là đường tròn đơn vị.
  • Đường tròn lớn nhất trên mặt cầu đơn vị được gọi là đường tròn Riemann.
• Tập hợp tất cả các điểm có thể nhìn thấy một đoạn thẳng dưới góc vuông sẽ tạo thành một đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó.

Dây cung

• Dây cung đồng tâm chỉ khi chúng có cùng độ dài.
• Trong một đường tròn, dây cung dài hơn thì gần tâm hơn.
• Đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm của dây cung đó.
• Đường kính qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây.
• Đường kính là dây cung dài nhất trong đường tròn.
• Nếu hai dây cung cắt nhau tại một điểm và chia một dây thành hai đoạn a và b, và dây cung kia thành c và d, thì ab = cd (đây gọi là định lý phương tích).
• Nếu hai dây cung cắt nhau tại một điểm và chia một dây thành hai đoạn a và b, và dây cung kia thành m và n, thì a + b + m + n = d (với d là đường kính).
• Tổng bình phương của hai dây cung vuông góc tại một điểm cố định là hằng số và bằng 8r – 4p (với r là bán kính và p là khoảng cách từ tâm đến điểm cắt).
• Khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một dây cung nhân với đường kính bằng tích của khoảng cách từ điểm đó đến hai đầu mút của dây cung.
• Hai cung nhỏ của cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau căng hai dây cung bằng nhau thì hai cung đó bằng nhau, và ngược lại.
• Với hai cung nhỏ của cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, cung nào căng dây dài hơn (hoặc ngắn hơn) thì cung đó lớn hơn (hoặc nhỏ hơn), và ngược lại.

Tiếp tuyến

• Đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc trên đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó.
• Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc đi qua tâm đường tròn.
• Từ một điểm nằm ngoài đường tròn, có thể vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn đó.
• Nếu hai tiếp tuyến từ điểm P chạm đường tròn tại A và B, thì
  • $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{BOA}+\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{BPA}={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$.
  • PA = PB
  • Tia OP là phân giác của góc $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{BOA}$ và tia PO là phân giác $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{BPA}$.
• Nếu AD tiếp xúc với đường tròn tại A và AQ là một dây cung của đường tròn, thì $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{DAQ}=\frac{\stackrel{⌢<!--\; ⌢\; -->}{AQ}}{2}$.

Định lý

• Định lý dây cung chỉ ra rằng nếu hai dây cung, CD và EB, giao nhau tại điểm A, thì AC × AD = AB × AE.
• Nếu hai cát tuyến, AE và AD, cắt đường tròn tại các điểm B và C, thì AC × AD = AB × AE. (Đây là hệ quả của định lý dây cung)
• Một tiếp tuyến có thể được coi là giới hạn của cát tuyến khi hai đầu mút trùng nhau. Nếu tiếp tuyến từ điểm A cắt đường tròn tại F và cát tuyến từ A cắt đường tròn tại C và D, thì AF = AC × AD. (Định lý tiếp tuyến-cát tuyến)
• Góc giữa một dây cung và tiếp tuyến tại đầu dây cung bằng nửa góc ở tâm bị chắn bởi dây cung đó.
• Nếu góc ở tâm bị chắn bởi dây cung là góc vuông, thì chiều dài của dây cung ℓ = r√2, với ℓ là độ dài dây cung và r là bán kính đường tròn.
• Nếu hai cát tuyến cắt đường tròn như mô tả, thì góc A bằng nửa hiệu của hai cung tạo thành (DE và BC), tức là $2\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{BAC}=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{DOE}-<!--\; -\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{BOC}$, với O là tâm đường tròn. Đây là định lý hai cát tuyến với đường tròn.

Sagitta

• Sagitta, hay còn gọi là versine, là đoạn thẳng vuông góc với dây cung, đi qua điểm giữa của dây cung và cung bị chắn bởi dây đó.
• Khi biết độ dài y của dây cung và độ dài x của sagitta, ta có thể áp dụng định lý Pythagore để tính bán kính của đường tròn phù hợp với hai đoạn thẳng này:

$r=\frac{y^2}{8x}+\frac{x}{2}.$

Một cách khác để chứng minh kết quả này là sử dụng tính chất của hai dây cung như sau: Khi có dây cung với độ dài y và sagitta dài x, vì sagitta đi qua điểm giữa của dây cung, nó chính là một phần của đường kính. Do đường kính dài gấp đôi bán kính, phần còn lại của đường kính có độ dài (2r − x). Vì phần của dây cung này nhân với phần còn lại không thay đổi khi dây quay quanh giao điểm, ta có $(2r-<!--\; -\; -->x)x={\left(\frac{y}{2}\right)}^2$. Giải phương trình này để tìm giá trị của r, ta thu được kết quả như trên.

Vẽ hình

Có nhiều phương pháp vẽ hình bằng thước kẻ và compa để tạo ra đường tròn.

Phương pháp đơn giản và cơ bản nhất để vẽ đường tròn là khi đã biết tâm và một điểm trên đường tròn. Đặt chân trụ của com-pa lên tâm, di chuyển chân xoay đến điểm trên đường tròn và thực hiện việc quay com-pa.

Vẽ đường tròn với đường kính đã cho

• Tìm và đánh dấu trung điểm M của đoạn đường kính.
• Vẽ đường tròn có tâm tại M và bán kính bằng khoảng cách từ M đến một đầu mút của đoạn đường kính (đường tròn này cũng sẽ bao phủ đầu mút còn lại).

Vẽ đường tròn qua ba điểm không nằm trên một đường thẳng

• Gọi ba điểm là P, Q, và R,
• Vẽ đường trung trực của đoạn PQ.
• Vẽ đường trung trực của đoạn PR.
• Đặt tên giao điểm của hai đường trung trực là M. (Hai đường này cắt nhau vì ba điểm không thẳng hàng).
• Vẽ đường tròn với tâm tại M và bán kính bằng khoảng cách từ M đến một trong các điểm P, Q hoặc R (đường tròn này cũng sẽ đi qua hai điểm còn lại).

Vẽ tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn

Cho một điểm A nằm ngoài đường tròn có tâm O. Vẽ đường tròn có đường kính là đoạn AO. Đường tròn này cắt đường tròn O tại hai điểm, và hai điểm này sẽ là điểm tiếp xúc của hai tiếp tuyến từ điểm A.

Đường tròn Apollonius

Apollonius của Pergaeus chỉ ra rằng một đường tròn có thể được định nghĩa là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có tỉ số cố định (khác 1) của khoảng cách đến hai tiêu điểm, A và B. (Khi tỉ số là 1, tập hợp các điểm này tạo thành đường trung trực của đoạn thẳng AB.)

Chứng minh này bao gồm hai bước. Đầu tiên, cần chứng minh rằng với hai tiêu điểm A và B và một tỉ số cố định, bất kỳ điểm P nào thỏa mãn tỉ số này đều nằm trên một đường tròn nhất định. Gọi C là một điểm thỏa mãn tỉ số và nằm trên đoạn thẳng AB. Theo định lý đường phân giác, đoạn PC sẽ chia đôi góc trong APB:

$\frac{AP}{BP}=\frac{AC}{BC}.$

Tương tự, đoạn thẳng PD qua điểm D trên đường thẳng AB chia đôi góc ngoài BPQ, với Q nằm trên tia mở rộng của AP. Vì góc ngoài và góc trong bù nhau, góc CPD phải là góc vuông. Tập hợp các điểm P sao cho góc CPD là góc vuông tạo thành một đường tròn có đường kính là CD.

Cuối cùng, chứng minh rằng tập hợp các điểm trên đường tròn thỏa mãn tỉ số đã cho.

Tỉ số kép

Một đặc điểm của đường tròn liên quan đến tỉ số kép trong mặt phẳng phức là: Đối với ba điểm A, B, và C, đường tròn Apollonius qua ba điểm này bao gồm các điểm P sao cho giá trị tuyệt đối của tỉ số kép giữa các điểm bằng 1:

$|(A,B;C,P)|=1.$

Nói cách khác, điểm P nằm trên đường tròn Apollonius nếu và chỉ nếu tỉ số kép giữa các điểm A, B, C và P bằng 1 trên mặt phẳng phức.

Đường tròn tổng quát

Nếu C là trung điểm của đoạn AB, thì tập hợp các điểm P đáp ứng điều kiện Apollonius sẽ không phải là một đường tròn mà là một đường thẳng.

$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{|AC|}{|BC|}$ 

Do đó, tập hợp các điểm P thỏa mãn điều kiện này không tạo thành một đường tròn mà là một đường thẳng.

Vì vậy, nếu A, B, và C là các điểm phân biệt trên mặt phẳng, thì quỹ tích của điểm P thỏa mãn phương trình trên gọi là 'đường tròn tổng quát'. Đường tròn tổng quát có thể là một đường tròn hoặc một đường thẳng, và trong trường hợp này, đường thẳng có thể coi là đường tròn tổng quát với bán kính vô hạn.

Đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp

Trong mỗi tam giác, có một đường tròn duy nhất được gọi là đường tròn nội tiếp, nếu nó tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó.

Đối với mọi tam giác, tồn tại một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn ngoại tiếp, nếu nó đi qua ba đỉnh của tam giác.

Một đa giác ngoại tiếp là một đa giác lồi mà một đường tròn có thể nội tiếp và tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Tất cả các đa giác đều và tam giác đều đều là những ví dụ của đa giác ngoại tiếp.

Một đa giác nội tiếp, chẳng hạn như tứ giác nội tiếp, là một đa giác lồi mà một đường tròn có thể bao quanh và đi qua tất cả các đỉnh của nó. Một ví dụ điển hình là tứ giác nội tiếp. Tất cả các đa giác đều và tam giác đều đều là những ví dụ của đa giác nội tiếp. Một đa giác vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp được gọi là đa giác lưỡng tâm.

Mỗi đa giác đều có chính xác một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp.

Đường cong hypocycloid là đường cong nằm bên trong một đường tròn lớn, được tạo ra khi theo dấu một điểm cố định trên một đường tròn nhỏ hơn đang lăn trong đường tròn lớn và tiếp xúc với nó.

Vị trí tương quan

Vị trí tương quan giữa đường thẳng và đường tròn

Cho một đường tròn với tâm O và bán kính R, cùng với một đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Dưới đây là bảng mô tả tình trạng này:

Vị trí tương quan giữa hai đường tròn

Xét một đường tròn với tâm O và bán kính R, cùng với một đường tròn khác có tâm I và bán kính r. Dưới đây là bảng mô tả tình trạng của chúng:

Đường tròn dưới dạng đặc biệt của các hình khác

Đường tròn có thể được coi là một trường hợp giới hạn của nhiều loại hình khác:

• Một đường cong Descartes là tập hợp các điểm sao cho tổng trọng số của khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm cố định (tiêu điểm) là một hằng số. Khi các trọng số bằng nhau, ta có một elíp. Một đường tròn là một elíp với độ lệch tâm bằng 0, tức là hai tiêu điểm trùng nhau tại tâm đường tròn. Đường tròn cũng là một đường cong Descartes đặc biệt với trọng số bằng 0.
• Một siêu elíp (hoặc đường cong Lamé) có phương trình dạng ${\left|\frac{x}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1$ với a, b, n là số dương. Một siêu đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu elíp khi b = a. Đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu elíp khi n = 2.
• Một đường oval Cassini là tập hợp các điểm sao cho tích khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm cố định là một hằng số. Khi hai tiêu điểm trùng nhau, ta thu được một đường tròn.
• Một đường cong có chiều rộng không đổi là một hình mà khoảng cách giữa hai đường thẳng song song tiếp xúc với hình đó không thay đổi dù hai đường thẳng này có hướng khác nhau. Đường tròn là ví dụ đơn giản nhất của loại đường cong này.

Góc liên quan đến đường tròn

Góc tại tâm - giá trị cung

Khi hai cạnh của góc tại tâm cắt nhau tại hai điểm, chúng chia đường tròn thành hai cung như sau:

• Phần cung nằm trong góc $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ với được gọi là cung nhỏ. Số đo của góc $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ chính là số đo của cung nhỏ. Cung nhỏ này được gọi là cung bị chắn của góc tại tâm.
• Phần còn lại của đường tròn gọi là cung lớn, có số đo bằng ${360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

Góc bẹt là góc tại tâm tạo thành nửa đường tròn. Số đo của nửa đường tròn là ${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$

Khi hai đầu của cung trùng nhau, ta có cung trống với số đo $0^{\circ <!--\; \circ \; -->}$ và đường tròn toàn phần có số đo ${360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$

Trong một đường tròn hoặc giữa các đường tròn có cùng bán kính, nếu hai cung có cùng số đo thì chúng bằng nhau.

Khi điểm C nằm trên cung AB, nó chia cung AB thành hai phần: cung AC và cung CB. Số đo của cung AB bằng tổng số đo của cung AC và cung CB.

Góc nội tiếp

• Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.
• Góc nội tiếp nếu là góc nhọn hoặc góc vuông thì bằng một nửa góc tại tâm chắn cung đó.
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và nằm cùng phía với dây căng của cung đó thì bằng nhau.
• Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung và nằm ở hai phía khác nhau so với dây căng của cung đó thì cộng lại bằng 180 độ.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (theo định lý Thales).

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Góc được tạo ra bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc mà một cạnh là dây của đường tròn, và cạnh còn lại được hình thành bởi tia tiếp tuyến với đỉnh tại điểm tiếp xúc của tia tiếp tuyến và đường tròn.

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa số đo của cung bị chắn.

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung tương đương với góc nội tiếp cùng chắn cung đó.

Tính chất của góc với đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn

Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng của số đo hai cung bị chắn.

Khi góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và chắn hai cung trên đường tròn đó, số đo của góc bằng nửa hiệu của số đo hai cung bị chắn.

Công việc lập phương cho hình tròn

Bài toán công việc lập phương cho hình tròn được các nhà hình học cổ đại đề xuất, yêu cầu thiết lập một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn đã cho chỉ với thước thẳng và com-pa trong số bước hữu hạn.

Vào năm 1882, bài toán này được chứng minh là không thể thực hiện, dựa trên định lý Lindemann–Weierstrass chứng minh rằng pi (π) là một số siêu việt, không phải là số đại số vô tỉ; điều đó có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức nào với hệ số hữu tỉ.

• Hình cầu afin
• Hình nhẫn
• Apeirogon
• Công thức các hình
• Hình cầu
• Định lý Cramer
• Phép tịnh tiến hệ tọa độ

Những đường tròn đặc biệt

• Đường tròn đơn vị
• Đường tròn Apollonius
• Đường tròn chromatic
• Đường tròn Ford
• Đường tròn Carlyle
• Đường tròn Bankoff
• Đường tròn Archimedes
• Đường tròn Johnson
• Đường tròn Scoch
• Đường tròn Woo

• Đường tròn Mandart
• Đường tròn Spieker
• Đường tròn Euler
• Điểm đối trung
• Đường tròn ngoại tiếp
• Đường tròn nội tiếp
• Đường tròn bàng tiếp
• Đường tròn Lester
• Đường tròn Malfatti
• Đường tròn Brocard
• Đường tròn đường kính trực tâm trọng tâm
• Đường tròn van Lamoen
• Điểm Parry (hình học tam giác)
• Đường tròn cực (hình học)

• Tứ giác ngoại tiếp
• Tứ giác nội tiếp

• Đường tròn ngoại tiếp
• Đường tròn nội tiếp

• Đường tròn lớn
• Đường tròn Riemann

• Đường tròn Villarceau

Các liên kết bên ngoài